Frações Unitárias

Os egípcios inventaram métodos engenhosos para contornar as dificuldades ao utilizar frações, representando-as como soma de frações unitárias, ou seja, aquelas com numerador igual a 1.

Utilizavam tábuas para representar frações do tipo $\displaystyle \frac{2}{n}$, exceto $\displaystyle \frac{2}{3}$, contendo todos os ímpares de 5 a 101.

No Papiro de Rhindi, encontra-se $\displaystyle \frac{2}{7}$ representado pela soma $\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{28}$, $\displaystyle \frac{2}{7}$ por $\displaystyle \frac{1}{56} + \frac{1}{776}$, $\displaystyle \frac{2}{99}$ por $\displaystyle \frac{1}{66} + \frac{1}{198}$.

Há teorias interessantes para explicar os métodos egípcios nas decomposições de uma fração em uma soma de frações unitárias. Em um papiro encontrado em Akhmim, próximo ao Nilo, encontra-se o método descrito a seguir.

Dada uma fração do tipo $\displaystyle \frac{a}{b}$, podemos transformar o denominador $b$ em um produto de $p$ por $q$, onde $b=p \times q$. Desta forma:
$$\begin{equation*} \frac{a}{b} = \frac{a}{p \times q} = \frac{1}{p \times r}+\frac{1}{q \times r} \tag{1} \end{equation*}$$
onde:
$$\begin{equation*} r = \frac{p + q}{a} \tag{2} \end{equation*}$$
Então, a relação $(1)$ se transforma em:
$$\begin{equation*} \frac{a}{b} = \frac{1}{\displaystyle p \left(\frac{p+q}{a}\right)} + \frac{1}{\displaystyle q \left(\frac{p+q}{a}\right)} \tag{3} \end{equation*}$$

E para mostrar que a relação $(3)$ é verdadeira, podemos usar um pouco de álgebra:

$$\begin{equation*} \frac{a}{b} = \frac{a}{p(p+q)} + \frac{a}{q(p+q)}\\ \ \\ \frac{a}{b} = \frac{aq+ap}{pq(p+q)}\\ \ \\ \frac{a}{b} = \frac{a(p+q)}{pq(p+q)}\\ \ \\ \frac{a}{b} = \frac{a}{pq} \end{equation*}$$

E pela relação $(1)$, $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a}{pq}$, o que já se era esperado.

É importante notar que, ao escolhermos um produto para o denominador $b$, a soma dos fatores $p+q$ seja igual a um múltiplo de $a$ para que o valor de $r$ não seja fracionário. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1:

Vamos decompor $\displaystyle \frac{2}{21}$ em uma soma de frações unitárias.

Temos que: $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{2}{21}$. Assim, $a=2$ e $b=21$.

Vamos decompor o denominador $b=21$ como um produto:
$$\begin{equation*} \frac{2}{21} = \frac{2}{3\times 7} \end{equation*}$$
Assim, $p=3$ e $q=7$.

Agora, vamos encontrar o valor de $r$ através da relação $(2)$:

$$\begin{equation*} r = \frac{p+q}{a}\\ \ \\ r = \frac{3+7}{2}\\ \ \\ r = \frac{10}{2}\\ \ \\ r = 5 \end{equation*}$$

E finalmente, aplicamos os valores na relação $(3)$, obtendo:

$$\begin{equation*} \frac{2}{21} = \frac{1}{p\times r} + \frac{1}{q\times r}\\ \ \\ \frac{2}{21} = \frac{1}{3\times 5} + \frac{1}{7\times 5}\\ \ \\ \frac{2}{21} = \frac{1}{15} + \frac{1}{35} \end{equation*}$$

Exemplo 2:

Vamos decompor $\displaystyle \frac{7}{5}$ em uma soma de frações unitárias.

Neste caso, temos que transformar a fração própria em uma fração imprópria:

$$\begin{equation*} \frac{7}{5} = 1+\frac{2}{5} \end{equation*}$$

Desta forma, temos que decompor a fração $\displaystyle \frac{2}{5}$ e somar o inteiro no final do processo.

Temos que $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{2}{5}$. Assim, $a=2$ e $b=5$.

Vamos decompor o denominador $b=5$ como um produto:

$$\begin{equation*} \frac{2}{5} = \frac{2}{5\times 1} \end{equation*}$$

Assim, $p=5$ e $q=1$.

Vamos agora encontrar o valor de $r$:

$$\begin{equation*} r = \frac{p+q}{a}\\ \ \\ r = \frac{5+1}{2}\\ \ \\ r = \frac{6}{2}\\ \ \\ r = 3 \end{equation*}$$

E finalmente, aplicamos os valores na relação $(3)$:

$$\begin{equation*} \frac{2}{5} = \frac{1}{p\times r}+\frac{1}{q\times r}\\ \ \\ \frac{2}{5} = \frac{1}{5\times 3} + \frac{1}{1\times 3}\\ \ \\ \frac{2}{5} = \frac{1}{15} + \frac{1}{3} \end{equation*}$$

Adicionando o inteiro, que foi obtido fração própria, obtemos:

$$\begin{equation*} \frac{7}{5} = \frac{1}{15} + \frac{1}{3} + 1 \end{equation*}$$
Às vezes, pode ocorrer de que ao fim do processo, não encontramos uma soma de frações unitárias e, assim, devemos aplicar novamente o procedimento em cada uma das frações.

Exemplo 3:

Vamos decompor $\displaystyle \frac{7}{8}$ em uma soma de frações unitárias.

Temos que $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{7}{83}$. Assim, $a=7$ e $b=8$.

Vamos decompor o denominador $b=8$ como um produto:

$$\begin{equation*} \frac{7}{8} = \frac{7}{2 \times 4} \end{equation*}$$
Assim, $p=2$ e $q=4$.

Agora, vamos encontrar o valor de $r$:

$$\begin{equation*} r = \frac{p+q}{a}\\ \ \\ r = \frac{2+4}{7}\\ \ \\ r = \frac{6}{7}\\ \ \\ r = \frac{6}{7} \end{equation*}$$

Aplicando na relação $(3)$, obtemos:

$$\begin{equation*} \frac{7}{8} = \frac{1}{p\times r}+\frac{1}{q\times r}\\ \ \\ \frac{7}{8} = \frac{1}{\displaystyle 2 \times \frac{6}{7}} + \frac{1}{\displaystyle 4 \times \frac{6}{7}}\\ \ \\ \frac{7}{8} = \frac{7}{12} + \frac{7}{24} \end{equation*}$$

Vamos aplicar o mesmo procedimento para cada uma das frações acima. Iniciamos com a fração $\displaystyle \frac{7}{12}$:

Passo 1:
$$\begin{equation*} \frac{a}{b}=\frac{7}{12} \end{equation*}$$
Assim, $a=7$ e $b=12$.

Passo 2:
$$\begin{equation*} \frac{7}{12} = \frac{7}{3 \times 4} \end{equation*}$$

Assim, $p=3$ e $q=4$. Notem que a soma $p+q=a$.

Passo 3:
$$\begin{equation*} r = \frac{3+4}{7}=\frac{7}{7}=1 \end{equation*}$$
Assim, $r=1$

Passo 4:
$$\begin{equation*} \frac{7}{12} = \frac{1}{3\times 1} + \frac{1}{4\times 1}\\ \ \\ \frac{7}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \end{equation*}$$
Agora, aplicamos o procedimento para $\displaystyle \frac{7}{24}$:

Passo 1:
$$\begin{equation*} \frac{a}{b} = \frac{7}{24} \end{equation*}$$
Assim, $a=7$ e $b=24$.

Passo 2:
$$\begin{equation*} \frac{7}{24} = \frac{7}{2 \times 12} \end{equation*}$$

Assim, $p=2$ e $q=12$. Notem que a soma $p+q=a$.

Passo 3:
$$\begin{equation*} r = \frac{2+12}{7}=\frac{14}{7}=2 \end{equation*}$$
Assim, $r=2$.

Passo 4:
$$\begin{equation*} \frac{7}{24} = \frac{1}{2 \times 2} + \frac{1}{12 \times 2}\\ \ \\ \frac{7}{24} = \frac{1}{4} + \frac{1}{24} \end{equation*}$$

Voltando à fração original, escrevemo-a com uma soma de quatro frações unitárias:

$$\begin{equation*} \frac{7}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{24}\\ \ \\ \frac{7}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{24} \end{equation*}$$

Exemplo 4:

Vamos decompor $\displaystyle \frac{9}{10}$ em uma soma de frações unitárias.

Passo 1:
$$\begin{equation*} \frac{a}{b} = \frac{9}{10} \end{equation*}$$
Assim, $a=9$ e $b=10$.

Passo 2:
$$\begin{equation*} \frac{9}{10} = \frac{9}{2 \times 5} \end{equation*}$$
Assim, $p=2$ e $q=5$.

Passo 3:
$$\begin{equation*} r = \frac{p+q}{a} = \frac{2+5}{9}=\frac{7}{9} \end{equation*}$$
Assim, $\displaystyle r = \frac{7}{9}$.

Passo 4:
$$\begin{equation*} \frac{9}{10} = \frac{1}{\displaystyle 2 \times \frac{7}{9}} + \frac{1}{\displaystyle 5 \times \frac{7}{9}}\\ \ \\ \frac{9}{10} = \frac{9}{14} + \frac{9}{35} \end{equation*}$$
Vamos aplicar o mesmo método para cada uma das frações obtidas acima. Iniciamos com a fração $\displaystyle \frac{9}{14}$:

Passo 1:
$$\begin{equation*} \frac{a}{b}=\frac{9}{14} \end{equation*}$$
Assim,  $a=9$ e $b=14$.

Passo 2:
$$\begin{equation*} \frac{9}{14} = \frac{9}{2 \times 7} \end{equation*}$$
Assim, $p=2$ e $q=7$.

Passo 3:
$$\begin{equation*} r = \frac{2+7}{9} = \frac{9}{9} = 1 \end{equation*}$$
Assim, $r = 1$.

Passo 4:
$$\begin{equation*} \frac{9}{14} = \frac{1}{2 \times 1} + \frac{1}{7\times 1}\\ \ \\ \frac{9}{14} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} \end{equation*}$$

Agora, aplicamos o procedimento na fração $\displaystyle \frac{9}{35}$.

Passo 1:
$$\begin{equation*} \frac{a}{b} = \frac{9}{35} \end{equation*}$$
Assim, $a=9$ e $b=35$.

Passo 2:
$$\begin{equation*} \frac{9}{35} = \frac{9}{1 \times 35} \end{equation*}$$
Assim, $p=1$ e $q=35$.

Passo 3:
$$\begin{equation*} r = \frac{1+35}{9} = \frac{36}{9} = 4 \end{equation*}$$
Assim $r=4$.

Passo 4:
$$\begin{equation*} \frac{9}{35} = \frac{1}{1\times 4} + \frac{1}{35 \times 4}\\ \ \\ \frac{9}{35} = \frac{1}{4} + \frac{1}{140} \end{equation*}$$

Voltando à fração original, obtemos uma soma de 4 frações unitárias:

$$\begin{equation*} \frac{9}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{4} + \frac{1}{140} \end{equation*}$$

Esquema resumido para calcular frações unitárias

Passo 1:

Encontrar os valores de $a$ e $b$ na fração dada, sendo $a$ o numerador e $b$ o denominador;

Passo 2:

Decompor o denominador $b$ em um produto $p \times q$ cuja soma seja múltiplo de $a$.

Passo 3:

Calcular o valor de $r$ usando a relação:

$$\begin{equation*} r = \frac{p+q}{a} \end{equation*}$$
Passo 4:
Calcular as frações unitárias através da fórmula:
$$\begin{equation*} \frac{a}{b} = \frac{1}{p\times r} + \frac{1}{q \times r} \end{equation*}$$

Observação:

Caso no passo 2 não seja possível obter um produto $p \times q$ cuja soma seja múltipla de $a$, o valor de $r$ será fracionário e, consequentemente, as frações calculadas no passo 4 não serão unitárias, tendo que aplicar o método novamente.

Links para este artigo:

• http://bit.ly/fracoes-unitarias
• https://www.obaricentrodamente.com/2008/11/fracoes-unitarias.html

Referências:

• Introdução à História da Matemática - Howard Eves
• Notas de aulas

Veja mais:

• O seqt de uma perâmide
• O método da falsa posição
• A multiplicação egípcia
• Aproximação de $\pi$ pelos egípcios

Softwares utilizados:

• Inkscape