Método de Heron para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Herão de Alexandria (ou Heron) foi um matemático de destaque com muita controvérsia sobre a época em que viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.C. a 250 d.C. Seus trabalhos de Matemática e Física são numerosos e variados, sendo considerado um enciclopedista. Em seu Livro A Métrica, encontra-se o que conhecemos hoje como o método de Heron de aproximar a raiz quadrada de um número inteiro não-quadrado perfeito. Tal método é hoje utilizado com frequência por computadores e permite sucessivas aproximações.

Dada a raiz quadrada de um número $n$, tomamos $a_0$ como uma aproximação inicial. Desta forma, temos:

$$

a_1 = \frac{\displaystyle a_0 + \frac{n}{a_0}}{2}

$$

E para uma próxima aproximação, fazemos:

$$

a_2 = \frac{\displaystyle a_1 + \frac{n}{a_1}}{2}

$$

E para melhorar a aproximação, fazemos iterações sucessivas:

$$

a_k = \frac{\displaystyle a_{k-1} + \frac{n}{a_{k-1}}}{2}

$$

Onde, para cada iteração $k$, para todo $k=1,2,3,\cdots$, encontramos uma raiz $a_k$ mais aproximada da raiz de $n$.

Surge então a questão: Até quando devemos continuar com essas iterações?

Se você escrever um código para algum programa de computador, deve evitar que o programa entre numa rotina de cálculos infinitos. Uma forma de resolver é inicialmente impor limites, não para as iterações, mas para o erro da aproximação. Ou seja, se desejarmos obter uma aproximação de uma raiz com pelo menos 5 casas decimais corretas, com o erro $E < 10^{–5}$ , por exemplo, devemos impor uma precisão $\varepsilon = 10^{–5}$ e devemos, a cada iteração, fazer o teste da raiz aproximada para checar se satisfaz a precisão $\varepsilon$ imposta inicialmente. O erro é dado por $E = |(a_k)^2 - n|$. Se o valor absoluto da subtração do quadrado da raiz aproximada $a_k$ por $n$ for menor que a precisão $\varepsilon$, então tomamos $a_k$ como raiz aproximada.

Exemplo 1:

Vamos aproximar $\sqrt{3}$ utilizando o método de Heron, com uma precisão $\varepsilon = 1 \times 10^{-4}$.

Como a raiz quadrada de $3$ está entre $1$ e $2$, podemos tomar como aproximação inicial a média aritmética entre esses números. Assim, $a_0 = 1,5$.

Antes de prosseguir, fazemos o teste do erro da aproximação inicial $a_0$. Como $|1,5^2 - 3| > 10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração.

Para $k=1$, fazemos:

$$

a_1 = \frac{\displaystyle 1,5 + \frac{3}{1,5}}{2}\\

\ \\

a_1 = 1,75

$$

Como $|1,75^2 - 3| > 10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração.

Para $k=2$, fazemos:

$$

a_2 = \frac{\displaystyle 1,75 + \frac{3}{1,75}}{2}\\

\ \\

a_2 = 1,732142857

$$

Como $|1,732142857^2 - 3| > 10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração.

Para $k=3$, fazemos:

$$

a_3 = \frac{\displaystyle 1,732142857 + \frac{3}{1,732142857}}{2}\\

\ \\

a_3 = 1,732058100147

$$

Como $|1,732058100147^2 - 3| < 10^{-4}$, tomamos $a_3$ como uma raiz aproximada de $\sqrt{3}$, com precisão até a sétima casa decimal.

Planilhas para download:

Você pode fazer o download de uma planilha com o algoritmo do método de Heron em formado Excel da Microsoft ou do Google Planilhas:

Microsoft Excel Google Planilhas

As planilhas são como na imagem abaixo:

Nesta planilha, você insere o número que deseja encontrar a raiz quadrada, entra com uma aproximação inicial e uma precisão desejada. Os cálculos são efetuados automaticamente através das fórmulas previamente inseridas nas células.

Quando o algoritmo encontrar uma aproximação de acordo com a precisão desejada, os cálculos param e a mensagem "Aproximação encontrada" é exibida. No caso da imagem acima, foi encontrada uma aproximação da raiz quadrada de três, com uma precisão de dez casas decimais, com apenas 4 iterações.

Referências:

• Introdução à História da Matemática - Howard Eves

Links para este artigo:

• http://bit.ly/metodo-heron-raiz-quadrada
• https://www.obaricentrodamente.com/2021/04/metodo-de-heron-para-calcular-raiz-quadrada.html

Veja mais:

• Método babilônico para encontrar raiz quadrada
• Método de Newton para encontrar raiz quadrada
• Zeros reais de funções reais - O método de Newton-Raphson

Atualização:

• Artigo atualizado em 03/04/2021 às 16h29