1. Introdução
Há alguns anos, escrevi aqui no blog um artigo sobre como aproximar raízes quadradas usando a fórmula:
$$ \sqrt{N} \approx \frac{N-Q^2}{2Q} $$Onde:
- $N$ é o número que queremos encontrar a raiz e
- $Q^2$ é o quadrado mais próximo.
O método é prático por sua simplicidade, mas a aproximação não é muito boa, com uma ou duas casas decimais. Neste artigo, veremos o Método da Moldura L, uma evolução desse método, com raízes na Geometria, utilizando o conceito de frações contínuas, fornecendo aproximações muito melhores.
2. A Geometria
Suponha que queiramos calcular a $\sqrt{20}$ Na verdade, ao calcular a raiz quadrada de vinte, estamos tentando descobrir o lado de um quadrado que possua área igual a $20$.
Sabemos que um quadrado de lado $4$ possui área igual a $16$ (próximo de $20$). Para completar o quadrado e chegar até $20$, precisamos adicionar uma área extra, uma moldura de área igual a $4$.
No método do artigo anterior, distribuímos essa área extra em $2$ retângulos. O problema é que fica faltando um pequeno quadrado para completar a área. Esse pequeno quadrado é o erro da aproximação.
O Método da Moldura L utiliza uma fração contínua para preencher essa área.
3. O Métdo da Moldura L
A ideia central do método é usar uma fração contínua truncada para aproximar a área do pequeno quadrado:
$$ \sqrt{N} \approx Q + \dfrac{D}{2Q + \dfrac{D}{2Q}} $$Onde:
- $N$ é o número que queremos encontrar a área;
- $Q$ é a raiz do quadrado mais próximo e
- $D$ é a diferença entre as áreas dos quadrados: $D=N-Q^2$.
Exemplo 1:
Vamos calcular uma aproximação para $\sqrt{17}$.
O menor quarado mais próximo de $17$ é o $16$. Assim:
$$ Q = 4 $$A diferença entre os quadrados é:
$$ D = N- Q^2\\ \ \\ D = 17 - 16\\ \ \\ D = 1 $$Aplicamos a fórmula da Moldura L:
$$ \sqrt{N} \approx Q + \dfrac{D}{2Q + \dfrac{D}{2Q}}\\ \ \\ \sqrt{17} \approx 4 + \dfrac{1}{2 \cdot 4 + \dfrac{1}{2 \cdot 4}}\\ \ \\ \sqrt{17} \approx 4 + \dfrac{1}{8 + \dfrac{1}{8}}\\ \ \\ \sqrt{17} \approx 4 + \dfrac{1}{\dfrac{65}{8}}\\ \ \\ \sqrt{17} \approx 4 + \frac{8}{65}\\ \ \\ \sqrt{17} \approx \frac{268}{65}\\ \ \\ \sqrt{17} \approx 4,1230769230 \cdots $$O valor real de $\sqrt{17}$ é:
$$ \sqrt{17} = 4,1231056256\cdots $$Conseguimos uma aproximação de $3$ casas decimais com apenas uma divisão.
Exemplo 2:
Vamos calcular uma aproximação para $\sqrt{20}$.
O menor quarado mais próximo de $20$ é o $16$. Assim:
$$ Q = 4 $$A diferença entre os quadrados é:
$$ D = N- Q^2\\ \ \\ D = 20 - 16\\ \ \\ D = 4 $$Aplicamos a fórmula da Moldura L:
$$ \sqrt{N} \approx Q + \dfrac{D}{2Q + \dfrac{D}{2Q}}\\ \ \\ \sqrt{20} \approx 4 + \dfrac{4}{2 \cdot 4 + \dfrac{4}{2 \cdot 4}}\\ \ \\ \sqrt{20} \approx 4 + \dfrac{4}{8 + \dfrac{4}{8}}\\ \ \\ \sqrt{20} \approx 4 + \dfrac{4}{\dfrac{68}{8}}\\ \ \\ \sqrt{20} \approx 4 + 4 \cdot \frac{8}{68}\\ \ \\ \sqrt{20} \approx 4 + \frac{8}{17}\\ \ \\ \sqrt{20} \approx \frac{76}{17}\\ \ \\ \sqrt{20} \approx 4,4705882352 \cdots $$O valor real de $\sqrt{20}$ é:
$$ \sqrt{20} = 4,4721359549\cdots $$Conseguimos uma aproximação de $2$ casas decimais com apenas uma divisão.
Exemplo 3:
Vamos calcular uma aproximação para $\sqrt{24}$.
O menor quarado mais próximo de $20$ é o $16$. Assim:
$$ Q = 4 $$A diferença entre os quadrados é:
$$ D = N- Q^2\\ \ \\ D = 24 - 16\\ \ \\ D = 8 $$Aplicamos a fórmula da Moldura L:
$$ \sqrt{N} \approx Q + \dfrac{D}{2Q + \dfrac{D}{2Q}}\\ \ \\ \sqrt{24} \approx 4 + \dfrac{8}{2 \cdot 4 + \dfrac{8}{2 \cdot 4}}\\ \ \\ \sqrt{24} \approx 4 + \dfrac{8}{8 + \dfrac{8}{8}}\\ \ \\ \sqrt{24} \approx 4 + \dfrac{8}{8+1}\\ \ \\ \sqrt{24} \approx 4 + \frac{8}{9}\\ \ \\ \sqrt{24} \approx \frac{44}{9}\\ \ \\ \sqrt{24} \approx 4,888 \cdots $$O valor real de $\sqrt{24}$ é:
$$ \sqrt{24} = 4,8989794855\cdots $$Conseguimos uma aproximação de $1$ casas decimais com apenas uma divisão.
4. Analisando os erros
Observando os três exemplos anteriores, podemos ver que quanto maior a diferença $D$ entre os quadrados, menor é a precisão:
| Raiz | Diferença $D$ | Casas decimais corretas |
|---|---|---|
| $\sqrt{17}$ | $D=17-16=1$ | $3$ |
| $\sqrt{20}$ | $D=20-16=4$ | $2$ |
| $\sqrt{24}$ | $D=24-16=8$ | $1$ |
Quando a diferença entre os quadrados aumenta, a área daquele pequeno quadrado também aumenta, o que leva a uma imprecisão maior.
Assim, uma forma de contornar esse problema é expandir as frações contínuas, melhorando a aproximação a cada nível da fração contínua:
| Nível | Fórmula |
|---|---|
| 0 | $\sqrt{N} \approx Q + \dfrac{D}{2Q}$ |
| 1 | $\sqrt{N} \approx Q + \dfrac{D}{2Q+\dfrac{D}{2Q}}$ |
| 2 | $\sqrt{N} \approx Q + \dfrac{D}{2Q+\dfrac{D}{2Q+\dfrac{D}{2Q}}}$ |
| 3 | $\sqrt{N} \approx Q + \dfrac{D}{2Q+\dfrac{D}{2Q+\dfrac{D}{2Q+\dfrac{D}{2Q}}}} $ |
| 4 | $\sqrt{N} \approx Q + \dfrac{D}{2Q+\dfrac{D}{2Q+\dfrac{D}{2Q+\dfrac{D}{2Q+\dfrac{D}{2Q}}}}}$ |
Na tabela abaixo, podemos ver uma comparação entre a precisão dos cálculos em cada nível da fração contínua:
| N | Q | D | Raiz Real | Nível | Valor Calculado | Erro Absoluto |
|---|---|---|---|---|---|---|
17 | 4 | 1 | 4,123105626 | 0 | 4,125 | 0,001894374 |
17 | 4 | 1 | 4,123105626 | 1 | 4,123076923 | 0,000028702 |
17 | 4 | 1 | 4,123105626 | 2 | 4,123106061 | 0,000000435 |
17 | 4 | 1 | 4,123105626 | 3 | 4,123105619 | 0,000000007 |
17 | 4 | 1 | 4,123105626 | 4 | 4,123105626 | 0,000000000 |
18 | 4 | 2 | 4,242640687 | 0 | 4,25 | 0,007359313 |
18 | 4 | 2 | 4,242640687 | 1 | 4,242424242 | 0,000216445 |
18 | 4 | 2 | 4,242640687 | 2 | 4,242647059 | 0,000006372 |
18 | 4 | 2 | 4,242640687 | 3 | 4,2426405 | 0,000000188 |
18 | 4 | 2 | 4,242640687 | 4 | 4,242640693 | 0,000000006 |
19 | 4 | 3 | 4,358898944 | 0 | 4,375 | 0,016101056 |
19 | 4 | 3 | 4,358898944 | 1 | 4,358208955 | 0,000689988 |
19 | 4 | 3 | 4,358898944 | 2 | 4,358928571 | 0,000029628 |
19 | 4 | 3 | 4,358898944 | 3 | 4,358897671 | 0,000001272 |
19 | 4 | 3 | 4,358898944 | 4 | 4,358898998 | 0,000000055 |
20 | 5 | -5 | 4,472135955 | 0 | 4,5 | 0,027864045 |
20 | 5 | -5 | 4,472135955 | 1 | 4,473684211 | 0,001548256 |
20 | 5 | -5 | 4,472135955 | 2 | 4,472222222 | 0,000086267 |
20 | 5 | -5 | 4,472135955 | 3 | 4,472140762 | 0,000004807 |
20 | 5 | -5 | 4,472135955 | 4 | 4,472136223 | 0,000000268 |
21 | 5 | -4 | 4,582575695 | 0 | 4,6 | 0,017424305 |
21 | 5 | -4 | 4,582575695 | 1 | 4,583333333 | 0,000757639 |
21 | 5 | -4 | 4,582575695 | 2 | 4,582608696 | 0,000033001 |
21 | 5 | -4 | 4,582575695 | 3 | 4,582577132 | 0,000001438 |
21 | 5 | -4 | 4,582575695 | 4 | 4,582575758 | 0,000000063 |
22 | 5 | -3 | 4,69041576 | 0 | 4,7 | 0,009584240 |
22 | 5 | -3 | 4,69041576 | 1 | 4,690721649 | 0,000305890 |
22 | 5 | -3 | 4,69041576 | 2 | 4,690425532 | 0,000009772 |
22 | 5 | -3 | 4,69041576 | 3 | 4,690416072 | 0,000000312 |
22 | 5 | -3 | 4,69041576 | 4 | 4,69041577 | 0,000000010 |
23 | 5 | -2 | 4,795831523 | 0 | 4,8 | 0,004168477 |
23 | 5 | -2 | 4,795831523 | 1 | 4,795918367 | 0,000086844 |
23 | 5 | -2 | 4,795831523 | 2 | 4,795833333 | 0,000001810 |
23 | 5 | -2 | 4,795831523 | 3 | 4,795831561 | 0,000000038 |
23 | 5 | -2 | 4,795831523 | 4 | 4,795831524 | 0,000000001 |
24 | 5 | -1 | 4,898979486 | 0 | 4,9 | 0,001020514 |
24 | 5 | -1 | 4,898979486 | 1 | 4,898989899 | 0,000010413 |
24 | 5 | -1 | 4,898979486 | 2 | 4,898979592 | 0,000000106 |
24 | 5 | -1 | 4,898979486 | 3 | 4,898979487 | 0,000000001 |
24 | 5 | -1 | 4,898979486 | 4 | 4,898979486 | 0,000000000 |
Embora a precisão aumente a cada nível, note que, para cálculos manuais, fica cada vez mais difícil de realizar, o que torna inviável para determinados níveis.
5. Demonstração da Fórmula da Moldura L
Seja um quadrado de área igual a $N$. Calcular a raiz quadrada de $N$ equivale a encontrar o lado do quadrado.
Tomemos um quadrado de lado $Q$ com área próxima de $N$. A diferença que falta para completar a área $N$ é dada por:
$$ D = N-Q^2 \tag{1} $$Sobrepomos os dois quadrados unindo-os através de um de seus vértices:
A área sombreada da figura acima representa a diferença $D$ entre os dois quadrados.
Essa moldura em forma de L pode ser decomposta em $2$ retângulos de dimensões $Qx$ e $1$ quadrado de dimensão $xx$:
Assim, a área total $N$ é a soma dessas partes:
$$ N = Q^2 + 2(Qx) + x^2 \tag{2} $$Nível 0:
A aproximação de nível $0$ assume que o pequeno quadrado de área $x^2$ é tão pequeno que pode ser ignorado. Assim:
$$ N \approx Q^2 + 2Qx\\ \ \\ N-Q^2 \approx 2Qx $$Como a diferença $N-Q^2 = D$, fazemos:
$$ D \approx 2Qx\\ \ \\ x \approx \frac{D}{2Q} \tag{3} $$Como o lado do quadrado que desejamos encontrar é dado por:
$$ N = Q + x \tag{4} $$Substituímos $(3)$ em $(4)$:
$$ N \approx Q + \frac{D}{2Q} \tag{5} $$Nível 1:
Como vimos, o erro aumenta consideravelmente quando a diferença $D=N-Q^2$ também aumenta. Assim, não podemos ignorar a área do quadrado de área $x^2$.
Partindo da equação $(2)$:
$$ N = Q^2 + 2(Qx) + x^2 $$Fazemos:
$$ N-Q^2 = 2Qx + x^2 $$Como $D=N-Q^2$, temos:
$$ D = 2Qx + x^2\\ \ \\ D = x(2Q+x) $$Obtendo:
$$ x = \frac{D}{2Q+x} \tag{6} $$Aqui está o coração da fórmula: como queremos o valor de $x$, mas $x$ também aparece no denominador, temos uma estrutura recursiva. Se substituirmos $x$ da relação $(3)$ no denominador da relação $(6)$, obtemos a Fórmula da Moldura L de nível 1:
$$ x \approx \dfrac{D}{2Q + \dfrac{D}{2Q}} $$Como a raiz quadrada $\sqrt{N}$ é o lado do quadrado, igual a $\sqrt{N}=Q+x$, temos:
$$ \sqrt{N} \approx Q + \dfrac{D}{2Q + \dfrac{D}{2Q}} $$Demais níveis:
Para obter as fórmulas dos demais níveis, seguimos o mesmo raciocínio, obtendo uma precisão melhor a cada nível.
Se continuarmos substituindo $x$ no denominador infinitamente, obteremos a Fração Contínua de Lambert, que é a representação exata da raiz.
Calculadora
Abaixo temos uma calculadora com o algoritmo da Moldura L. Inserimos um número $N$ que queremos calcular a raiz e selecionamos o nível (de 0 a 10). O quadrado mais próximo $Q^2$ e a diferença $D$ são calculados automaticamente. O resultado é fornecido abaixo, destacando a quantidade de dígitos corretos da aproximação.
Algoritmo da Moldura L
Aproximação por Frações Contínuas
O Baricentro da Mente
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