25/11/2008

Frações Unitárias

Os egípcios inventaram métodos engenhosos para contornar as dificuldades ao utilizar frações, representando-as como soma de frações unitárias, ou seja, aquelas com numerador igual a 1.

Utilizavam tábuas para representar frações do tipo $\displaystyle \frac{2}{n}$, exceto $\displaystyle \frac{2}{3}$, contendo todos os ímpares de 5 a 101.

No Papiro de Rhindi, encontra-se $\displaystyle \frac{2}{7}$ representado pela soma $\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{28}$, $\displaystyle \frac{2}{7}$ por $\displaystyle \frac{1}{56} + \frac{1}{776}$, $\displaystyle \frac{2}{99}$ por $\displaystyle \frac{1}{66} + \frac{1}{198}$.

Há teorias interessantes para explicar os métodos egípcios nas decomposições de uma fração em uma soma de frações unitárias. Em um papiro encontrado em Akhmim, próximo ao Nilo, encontra-se o método descrito a seguir.

Frações unitárias

Dada uma fração do tipo $\displaystyle \frac{a}{b}$, podemos transformar o denominador $b$ em um produto de $p$ por $q$, onde $b=p \times q$. Desta forma:
\begin{equation*}
\frac{a}{b} = \frac{a}{p \times q} = \frac{1}{p \times r}+\frac{1}{q \times r} \tag{1}
\end{equation*}
onde:
\begin{equation*}
r = \frac{p + q}{a} \tag{2}
\end{equation*}
Então, a relação $(1)$ se transforma em:
\begin{equation*}
\frac{a}{b} = \frac{1}{\displaystyle p \left(\frac{p+q}{a}\right)} + \frac{1}{\displaystyle q \left(\frac{p+q}{a}\right)} \tag{3}
\end{equation*}
E para mostrar que a relação $(3)$ é verdadeira, podemos usar um pouco de álgebra:
\begin{equation*}
\frac{a}{b} = \frac{a}{p(p+q)} + \frac{a}{q(p+q)}\\
\ \\
\frac{a}{b} = \frac{aq+ap}{pq(p+q)}\\
\ \\
\frac{a}{b} = \frac{a(p+q)}{pq(p+q)}\\
\ \\
\frac{a}{b} = \frac{a}{pq}
\end{equation*}
E pela relação $(1)$, $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a}{pq}$, o que já se era esperado.

É importante notar que, ao escolhermos um produto para o denominador $b$, a soma dos fatores $p+q$ seja igual a um múltiplo de $a$ para que o valor de $r$ não seja fracionário. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1:

Vamos decompor $\displaystyle \frac{2}{21}$ em uma soma de frações unitárias.

Temos que: $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{2}{21}$. Assim, $a=2$ e $b=21$.

Vamos decompor o denominador $b=21$ como um produto:
\begin{equation*}
\frac{2}{21} = \frac{2}{3\times 7}
\end{equation*}
Assim, $p=3$ e $q=7$.

Agora, vamos encontrar o valor de $r$ através da relação $(2)$:
\begin{equation*}
r = \frac{p+q}{a}\\
\ \\
r = \frac{3+7}{2}\\
\ \\
r = \frac{10}{2}\\
\ \\
r = 5
\end{equation*}

E finalmente, aplicamos os valores na relação $(3)$, obtendo:
\begin{equation*}
\frac{2}{21} = \frac{1}{p\times r} + \frac{1}{q\times r}\\
\ \\
\frac{2}{21} = \frac{1}{3\times 5} + \frac{1}{7\times 5}\\
\ \\
\frac{2}{21} = \frac{1}{15} + \frac{1}{35}
\end{equation*}

Exemplo 2:

Vamos decompor $\displaystyle \frac{7}{5}$ em uma soma de frações unitárias.

Neste caso, temos que transformar a fração própria em uma fração imprópria:
\begin{equation*}
\frac{7}{5} = 1+\frac{2}{5}
\end{equation*}
Desta forma, temos que decompor a fração $\displaystyle \frac{2}{5}$ e somar o inteiro no final do processo.

Temos que $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{2}{5}$. Assim, $a=2$ e $b=5$.

Vamos decompor o denominador $b=5$ como um produto:
\begin{equation*}
\frac{2}{5} = \frac{2}{5\times 1}
\end{equation*}
Assim, $p=5$ e $q=1$.

Vamos agora encontrar o valor de $r$:
\begin{equation*}
r = \frac{p+q}{a}\\
\ \\
r = \frac{5+1}{2}\\
\ \\
r = \frac{6}{2}\\
\ \\
r = 3
\end{equation*}
E finalmente, aplicamos os valores na relação $(3)$:
\begin{equation*}
\frac{2}{5} = \frac{1}{p\times r}+\frac{1}{q\times r}\\
\ \\
\frac{2}{5} = \frac{1}{5\times 3} + \frac{1}{1\times 3}\\
\ \\
\frac{2}{5} = \frac{1}{15} + \frac{1}{3}
\end{equation*}
Adicionando o inteiro, que foi obtido fração própria, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{7}{5} = \frac{1}{15} + \frac{1}{3} + 1
\end{equation*}
Às vezes, pode ocorrer de que ao fim do processo, não encontramos uma soma de frações unitárias e, assim, devemos aplicar novamente o procedimento em cada uma das frações.

Exemplo 3:

Vamos decompor $\displaystyle \frac{7}{8}$ em uma soma de frações unitárias.

Temos que $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{7}{83}$. Assim, $a=7$ e $b=8$.

Vamos decompor o denominador $b=8$ como um produto:
\begin{equation*}
\frac{7}{8} = \frac{7}{2 \times 4}
\end{equation*}
Assim, $p=2$ e $q=4$.

Agora, vamos encontrar o valor de $r$:
\begin{equation*}
r = \frac{p+q}{a}\\
\ \\
r = \frac{2+4}{7}\\
\ \\
r = \frac{6}{7}\\
\ \\
r = \frac{6}{7}
\end{equation*}
Aplicando na relação $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{7}{8} = \frac{1}{p\times r}+\frac{1}{q\times r}\\
\ \\
\frac{7}{8} = \frac{1}{\displaystyle 2 \times \frac{6}{7}} + \frac{1}{\displaystyle 4 \times \frac{6}{7}}\\
\ \\
\frac{7}{8} = \frac{7}{12} + \frac{7}{24}
\end{equation*}
Vamos aplicar o mesmo procedimento para cada uma das frações acima. Iniciamos com a fração $\displaystyle \frac{7}{12}$:

Passo 1:
\begin{equation*}
\frac{a}{b}=\frac{7}{12}
\end{equation*}
Assim, $a=7$ e $b=12$.

Passo 2:
\begin{equation*}
\frac{7}{12} = \frac{7}{3 \times 4}
\end{equation*}
Assim, $p=3$ e $q=4$. Notem que a soma $p+q=a$.

Passo 3:
\begin{equation*}
r = \frac{3+4}{7}=\frac{7}{7}=1
\end{equation*}
Assim, $r=1$

Passo 4:
\begin{equation*}
\frac{7}{12} = \frac{1}{3\times 1} + \frac{1}{4\times 1}\\
\ \\
\frac{7}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}
\end{equation*}
Agora, aplicamos o procedimento para $\displaystyle \frac{7}{24}$:

Passo 1:
\begin{equation*}
\frac{a}{b} = \frac{7}{24}
\end{equation*}
Assim, $a=7$ e $b=24$.

Passo 2:
\begin{equation*}
\frac{7}{24} = \frac{7}{2 \times 12}
\end{equation*}
Assim, $p=2$ e $q=12$. Notem que a soma $p+q=a$.

Passo 3:
\begin{equation*}
r = \frac{2+12}{7}=\frac{14}{7}=2
\end{equation*}
Assim, $r=2$.

Passo 4:
\begin{equation*}
\frac{7}{24} = \frac{1}{2 \times 2} + \frac{1}{12 \times 2}\\
\ \\
\frac{7}{24} = \frac{1}{4} + \frac{1}{24}
\end{equation*}
Voltando à fração original, escrevemo-a com uma soma de quatro frações unitárias:
\begin{equation*}
\frac{7}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{24}\\
\ \\
\frac{7}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{24}
\end{equation*}

Exemplo 4:

Vamos decompor $\displaystyle \frac{9}{10}$ em uma soma de frações unitárias.

Passo 1:
\begin{equation*}
\frac{a}{b} = \frac{9}{10}
\end{equation*}
Assim, $a=9$ e $b=10$.

Passo 2:
\begin{equation*}
\frac{9}{10} = \frac{9}{2 \times 5}
\end{equation*}
Assim, $p=2$ e $q=5$.

Passo 3:
\begin{equation*}
r = \frac{p+q}{a} = \frac{2+5}{9}=\frac{7}{9}
\end{equation*}
Assim, $\displaystyle r = \frac{7}{9}$.

Passo 4:
\begin{equation*}
\frac{9}{10} = \frac{1}{\displaystyle 2 \times \frac{7}{9}} + \frac{1}{\displaystyle 5 \times \frac{7}{9}}\\
\ \\
\frac{9}{10} = \frac{9}{14} + \frac{9}{35}
\end{equation*}
Vamos aplicar o mesmo método para cada uma das frações obtidas acima. Iniciamos com a fração $\displaystyle \frac{9}{14}$:

Passo 1:
\begin{equation*}
\frac{a}{b}=\frac{9}{14}
\end{equation*}
Assim,  $a=9$ e $b=14$.

Passo 2:
\begin{equation*}
\frac{9}{14} = \frac{9}{2 \times 7}
\end{equation*}
Assim, $p=2$ e $q=7$.

Passo 3:
\begin{equation*}
r = \frac{2+7}{9} = \frac{9}{9} = 1
\end{equation*}
Assim, $r = 1$.

Passo 4:
\begin{equation*}
\frac{9}{14} = \frac{1}{2 \times 1} + \frac{1}{7\times 1}\\
\ \\
\frac{9}{14} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7}
\end{equation*}

Agora, aplicamos o procedimento na fração $\displaystyle \frac{9}{35}$.

Passo 1:
\begin{equation*}
\frac{a}{b} = \frac{9}{35}
\end{equation*}
Assim, $a=9$ e $b=35$.

Passo 2:
\begin{equation*}
\frac{9}{35} = \frac{9}{1 \times 35}
\end{equation*}
Assim, $p=1$ e $q=35$.

Passo 3:
\begin{equation*}
r = \frac{1+35}{9} = \frac{36}{9} = 4
\end{equation*}
Assim $r=4$.

Passo 4:
\begin{equation*}
\frac{9}{35} = \frac{1}{1\times 4} + \frac{1}{35 \times 4}\\
\ \\
\frac{9}{35} = \frac{1}{4} + \frac{1}{140}
\end{equation*}

Voltando à fração original, obtemos uma soma de 4 frações unitárias:
\begin{equation*}
\frac{9}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{4} + \frac{1}{140}
\end{equation*}

Esquema resumido para calcular frações unitárias

Passo 1:
Encontrar os valores de $a$ e $b$ na fração dada, sendo $a$ o numerador e $b$ o denominador;

Passo 2:
Decompor o denominador $b$ em um produto $p \times q$ que seja múltiplo de $a$.

Passo 3:
Calcular o valor de $r$ usando a relação:
\begin{equation*}
r = \frac{p+q}{a}
\end{equation*}
Passo 4:
Calcular as frações unitárias através da fórmula:
\begin{equation*}
\frac{a}{b} = \frac{1}{p\times r} + \frac{1}{q \times r}
\end{equation*}

Observação:
Caso no passo 2 não seja possível obter um produto $p \times q$ que seja múltiplo de $a$, o valor de $r$ será fracionário e, consequentemente, as frações calculadas no passo 4 não serão unitárias, tendo que aplicar o método novamente.

Links para este artigo:


Referências:

  • Introdução à História da Matemática - Howard Eves
  • Notas de aulas

Veja mais:


Softwares utilizados:

  • Inkscape


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17 comentários:

  1. este site e optimo

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    Respostas
    1. É possivel decompor em fracçao unitaria a fracçao 7/5

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    2. Sim. Primeiro transforme a fração em uma fração própria.
      $$\frac {7}{5}= 1 + \frac{2}{5} $$
      Agora fazemos $ z=2$, $ p=5$ e $ q=1$. Em seguida encontramos $ r =3$. Agora aplicamos na fórmula:
      $$\frac {z}{pq} = \frac {1}{5 \cdot 3} + \frac {2}{1\cdot 3} = \frac {1}{15 } + \frac {1}{3} + 1$$

      O $1$ adicionado no final é o inteiro que veio da transformação da fração própria.

      Excluir
  2. Obrigado amigo, por sua visita e seu elogio!

    Um abraço.

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  3. Então como calcular 9/10?

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    Respostas
    1. Olá amigo. Pergunta interessante. Pelo algoritmo deste artigo não consegui chegar a um resultado. Vou pesquisar e depois adiciono aqui. No entanto, podemos escrever 9/10 como:

      $$\frac{9}{10}=\frac{27}{30}=\frac{15+10+2}{30}=\frac{15}{30}+\frac{10}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$$

      Espero em breve responder à sua dúvida.

      Abraços.

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  4. como posso calcular 2/103 é possível?

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    Respostas
    1. Olá Evelyn. Sim é possivel. Veja:

      Seja $\frac{z}{w}=\frac{2}{103}$. Fazemos $x=p\cdot q$, assim $\frac{z}{p\cdot q}$. Agora decompomos:

      $$\frac{z}{p \cdot q}=\frac{1}{p\cdot r}+\frac{1}{q\cdot r}$$
      onde
      $$r=\frac{p+q}{z}$$
      Assim:
      $$\frac{2}{103} \Rightarrow w=103$$
      Como $103$ é primo, fazemos $p=1$ e $q=103$. Assim: $103=1 \cdot 103$. E para:
      $$r=\frac{1+103}{2}=52$$
      Assim:
      $$\frac{2}{103}=\frac{1}{1\cdot 52}+\frac{1}{103 \cdot 52}=\frac{1}{52}+\frac{1}{5356}$$
      Se você tirar o mmc entre as duas frações, verá que obterá a fração original.

      Abraços.

      Excluir
  5. pode me informar quem achou e quem traduziu o papiro?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Amanda, veja este pdf, tem bastante informação boa:

      http://goo.gl/wHgv5D

      Um abraço.

      Excluir
  6. kleber estou no sexto ano e quero muito que responda esta pergunta pois estou com uma duvida muito grande QUAL E A RAIZ QUADRADA DE 10
    e por favor me diga como chegou a esse resultado
    bjos :)

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    Respostas
    1. Bem, acredito que queira um método manual de encontrar raiz quadrada. Sugiro ler estes artigos nos links abaixo, pois cada um traz um método diferente de se calcular a raiz quadrada de qualquer número:

      1) Método babilônio:
      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/mtodo-babilnico-para-aproximao-de-raz.html
      2) Método de Herão:
      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/mtodo-de-hero-para-aproximao-de-raz.html
      3) Método de Newton:
      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/mtodo-de-newton-para-aproximo-de-raz.html
      4) Outro Método:
      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/01/mais-um-metodo-para-aproximar-raiz.html

      Tomando o método de Herão: seja $n=10$. Tomemos uma aproximação inicial para a raiz. Vamos tomar $3$, que é a raiz quadrada de $9$ (bem próximo de $10$). Então, $a_0=3$:
      $$a_1 = \frac{\displaystyle a_0+\frac {n}{a_0}}{2} = \frac{\displaystyle 3+\frac {10}{3}}{2} = 3,16666$$
      $$a_2 = \frac{\displaystyle a_1+\frac {n}{a_1}}{2}= \frac{\displaystyle 3,16666+\frac {10}{3,16666}}{2} =3,162287$$
      $$ a_3 = \frac{\displaystyle a_2+\frac {n}{a_2}}{2} = \frac{\displaystyle 3,162287+\frac {10}{3,162287}}{2} = 3,162277$$
      Geralmente no terceiro ou quarto passo já se tem uma boa aproximação. Se você considerar mais casas decimais e mais iterações, no fim terá uma aproximação da raiz ainda melhor.

      Espero ter ajudado.

      Um abraço.

      Excluir
  7. Indique em Qual das igualdades abaixo, Não Há uma decomposição correta da fração dada em frações unitárias:

    A)2/15=1/10+1/30
    B)2/15=1/12+1/20
    C)2/5=1/3+1/15
    D)2/7=1/4+1/28
    E)2/13=1/8+1/52

    Por favor mandem resposta rapido preciso para estudar para prova da IFPE Amanhã De Manhã tenho que estudar hj desde ja agradeço

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Eu respondi ao seu email, mas voltou. De qualquer forma, veja a resolução neste link:

      https://3.bp.blogspot.com/-m3q8_eN3YPY/WixalN0v1nI/AAAAAAAAXXk/96LRCc7PKocEo_VUm9EEoOcNMCKJ3fvVgCLcBGAs/s1600/Fra%25C3%25A7%25C3%25B5es%2Bunit%25C3%25A1rias.jpg

      Excluir
  8. Opa, blz? Pelo o que estou vendo, essa fórmula se aplica somente a frações cujo numerador é dois, correto? Se for o caso, por exemplo, 7/8, deve-se dividi-lo até que o numerador seja dois.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Thiago, como vai? O blogger não encaminhou sua pergunta em meu e-mail, de modo que só agora que a vi.

      Não necessariamente. Veja no artigo novamente, pois fiz outros exemplos, inclusive 7/8.

      Um abraço!

      Excluir

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