06/07/2010

A Equação da Elipse


A elipse é uma figura geométrica obtida a partir de uma secção de um cone. Quando um plano secciona uma superfície cônica formando uma figura fechada, esta recebe o nome de elipse. Se o plano for paralelo à base do cone, a elipse se degenera em um círculo. Se o plano seccionar o cone em seu vértice, a elipse se degenera em um ponto.

A elipse também é representada algebricamente no plano cartesiano através de uma equação. Este artigo traz a definição, elementos da elipse e a demonstração de sua equação.

Consideremos num plano, dois pontos $F_1$ e $F_2$ distantes um do outro por $2c>0$ e seja $a>c$.

A equação da elipse


Definição:

Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano onde a soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.

Dá-se o nome de elipse ao conjunto dos pontos $P$ pertencentes ao plano, tais que:
\begin{equation}
d(P,F_1) + d(P,F_2)=2a
\end{equation}

Elementos da elipse:

Os elementos de uma elipse são:

Foco: São os pontos $F_1$ e $F_2$;

Distância focal: É a distância $2c$ entre os pontos;

Centro: É o ponto médio $C$ do segmento $\overline{F_1F_2}$;

Eixo maior: É o segmento $\overline{A_1A_2}$ de comprimento $2a$ (o segmento $\overline{A_1A_2}$ contém os focos e os seus eixos extremos);

Eixo menor: É o segmento $\overline{B_1B_2}$ de comprimento $2b$ (o segmento $\overline{B_1B_2}$ é ortogonal ao segmento $\overline{A_1A_2}$ no ponto $C$;

Vértices: São os pontos $A_1$, $A_2$, $B_1$ e $B_2$;

Excentricidade: A excentricidade $e$ exprime o "achatamento" da elipse e é dada por:
\begin{equation*}
e=\frac{c}{a}
\end{equation*}
Em toda a elipse vale a relação pitagórica:
\begin{equation}
a^2=b^2+c^2
\end{equation}

Equação da elipse:

Seja $P(x,y)$ um ponto genérico de uma elipse, cujos focos são $F_1(-c,0)$ e $F_2(c,0)$. Temos que:
\begin{equation}
d(P,F_1)=\sqrt{(x+c)^2+y^2}
\end{equation}
e
\begin{equation}
d(P,F_2)=\sqrt{(x-c)^2+y^2}
\end{equation}
Pela equação $(1)$, temos que:
\begin{equation*}
d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a
\end{equation*}
Substituindo $(3)$ e $(4)$ na relação acima, obtemos:
\begin{equation*}
\sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a\\
\ \\
\sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2 + y^2}
\end{equation*}
Elevamos ambos os lados ao quadrado:
\begin{equation*}
(x+c)^2+y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2\\
\ \\
x^2+2xc+c^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + x^2-2xc+c^2\\
\ \\
4xc=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}
\end{equation*}
Dividimos ambos os lados por $4$:
\begin{equation*}
cx=a^2-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\
\ \\
cx-a^2=-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\
\ \\
a^2-cx = a\sqrt{(x-c)^2+y^2}
\end{equation*}
Elevamos, novamente, ambos os lados ao quadrado:
\begin{equation*}
a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2\left[(x-c)^2+y^2\right]\\
\ \\
a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2(x^2-2cx+c^2+y^2)\\
\ \\
a^4-2a^2cx+c^2x^2=a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2\\
\ \\
a^4+c^2x^2=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2\\
\ \\
a^4+c^2x^2-a^2x^2=a^2c^2+a^2y^2\\
\ \\
a^4+x^2(c^2-a^2)=a^2c^2+a^2y^2\\
\ \\
x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2c^2-a^4
\end{equation*}
Multiplicando por $-1$:
\begin{equation*}
x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^4-a^2c^2\\
\ \\
x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)
\end{equation*}
Dividindo ambos os lados por $a^2(a^2-c^2)$:
\begin{equation*}
\frac{x^2(a^2-c^2)}{a^2(a^2-c^2)} + \frac{a^2y^2}{a^2(a^2-c^2)} = \frac{a^2(a^2-c^2)}{a^2(a^2-c^2)}
\end{equation*}
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2}=1
\end{equation}
Da relação $(2)$, temos:
\begin{equation}
b^2=a^2-c^2
\end{equation}
Substituindo $(6)$ em $(5)$:
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{equation}
Que é a equação reduzida da elipse.

Comprimento da elipse:

Ao contrário da circunferência, a elipse não possui uma fórmula fechada para calcular seu comprimento. Para tanto, existem fórmulas que aproximam seu comprimento com relativa precisão.
$$
L \approx \pi \ a \left( 2 - \frac{e^2}{2}-\frac{3e^4}{32}-\frac{5e^6}{128} \right)
$$
Veja este artigo sobre Uma fórmula para o comprimento da elipse.

Links para este artigo:


Referências:

  • Geometria Analítica - Steinbruch e Winterle

Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: A Equação da Elipse. Publicado por Kleber Kilhian em 06/07/2010. URL: . Leia os Termos de uso.


Siga também o blog pelo canal no Telegram.
Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

7 comentários:

  1. Olá Kleber. Irei escrever um post sobre algumas propriedades da elipse e lembrei que você tinha deduzido sua equação cartesiana de forma clara, além de exibir todos os seus elementos. Sendo assim, citarei este no post que irei escrever. Abraços!!

    ResponderExcluir
  2. Olá Paulo,
    Agradeço pela citação.

    Abraços!

    ResponderExcluir
  3. muito bom!
    otima demonstração

    ResponderExcluir
  4. Obrigado pelo comentário. Volte sempre.
    Um abraço.

    ResponderExcluir
  5. Olá eu não entendi o porquê da distância d(P,F1) ter a componente x=c+c, necessariamente. Existe uma propriedade? Pois quando desenho o ponto P, tem sua projeção (x) em cima do foco F2 somente em um caso específico...

    ResponderExcluir
  6. PS: era a equação (3), vi que depois houve uma correção...

    ResponderExcluir
  7. PS: Obrigado pela ajuda!

    ResponderExcluir

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog