29/11/2008

Método de Heron para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Herão de Alexandria (ou Heron) foi um matemático de destaque com muita controvérsia sobre a época em que viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.C. a 250 d.C. Seus trabalhos de Matemática e Física são numerosos e variados, sendo considerado um enciclopedista. Em seu Livro A Métrica, encontra-se o que conhecemos hoje como o método de Heron de aproximar a raiz quadrada de um número inteiro não-quadrado perfeito. Tal método é hoje utilizado com frequência por computadores e permite sucessivas aproximações.

Método de Heron para calcular raiz quadrada

Dada a raiz quadrada de um número $n$, tomamos $a_0$ como uma aproximação inicial. Desta forma, temos:

$$

a_1 = \frac{\displaystyle a_0 + \frac{n}{a_0}}{2}

$$

E para uma próxima aproximação, fazemos:

$$

a_2 = \frac{\displaystyle a_1 + \frac{n}{a_1}}{2}

$$

E para melhorar a aproximação, fazemos iterações sucessivas:

$$

a_k = \frac{\displaystyle a_{k-1} + \frac{n}{a_{k-1}}}{2}

$$

Onde, para cada iteração $k$, para todo $k=1,2,3,\cdots$, encontramos uma raiz $a_k$ mais aproximada da raiz de $n$.


Surge então a questão: Até quando devemos continuar com essas iterações?


Se você escrever um código para algum programa de computador, deve evitar que o programa entre numa rotina de cálculos infinitos. Uma forma de resolver é inicialmente impor limites, não para as iterações, mas para o erro da aproximação. Ou seja, se desejarmos obter uma aproximação de uma raiz com pelo menos 5 casas decimais corretas, com o erro $E < 10^{–5}$ , por exemplo, devemos impor uma precisão $\varepsilon = 10^{–5}$ e devemos, a cada iteração, fazer o teste da raiz aproximada para checar se satisfaz a precisão $\varepsilon$ imposta inicialmente. O erro é dado por $E = |(a_k)^2 - n|$. Se o valor absoluto da subtração do quadrado da raiz aproximada $a_k$ por $n$ for menor que a precisão $\varepsilon$, então tomamos $a_k$ como raiz aproximada.


Exemplo 1:

Vamos aproximar $\sqrt{3}$ utilizando o método de Heron, com uma precisão $\varepsilon = 1 \times 10^{-4}$.


Como a raiz quadrada de $3$ está entre $1$ e $2$, podemos tomar como aproximação inicial a média aritmética entre esses números. Assim, $a_0 = 1,5$.


Antes de prosseguir, fazemos o teste do erro da aproximação inicial $a_0$. Como $|1,5^2 - 3| > 10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração.


Para $k=1$, fazemos:

$$

a_1 = \frac{\displaystyle 1,5 + \frac{3}{1,5}}{2}\\

\ \\

a_1 = 1,75

$$

Como $|1,75^2 - 3| > 10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração.


Para $k=2$, fazemos:

$$

a_2 = \frac{\displaystyle 1,75 + \frac{3}{1,75}}{2}\\

\ \\

a_2 = 1,732142857

$$

Como $|1,732142857^2 - 3| > 10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração.


Para $k=3$, fazemos:

$$

a_3 = \frac{\displaystyle 1,732142857 + \frac{3}{1,732142857}}{2}\\

\ \\

a_3 = 1,732058100147

$$

Como $|1,732058100147^2 - 3| < 10^{-4}$, tomamos $a_3$ como uma raiz aproximada de $\sqrt{3}$, com precisão até a sétima casa decimal.


Planilhas para download:

Você pode fazer o download de uma planilha com o algoritmo do método de Heron em formado Excel da Microsoft ou do Google Planilhas:

Microsoft Excel
Google Planilhas

As planilhas são como na imagem abaixo:

planilha-metodo-de-heron-para-calcular-raiz-quadrada-de-um-numero

Nesta planilha, você insere o número que deseja encontrar a raiz quadrada, entra com uma aproximação inicial e uma precisão desejada. Os cálculos são efetuados automaticamente através das fórmulas previamente inseridas nas células.

Quando o algoritmo encontrar uma aproximação de acordo com a precisão desejada, os cálculos param e a mensagem "Aproximação encontrada" é exibida. No caso da imagem acima, foi encontrada uma aproximação da raiz quadrada de três, com uma precisão de dez casas decimais, com apenas 4 iterações.


Referências:

  • Introdução à História da Matemática - Howard Eves

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Método de Heron para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n. Publicado por Kleber Kilhian em 29/11/2008. URL: . Leia os Termos de uso.


Siga também o blog pelo canal no Telegram.
Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

10 comentários:

  1. Pocha excelente este site! Parabéns!!
    Me ajudou bastante no meu trabalho!! Já curti a página de vcs no Facebook!!

    ResponderExcluir
  2. Olá amigo, obrigado pela vista. Fico feliz em saber que este artigo lhe ajudou. Volte sempre!

    ResponderExcluir
  3. Excelente post! É realmente um método muito simples se comparado ao sua capacidade de obter uma aproximação tão confiável (como no caso do exemplo).
    Eu tentei aqui aplicando o método a √5,muito legal.
    Até mais!

    ResponderExcluir
  4. Kleber,
    gostei muito do seu site, parabéns! Tem muita informação pertinente, especialmente para matemáticos e físicos. Sou professora de Matemática e apresentei o método de Herão para meus alunos e claro, citei seu cite. Entretanto, para este assunto, gostaria de saber qual é a fonte que você utilizou. Sei que procuras fazer isso, mas têm alguns arquivos, como este, que não tem fonte.
    Muito obrigada, antecipadamente.

    ResponderExcluir
  5. Olá Juliana, obrigado por seus elogios. Essa faz parte das primeiras postagens do blog e não tinha tanto rigor quanto tenho hoje. Se me lembro bem, fiz a postagem baseado em notas de aula. Mas para não ficar tão vago e ter uma referência confiável, você pode encontrar este método no livro Introdução à História da Matemática de Howard Eves, página 205, editora Unicamp.

    Como foi a reação dos alunos ao saber que um método iterativo como este foi desenvolvido em cerca de 2.000 anos atrás?

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  6. Muito obrigada Kleber.
    Eu sou suspeita em falar, estou dando aula de Cálculo Numérico (CN) e apresentar esse método que utiliza a ideia de iterações sucessivas o qual precedeu aos métodos que estudamos em CN, como por exemplo, Método de Newton (1600 anos depois), foi genial!
    Muito obrigada, mais uma vez pela fonte informada e parabéns pelo belo trabalho que estás fazendo.
    Um abraço!

    ResponderExcluir
  7. Olá Juliana,

    Cálculo numérico é muito bom, ficava maluco naquelas aulas, com o polinômio de Lagrange, série de Taylor... mas gostava muito. Parabéns por escolher essas aulas! Tem outros assuntos aqui no blog. Qualquer dia desses vou escrever sobre o operador diferenças divididas.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  8. Qual é a diferença entre o método de Herão e o método Babilônico para aproximação de raízes quadradas?
    olhei os dois e aparentemente é a mesma coisa.
    Marcelo

    ps. Parabéns pelo site

    ResponderExcluir
  9. Olá Marcelo (Vicente), na verdade o método é o mesmo, apresentado de formas diferentes. A prioridade é dos babilônios já este método aparece quase 2.000 anos antes de Heron!

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  10. muito bom esta postagem, não me lembrava direito como era o procedimento. Parabéns e sucesso.

    ResponderExcluir

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog