29/11/2008

Método de Newton para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Newton descobriu um método para aproximar os valores das raízes de uma equação numérica, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes, que pode ser adaptada para encontrar aproximações de raízes quadradas.

metodo-de-newton-para-calcular-aproximacao-de-raiz-quadrada

A variante desse método, hoje conhecido como Método de Newton, diz o seguinte:


Se $f(x) = 0$ tem apenas uma raiz no intervalo $[a,b]$ e se nem $f'(x)$ nem $f''(x)$ se anulam nesse intervalo, escolhendo $x_0$ como aquele dos  dois números $a$ e $b$ para o qual $f(x)$ e $f''(x)$ tem mesmo sinal, então:

$$
x_k = x_{k-1} - \frac{f(x_{k-1})}{f'(x_{k-1})}
$$

situa-se mais perto da raiz de $x_0$.


Seja $f(x) \in C^2$ (Conjunto das funções com até a 2ª derivada contínua) no intervalo $[a, b]$, a aproximação da raiz $x \in [a,b]$, $f(p)=0$, $x$ é a aproximação de $p$, tal que $f'(x)\neq 0$ e $|p-x|<\varepsilon$, $\varepsilon \in \mathbb{R}$.

A derivada $f '(x_0)$ é a reta tangente da função no ponto $x_0$. Se o ponto $x_0$ está localizado nos pontos de inflexão, máximos ou mínimos, a derivada da função tende a zero e é por esse motivo que o Método de Newton não converge se $f '(x_0)$ tende a zero.


O Método de Newton é excelente para calcular aproximações de raízes reais de funções reais, convergindo rapidamente, mas neste artigo, iremos aplicá-lo somente para calcular aproximações de raízes quadradas de números reais.


Exemplo:

Vamos aproximar $\sqrt{3}$ utilizando o Método de Newton, como precisão de $\varepsilon = 10^{-4}$. O erro é dado por $E=|(a_k)^2-n|$.


Como queremos encontrar uma aproximação para $\sqrt{3}$, fazemos $x=\sqrt{3}$ e assim $x^2=3$.


Podemos reescrever como $f(x) = x^2-3$ e sua derivada será $f'(x)=2x$.


Temos que escolher uma aproximação inicial $(x_0)$. Como a raiz quadrada de três está localizada entre $1$ e $2$, podemos fazer $x_0=1,5$. Mas veja que qualquer outro número também pode ser válido, mas quanto mais próxima da raiz real, mais rápida será a convergência.


Antes de prosseguir, fazemos o teste do erro da aproximação inicial. Como $E=|1,5^2-3|>10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração.


Para calcularmos uma aproximação, utilizamos o algoritmo:

$$
x_k = x_{k-1} - \frac{f(x_{k-1})}{f'(x_{k-1})}
$$

Para $k=1$, fazemos:

$$
x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \\
\ \\
x_1 = 1,5 - \frac{f(1,5)}{f'(1,5)} \\
\ \\
x_1 = 1,5 - \frac{(-0,75)}{3} \\
\ \\
x_1 = 1,75
$$

Fazemos o teste do erro. Como $E=|1,75^2-3|>10^{-4}$, continuamos as iterações.


Para $k=2$, fazemos:

$$
x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \\
\ \\
x_2 = 1,5 - \frac{f(1,75)}{f'(1,75)} \\
\ \\
x_2 = 1,5 - \frac{(-0,0625)}{3,5} \\
\ \\
x_2 = 1,732142857
$$

Fazemos o teste do erro. Como $E=|1,732142857^2-3|>10^{-4}$, continuamos as iterações.


Para $k=3$, fazemos:

$$
x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \\
\ \\
x_3 = 1,732142857 - \frac{f(1,732142857)}{f'(1,732142857)} \\
\ \\
x_3 = 1,732142857 - \frac{0,000318877056}{3,464285714} \\
\ \\
x_3 = 1,73205081
$$

Fazemos o teste do erro. Como $E=|1,73205081^2-3|<10^{-4}$, tomamos $x_3$ como uma aproximação para $\sqrt{3}$


Planilha para download:

Você pode fazer uma planilha elaborada no Excel com o algoritmo de Newton.


download


A planilha é como a imagem abaixo:

planilha-metodo-de-heron-para-calcular-raiz-quadrada-de-um-numero

Nesta planilha, você insere o número que deseja encontrar a raiz quadrada, entra com uma aproximação inicial e uma precisão desejada. Os cálculos são efetuados automaticamente através das fórmulas previamente inseridas nas células.


Quando o algoritmo encontrar uma aproximação de acordo com a precisão desejada, os cálculos param e a mensagem "Aproximação encontrada" é exibida. No caso da imagem acima, foi encontrada uma aproximação da raiz quadrada de três, com uma precisão de dez casas decimais, com apenas 4 iterações.


COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Método de Newton para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n. Publicado por Kleber Kilhian em 29/11/2008. URL: . Leia os Termos de uso.


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17 comentários:

  1. Bacana...me ajudou muito mesmo...grata!!

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  2. Faço matematica a distância e isso dificulta mais ainda o aprendizado, visto que a matemática requer estudo e orientação...na qualidade de aluna a distância me vejo por muitas vezes em desespero, pesquiso, procuro ajuda e até mesmo disciplinas tão simples como Historia da Matemática, a qual estou pagando neste último período (8º periodo) se torna complicada pelo fato de que não tenho um professor todos os dias (só tenho duas aulas prenseciais por semestre). Agradeço ao senhor Kleber por criar algo tão importante como este blog, em uma unica visita me sinto satisfeita em relação ao que estava procurando e espero conseguir mais ainda em outras visitas.
    Grata desde já!
    Att,
    Novinha

    P.S. seria possível o senhor postar conteúdos indicado?

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  3. NOTA: O Método de Newton é excelente para calcular aproximações de raízes reais de funções reais, convergindo rapidamente. Por este motivo será estudado mais profundamente numa próxima oportunidade. No momento, iremos aplicá-lo somente para calcular aproximações de raízes quadradas de números reais.
    É possível publicarem sobre como calcular a raiz enésima de um número qualquer?
    Se for ficarei muito agradecido.

    Atenciosamente,

    Jaques.

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  4. Jaques, basta seguir o mesmo raciocínio desta postagem. Por exemplo, vamos aproximar a raiz sétima de 3, ou seja: $\sqrt[7]{3}$

    Desta forma, daremos uma aproximação inicial $x_0=1$, pois esta raiz deve estar entre 1 e 2.

    Então, fazemos: $x=\sqrt[7]{3}$, Logo $x^7=3$. Assim, $f(x)=x^7-3$. E a derivada será: $f'(x)=7x^6$.

    Usando a mesma fórmula iterativa dada no começo deste artigo, chegamos a 1,69930813 que é a aproximação da $\sqrt[7]{3}$.

    É necessário ter uma ideia derivada.

    Abraços.

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  5. Muito clara sua explicação!
    Gostei muito!

    ResponderExcluir
  6. Muito clara a explicação!
    Gostei muito!

    ResponderExcluir
  7. Muito boa a explicação.

    Este método é tão bom ao ponto de ser usado em algoritmos computacionais devido a simplicidade de implementação.

    Para a derivada neste caso, utiliza-se do princípio de
    $ f(x)' = \frac{ f(x) + f(x+\Delta x)}{x+\Delta} $

    Onde $f(x)$ pode ser uma função qualquer, facilmente calculado computacionalmente.

    Parabéns, continue assim!

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  8. Uma correção no texto do comentário anterior.
    Para a derivada neste caso, utiliza-se do princípio básico.
    $f(x)' = \frac{(f(x)+\Delta x) - f(x) }{\Delta x)}$
    No momento de edição, como não existe pré-visualização para as equações, pode ocorrer confusões e erros gráficos usando LaTeX.

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    Respostas
    1. Não consegui ainda incorporar visualizador Latex nos comentários. Mas veja um pouco mais abaixo que tem um link onde se pode "testar" as fórmulas antes de publicar. Clique para abrir em uma nova janela.

      Abraços.

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  9. $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

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  10. Faz muito tempo que não vejo cálculo, como o autor do post chegou na afirmação "A raiz quadrada de 3 está situada entre 1 e 2.", como ele definiu o 1 e o 2. Por exemplo, em uma $$\sqrt{13}$$, como identificou esses dois extremos do possível valor?

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    Respostas
    1. Marcos, $1^2 =1$ e $2^2=4$. De modo que a raiz quadrada de 3 só pode estar entre 1 e 2. Um procedimento análogo pode ser feito para outros números.

      abs.

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    2. Então vou tentando até ultrapassar, no caso do 13, fui do 1 até chegar no 4, então sei que está entre 3 e 4?

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    3. Nesse metodo voce pode comecar com qualquer valor na verdade,ele so chutou um proximo para acelerar o processo

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  11. e no caso para calcular uma raiz quinta por exemplo? como ficaria? ou esse método só é aplicável para raiz quadradas?

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    Respostas
    1. Olá Bruno. Serve para qualquer raiz. Faça:
      $$x=\sqrt[5]{3}\\
      \ \\
      x^5-3=0\\
      \ \\
      f(x) = x^5-3
      $$

      Calcule a derivada:
      $$
      f'(x) = 5x^4
      $$
      Agora é só aplicar no método de Newton. Se você fizer a raiz quinta de 3, na quarta iteração você encontra a aproximação com 8 casas decimais corretas.

      Um abraço!

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