06/07/2010

A Equação da Elipse

Consideremos num plano, dois pontos $F_1$ e $F_2$ distantes um do outro por $2c>0$ e seja $a>c$.

Definição $1$:

Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano onde a soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.

Dá-se o nome de elipse ao conjunto dos pontos $P$ pertencentes ao plano, tais que:
\begin{equation}
d(P,F_1) + d(P,F_2)=2a
\end{equation}

Elementos da elipse:

Os elementos de uma elipse são:

Foco: São os pontos $F_1$ e $F_2$;

Distância focal: É a distância $2c$ entre os pontos;

Centro: É o ponto médio $C$ do segmento $\overline{F_1F_2}$;

Eixo maior: É o segmento $\overline{A_1A_2}$ de comprimento $2a$ (o segmento $\overline{A_1A_2}$ contém os focos e os seus eixos extremos);

Eixo menor: É o segmento $\overline{B_1B_2}$ de comprimento $2b$ (o segmento $\overline{B_1B_2}$ é ortogonal ao segmento $\overline{A_1A_2}$ no ponto $C$;

Vértices: São os pontos $A_1$, $A_2$, $B_1$ e $B_2$;

Excentricidade: A excentricidade $e$ exprime o "achatamento" da elipse e é dada por:
\begin{equation*}
e=\frac{c}{a}
\end{equation*}
Em toda a elipse vale a relação pitagórica:
\begin{equation}
a^2=b^2+c^2
\end{equation}

Equação da elipse:

Seja $P(x,y)$ um ponto genérico de uma elipse, cujos focos são $F_1(-c,0)$ e $F_2(c,0)$. Temos que:
\begin{equation}
d(P,F_1)=\sqrt{(x+c)^2+y^2}
\end{equation}
e
\begin{equation}
d(P,F_2)=\sqrt{(x-c)^2+y^2}
\end{equation}
Pela equação $(1)$, temos que:
\begin{equation*}
d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a
\end{equation*}
Substituindo $(3)$ e $(4)$ na relação acima, obtemos:
\begin{equation*}
\sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a\\
\sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2}
\end{equation*}
Elevamos ambos os lados ao quadrado:
\begin{equation*}
(x+c)^2+y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2\\
x^2+2xc+c^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + x^2-2xc+c^2\\
4xc=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}
\end{equation*}
Dividimos ambos os lados por $4$:
\begin{equation*}
cx=a^2-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\
cx-a^2=-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\
a^2-cx = a\sqrt{(x-c)^2+y^2}
\end{equation*}
Elevamos, novamente, ambos os lados ao quadrado:
\begin{equation*}
a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2\left[(x-c)^2+y^2\right]\\
a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\\
a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2\\
a^4+c^2x^2=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2\\
a^4+c^2x^2-a^2x^2=a^2c^2+a^2y^2\\
a^4+x^2(c^2-a^2)=a^2c^2+a^2y^2\\
x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2c^2-a^4
\end{equation*}
Multiplicando por $-1$:
\begin{equation*}
x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^4-a^2c^2\\
x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)
\end{equation*}
Dividindo ambos os lados por $a^2(a^2-c^2)$:
\begin{equation*}
\frac{x^2(a^2-c^2)}{a^2(a^2-c^2)} + \frac{a^2y^2}{a^2(a^2-c^2)} = \frac{a^2(a^2-c^2)}{a^2(a^2-c^2)}
\end{equation*}
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2}=1
\end{equation}
Da relação $(2)$, temos:
\begin{equation}
b^2=a^2-c^2
\end{equation}
Substituindo $(6)$ em $(5)$:
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{equation}
Que é a equação reduzida da elipse.

Veja mais:

A Equação da Hipérbole
Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso



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7 comentários:

  1. Olá Kleber. Irei escrever um post sobre algumas propriedades da elipse e lembrei que você tinha deduzido sua equação cartesiana de forma clara, além de exibir todos os seus elementos. Sendo assim, citarei este no post que irei escrever. Abraços!!

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  2. Olá Paulo,
    Agradeço pela citação.

    Abraços!

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  3. muito bom!
    otima demonstração

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  4. Obrigado pelo comentário. Volte sempre.
    Um abraço.

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  5. Olá eu não entendi o porquê da distância d(P,F1) ter a componente x=c+c, necessariamente. Existe uma propriedade? Pois quando desenho o ponto P, tem sua projeção (x) em cima do foco F2 somente em um caso específico...

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  6. PS: era a equação (3), vi que depois houve uma correção...

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  7. PS: Obrigado pela ajuda!

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