Quiz de Matemática sobre Álgebra #01 - Equações de segundo grau

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Quiz de Álgebra #01 - Equações de segundo grau

1) Qual é a forma geral de uma equação de segundo grau?

a) $ax^2+b=0$b) $ax^2+bx+c=0$c) $a^2+b=c$d) $ax^3+bx^2+cx=0$

Resposta correta: b)

$ax^2+bx+c=0$, sendo $a \neq 0$.

2) Qual método não é utilizado para resolver uma equação de segundo grau?

a) Fatoraçãob) Fórmula de Bháskarac) Completando quadradosd) Regra de três

Resposta correta: d)

Regra de três é utilizada em proporções, não em equações quadráticas.

3) Qual o valor do discriminante $\Delta$ na equação $x^2-6x+9=0$?

a) $\Delta = 0$b) $\Delta = 36$c) $\Delta -72$d) $\Delta = 12$

Resposta correta: a)

Utilizamos a fórmula do discriminante:
$$
\Delta = b^2 - 4ac\\
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9\\
\Delta = 36 - 36\\
\Delta = 0
$$

4) Quantas soluções reais possui a equação $x^2-5x+10=0$?

a) $0$b) $1$c) $2$d) Infinitas

Resposta correta: a)

Calculamos o discriminante:
$$
\Delta = b^2 - 4ac\\
\Delta = (-5)^2 - 4\cdot 1 \cdot 10\\
\Delta = 25 - 40\\
\Delta = -15
$$
Como o discriminante é menor que zero (negativo), não possui raízes reais.

5) Qual a soma das raízes da equação $2x^2-8x+6=0$?

a) $4$b) $-4$c) $3$d) $8$

Resposta correta: a)

Podemos utilizar a relação de Girard para obter a soma das raízes:
$$
x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{8}{2} = 4
$$
Outra opção é calcular as raízes e depois somá-las.

6) Qual equação possui raízes iguais a $x_1=2$ e $x_2=-1$?

a) $x^2-x-2=0$b) $x^2+x-2=0$c) $x^2-3x+2=0$d) $x^2+3x+2=0$

Resposta correta: a)

A forma fatorada da equação da alternativa $a)$ é:
$$
(x-2)(x+1)=0
$$
Assim, as raízes são $x_1=2$ e $x=-1$.

7) Para qual valor de $k$ a equação $x^2+kx+9=0$ tem uma única solução real?

a) $k=0$b) $k=6$c) $k=-6$d) $k=9$

Resposta correta: c)

Para ter uma única solução real (raiz dupla), o discriminante deve ser igual a zero. Assim:
$$
\Delta = b^2 - 4ac = 0\\
k^2 - 4\cdot 1 \cdot 9\\
k^2 = 36\\
k = \pm 6
$$
Para que a raiz dupla seja positiva, o vértice da parábola deve estar no eixo $x$ positivo. A raiz dupla é dada por:
$$
x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{k}{2}
$$
Se $k=6$, então $x=-3$ (negativa, descartamos); Se $k=-6$, então $x=3$ (positiva, correta).

8) Quais são as coordenadas do vértice da parábola $y=x^2-4x+3$?

a) $(2,-1)$b) $(2,1)$c) $(4,3)$d) $(0,3)$

Resposta correta: a)

O vértice da parábola é dado por:
$$
x_V = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{4}{2} = 2
$$
Para encontrarmos a coordenada $y$, podemos substituir $x$ na equação original:
$$
y_V = 2^2 - 4\cdot 2 + 3\\
y_V = 4-8+3\\
y_V = -1
$$
Assim, as coordenadas da equação são: $(2,-1)$.

9) Qual é a maior raiz real da equação $x^2-5x+6=0$?

a) $1$b) $2$c) $3$d) $4$

Resposta correta: c)

Fatorando a equação, obtemos:
$$
(x-2)(x-3)=0
$$
As raízes são $x=2$ e $x=3$. Portanto, a maior raiz real é $x=3$.

10) Qual é a solução da equação $x^2-9=0$?

a) $x=0$b) $x=3$ e $x=-3$c) $x=9$d) Não possui solução real

Resposta correta: b)

Fatorando a equação, obtemos:
$$
(x-3)(x+3)=0
$$
Logo, as raízes são $x=3$ e $x=-3$.

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