Dadas duas esferas $E_1$ e $E_2$ de raios $R$ e $r$, tangentes externamente entre si, repousam sobre um plano horizontal $\alpha$.
Através desta descrição, vamos provar algumas relações:
- Distância $D$ entre os centros $C_R$ e $C_r$ das esferas.
- Distância $d$ entre as projeções $P_R$ e $P_r$ dos centros das esferas no plano $\alpha$.
- Altura $h_T$ do ponto de tangência $T$ entre as esferas em relação ao plano $\alpha$.
- Ângulo $\theta$ formado entre a reta que contém os centros das esferas e o plano $\alpha$.
- Raio máximo de uma terceira esfera entre as duas primeiras, tangentes entre si e ao plano $\alpha$.
- Raio mínimo de uma quarta esfera externa às duas primeiras, tangentes entre si e ao plano $\alpha$.
1. Distância entre os centros das esferas
A distância entre os centros das esferas é dada pela fórmula das distâncias entre dois pontos no espaço:
D(C_R,C_r) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \tag{1}
$$
As esferas repousam sobre o plano horizontal $\alpha$ que contém os eixos $x$ e $y$, ou seja, com $z=0$. A esfera 1 possui centro em $C_R(x_1,y_1,z_1)$ e a esfera 2 possui centri em $C_r(x_2,y_2,z_2)$.
Como as esferas estão apoiadas sobre o plano $\alpha$, com $z=0$, temos que:
$$z_1 = R \quad \text{e} \quad z_2=r \tag{2}
$$
Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
D(C_R,C_r) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (r - R)^2} \tag{3}
$$
Como as esferas são tangentes externamente, a distância $D$ entre seus centros é igual à soma de seus raios:
$$D(C_R,C_r) = R+r \tag{4}
$$
Desta forma, a fórmula para a distância entre os centros das esferas se transforma em:
(R + r)^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (r - R)^2 \tag{5}
$$
2. Distância entre as projeções dos centros das esferas no plano $\alpha$
As projeções $P_R$ e $P_r$ dos centros $C_R$ e $C_r$ sobre o plano $\alpha$ são dados por:
$$P_R = (x_1,y_1,0) \\
\ \\
P_r = (x_2,y_2,0)
$$
A distância $d$ entre as projeções $P_1$ e $P_2$ é dada pela distância euclidiana no plano:
$$d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \tag{6}
$$
Substituindo $(6)$ em $(5)$, obtemos:
$$(R + r)^2 = d^2 + (r - R)^2 \\
\ \\
d^2 = (R+r)^2 - (r-R)^2\\
\ \\
d^2 = (R^2 + 2Rr + r^2) - (r^2 - 2Rr + R^2)\\
\ \\
d^2 = 4Rr\\
$$ $$
d = 2\sqrt{Rr} \tag{7}
$$
Esta fórmula mostra que a distância entre as projeções dos centros das esferas no plano $\alpha$ é igual ao dobro da média geométrica dos raios.
3. Altura do ponto de tangência entre as esferas em relação ao plno $\alpha$
Seja $T$ o ponto de tangência entre as duas esferas. A altura $h_T$ de $T$ em relação ao plano $\alpha$ é a distÂncia perpendicular de $T$ ao plano. O ponto $T$ está localizado sobre a reta $\overline{C_R C_r}$ que une os centros das esferas, de modo que:
$$d(C_R,T) = R \\
\ \\
d(T,C_r) = r
$$
Assim, o ponto de tangência $T$ divide o segmento $\overline{C_R C_r}$ em uma razão $k=\dfrac{R}{r}$.
Vamos utilizar a fórmula para a divisão de um segmento na razão $k$, dada por:
$$T = \frac{C_R + kC_r}{1+k} \tag{8}
$$
Como $k=\dfrac{R}{r}$, fazemos:
$$T = \dfrac{C_R + \dfrac{R}{r} C_r}{1 + \dfrac{R}{r}} \\
\ \\
T = \dfrac{\dfrac{rC_R + RC_r}{r}}{\dfrac{r + R}{r}}\\
\ \\
T = \frac{rC_R + RC_r}{r} \cdot \frac{r}{r+R}
$$ $$
T = \frac{rC_R + RC_r}{R+r} \tag{9}
$$
Aplicando a fórmula $(9)$ a cada coordenada $(x,y,z)$ de $T$, obtemos:
$$x_T = \frac{rx_1 + Rx_2}{R+r} \\
\ \\
y_T = \frac{ry_1 + Ry_2}{R+r} \\
\ \\
z_T = \frac{rz_1 + Rz_2}{R+r}
$$
A coordenada $z_T$ é a altura $h_T$ do ponto de tangência $T$ em relação ao plano $\alpha$. Substituindo $z_1 = R$ e $z_2=r$, obtemos:
$$z_T = \frac{rR + Rr}{R+r}
$$ $$
h_T = \frac{2Rr}{R+r} \tag{10}
$$
Essa fórmula mostra que a altura $h_T$ é o dobri da média harmônica dos raios.
As coordenadas do ponto de tangência $T$ são:
T = \left( \frac{rx_1+Rx_2}{R+r} , \frac{ry_1+Ry_2}{R+r} , \frac{rz_1 + Rz_2}{R+r} \right) \tag{11}
$$
4. Ângulo formado entre a reta que contém os centros das esferas e o plano $\alpha$
Seja $\theta$ o ângulo formado pela reta que contém os centros das esferas e o plano $\alpha$.
No triângulo formado pelos pontos $C_R$, $C_r$ e $R-r$, temos que:
- Hipotenusa: $\overline{C_RC_r} = R+r$
- Cateto adjacente: $d = 2\sqrt{Rr}$
- Cateto oposto: $|R-r|$
Podemos encontrar fórmulas para o seno, cosseno e tangente do ângulo $\theta$:
$$\text{sen}(\theta) = \frac{|R - r|}{R+r} \tag{12}
$$ $$
\text{cos}(\theta) = \frac{2\sqrt{Rr}}{R+r} \tag{13}
$$ $$
\text{tg}(\theta) = \frac{|R-r|}{2\sqrt{Rr}} \tag{14}
$$
5. Raio de uma nova esfera tangente às duas primeiras e ao plano $\alpha$
A geoemtria de quatro superfícies mutuamente tangentes, sendo 3 esferas e 1 plano, permite infinitas solução de raio $R_k$ desde um certo mínimo e um certo máximo. Vamos nos concentrar no problema com a condição de que as projeções dos centros das esferas sejam colineares. Isso nos leva a dois casos interessantes:
O primeiro caso é quando a terceira esfera de raio $\rho$ é interna, ou seja, está localizada entre as duas primeiras. Assim, as projeções de seus centros obedecem a ordem:
$$|P_R P_r| = |P_R P_\rho| + |P_\rho P_r|
$$
O segundo caso é quando a terceira esfera de raio $\rho$ é externa, ou seja, está localizada ao lado da esfera de menor raio. Assim, as projeções de seus centros obedecem a ordem:
$$|P_R P_\rho| = |P_R P_r| + |P_r P_\rho|
$$
5.1. Esfera de raio máximo localizada internamente às duas primeiras
A relação para o raio $\rho_\text{max}$ da maior esfera interna que é tangente ao plano $\alpha$ e simultaneamente tangente às duas esferas originais é dada pela fórmula:
$$\frac{1}{\sqrt{\rho_{\text{max}}}} = \frac{1}{\sqrt{R}} + \frac{1}{\sqrt{r}}
$$
Essa fórmula é, na verdade, uma versão simplificada do Teorema de Descartes, adaptado em três dimensões, também conhecido como Teorema de Soddy-Descartes, ou ainda Esferas de Soddy. Frederick Soddy redescobriu o Teorema de Descartes em 1936 e por isso seu nome é associado à fórmula.
Esta equação força a esfera de raio $\rho_{\text{max}}$ a ter o maior raio possível que consegue projetar seu centro sobre o segmento $P_R$ e $P_r$, mantendo a tangência mútua.
Se o raio $\rho_{\text{max}}$ fosse maior que o valor calculado, a soma das distâncias projetadas seria maior que a distância $d$:
$$2\sqrt{R\rho_{\text{max}}} + 2\sqrt{\rho_{\text{max}} r} > 2\sqrt{Rr}
$$
A projeção $P_3$ seria forçada a sair do segmento, formando um triângulo $P_R, P_r, P_{\rho_{\text{max}}}$ sobre o plano $\alpha$. Portanto, o valor calculado do raio $\rho_{\text{max}}$ é o máximo tamanho que a terceira esfera pode ter para manter a colinearidade.
Seja a esfera $E_3$ de raio $\rho_\text{max}$, com centro em $C_{\rho_{\text{max}}}$, que também está apoiada sobre o plano $\alpha$ e tangente simultaneamente às esferas originais de raios $R$ e $r$. A projeção do centro no plano é o ponto $P_{\rho_{\text{max}}}$ e está localizado entre as projeções dos centros das esferas originais, de modo que:
$$|P_R P_r| = |P_R P_{\rho_{\text{max}}}| + |P_{\rho_{\text{max}}} P_r|
$$
Assim, as distâncias das projeções são dadas por:
$$\begin{cases}
d(P_R,P_r) = 2\sqrt{Rr} \\
\ \\
d(P_R,P_{\rho_{\text{max}}}) = 2\sqrt{R\rho_{\text{max}}} \\
\ \\
d(P_r, P_{\rho_{\text{max}}}) = 2\sqrt{r \rho_{\text{max}}}
\end{cases}
\tag{15}
$$
Podemos reescrever a distância $d(P_R,P_r)$ como:
$$d(P_R,P_r) = d(P_R,P_{\rho_{\text{max}}}) + d(P_{\rho_{\text{max}}},P_r) \\
\ \\
2\sqrt{Rr} = 2\sqrt{R\rho_{\text{max}}} + 2\sqrt{r\rho_{\text{max}}}
$$
Dividimos ambos os membros por 2:
$$\sqrt{Rr} = \sqrt{R\rho_{\text{max}}} + \sqrt{r\rho_{\text{max}}}
$$
Fatoramos $\sqrt{\rho_{\text{max}}}$ no lado direito:
$$\sqrt{Rr} = \sqrt{\rho_{\text{max}}}\left( \sqrt{R} + \sqrt{r} \right)
$$
Isolamos $\sqrt{\rho_{\text{max}}}$:
$$\sqrt{\rho_{\text{max}}} = \frac{\sqrt{Rr}}{\sqrt{R}+\sqrt{r}} \tag{16}
$$
Ou ainda:
$$\rho_{\text{max}} = \frac{Rr}{\left(\sqrt{R}+\sqrt{r}\right)^2} \tag{17}
$$
Invertendo $(16)$, obtemos:
$$\frac{1}{\sqrt{\rho_{\text{max}}}} = \frac{\sqrt{R} + \sqrt{r}}{\sqrt{Rr}}
$$
Separando as frações:
$$\frac{1}{\sqrt{\rho_{\text{max}}}} = \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{Rr}} + \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{Rr}}
$$
Simplificando as frações:
$$\frac{1}{\sqrt{\rho_{\text{max}}}} = \frac{1}{\sqrt{r}} + \frac{1}{\sqrt{R}} \tag{18}
$$
As fórmulas $(16)$ e $(18)$ são válidas para quaisquer esferas de raios $R$ e $r$.
5.2. Esfera de raio mínimo localizada externamente e ao lado da esfera menor
A relação para o raio $\rho_\text{min}$ da menor esfera externa que é tangente ao plano $\alpha$ e simultaneamente tangente às duas esferas originais é dada pela fórmula:
$$\frac{1}{\sqrt{\rho_{\text{min}}}} = \frac{1}{\sqrt{R}} - \frac{1}{\sqrt{r}}
$$
Esta equação força a esfera de raio $\rho_{\text{min}}$ a ter o menor raio possível que consegue projetar seu centro no prolongamento do segmento $P_R$ e $P_r$, ao lado da esfera de menor raio, mantendo a tangência mútua.
Se o raio $\rho_{\text{min}}$ fosse maior que o valor calculado, perderia a tangência com a esfera menor; se o raio fosse menor, a soma das distâncias projetadas seria maior que a distância $d$:
$$2\sqrt{Rr} + 2\sqrt{r \rho_{\text{min}} r} > 2\sqrt{R \rho_{\text{min}}}
$$
A projeção $P_{\rho_{\text{min}}}$ seria forçada a sair do segmento, formando um triângulo $P_R, P_r, P_{\rho_{\text{min}}}$ sobre o plano $\alpha$. Portanto, o valor calculado do raio $\rho_{\text{min}}$ é o mínimo tamanho que a quarta esfera pode ter para manter a colinearidade.
Seja a esfera $E_4$ de raio $\rho_\text{min}$, com centro em $C_{\rho_{\text{min}}}$, que também está apoiada sobre o plano $\alpha$ e tangente simultaneamente às esferas originais de raios $R$ e $r$. A projeção do centro no plano é o ponto $P_{\rho_{\text{min}}}$ e está localizado ao lado da projeção do centro da esfera menor, de modo que:
$$|P_R P_{\rho_{\text{min}}}| = |P_R P_r| + |P_r P_{\rho_{\text{min}}}|
$$
Assim, as distâncias das projeções são dadas por:
$$\begin{cases}
d(P_R,P_r) = 2\sqrt{Rr} \\
\ \\
d(P_R,P_{\rho_{\text{min}}}) = 2\sqrt{R\rho_{\text{min}}} \\
\ \\
d(P_r, P_{\rho_{\text{min}}}) = 2\sqrt{r \rho_{\text{min}}}
\end{cases}
\tag{19}
$$
Podemos reescrever a distância $d(P_R,P_{\rho_{\text{min}}})$ como:
$$d(P_R,P_{\rho_{\text{min}}}) = d(P_R,P_r) + d(P_r,P_{\rho_{\text{min}}}) \\
\ \\
2\sqrt{R{\rho_{\text{min}}}} = 2\sqrt{Rr} + 2\sqrt{r\rho_{\text{min}}}
$$
Dividimos ambos os membros por 2:
$$\sqrt{R{\rho_{\text{min}}}} = \sqrt{Rr} + \sqrt{r\rho_{\text{min}}}
$$
Isolamos $\sqrt{Rr}$:
$$\sqrt{Rr} = \sqrt{R{\rho_{\text{min}}}} - \sqrt{r\rho_{\text{min}}}
$$
Fatoramos $\sqrt{\rho_{\text{min}}}$ no lado direito:
$$\sqrt{Rr} = \sqrt{\rho_{\text{min}}}\left( \sqrt{R} - \sqrt{r} \right)
$$
Isolamos $\sqrt{\rho_{\text{min}}}$:
$$\sqrt{\rho_{\text{min}}} = \frac{\sqrt{Rr}}{\sqrt{R} - \sqrt{r}} \tag{20}
$$
Ou ainda:
$$\rho_{\text{min}} = \frac{Rr}{\left(\sqrt{R} - \sqrt{r}\right)^2} \tag{21}
$$
Invertendo $(20)$, obtemos:
$$\frac{1}{\sqrt{\rho_{\text{min}}}} = \frac{\sqrt{R} - \sqrt{r}}{\sqrt{Rr}}
$$
Separando as frações:
$$\frac{1}{\sqrt{\rho_{\text{min}}}} = \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{Rr}} - \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{Rr}}
$$
Simplificando as frações:
$$\frac{1}{\sqrt{\rho_{\text{min}}}} = \frac{1}{\sqrt{r}} - \frac{1}{\sqrt{R}} \tag{22}
$$
As fórmulas $(20)$ e $(22)$ são válidas para quaisquer esferas de raios $R$ e $r$, sendo $R\neq r$, pois, se $R=r$, então o denominador se iguala a zero e, geometricamente, poderíamos aumentar o raio $\rho_\text{min}$ arbitrariamente, fazendo-o tender ao infinito que, mesmo assim, não tangenciaria a esfera oposta.
Comparando numericamente os denominadores das fórmulas $(17)$ e $(21)$, temos:
$$\left( \sqrt{R} + \sqrt{r} \right)^2 > \left(\sqrt{R} - \sqrt{r} \right)^2
$$
Sendo assim, a esfera de raio $\rho_{\text{max}}$, que fica entre as duas primeiras, tem raio menor; já a esfera que possui raio $\rho_{\text{min}}$, que fica externa e ao lado da esfera menor, tem raio maior.
Exemplo:
Sejam duas esferas de raios iguais a $R=4$ e $r=1$, tangentes entre si, repousando sobre um plano $\alpha$. Vamos calcular:
- A distância entre os centros das esferas $E_1$ e $E_2$
- A distância entre as projeções dos centros das esferas $E_1$ e $E_2$ no plano $\alpha$ onde repousam
- A altura do ponto de tangência das esferas $E_1$ e $E_2$ em relação ao plano $\alpha$
- O ângulo formado entre a reta que contém os centros das esferas $E_1$ e $E_2$ e o plano $\alpha$
- O raio máximo de uma esfera $E_3$ localizada entre as duas primeiras
- O raio mínimo de uma esfera $E_4$ localizada externamente às duas primeiras
Resolução de 1):
Para encontrarmos a distância entre os centros das esferas $E_1$ e $E_2$, fazemos:
$$D = R + r \\
\ \\
D = 4 + 1 \\
\ \\
D = 5
$$
Assim, a distância entre os centros das esferas $E_1$ e $E_2$ mede 5 unidades de comprimento.
Resolução de 2):
Para calcularmos a distância entre as projeções dos centros das esferas $E_1$ e $E_2$ no plano $\alpha$, utilizamos a fórmuladada em $(7)$:
$$d = 2 \sqrt{R\cdot r} \\
\ \\
d = 2 \sqrt{4 \cdot 1} \\
\ \\
d = 2 \sqrt{4} \\
\ \\
d = 2 \cdot 2 \\
\ \\
d = 4
$$
Assim, a distância entre as projeções dos centros das esferas $E_1$ e $E_2$ no plano mede 4 unidades de comprimento.
Resolução de 3):
Para calcularmos a altura do ponto de tangência entre as esferas $E_1$ e $E_2$ em relação ao plano $\alpha$, utilizamos a fórmula dada em $(10)$:
$$h_T = \frac{2Rr}{R+r} \\
\ \\
h_T = \frac{2 \cdot 4 \cdot 1}{4+1} \\
\ \\
h_T = \frac{8}{5} = 1,6
$$
Assim, a altura entre o ponto de tangência das esferas $E_1$ e $E_2$ em relação ao plano mede $8/5$ unidades de comprimento.
Resolução de 4):
Para encontrarmos o ângulo $\theta$ formado entre a reta que passa pelos centros das esferas $E_1$ e $E_2$ e o plano $\alpha$, podemos utilizar qualquer uma das fórmulas $(12)$, $(13)$ ou $(14)$, a que for mais conveniente. Para este exemplo, vamos utilizar a fórmula para o seno de $\theta$.
$$\text{sen}(\theta) = \frac{|R-r|}{R+r} \\
\ \\
\text{sen}(\theta) = \frac{4-1}{4+1} \\
\ \\
\text{sen} (\theta) = \frac{3}{5}
\ \\
\theta = \text{arc sen} \left(\frac{3}{5}\right) \approx 36,87^\circ
$$
Assim, o ângulo formado entre a reta que contém os centros das esferas e o plano possui $36,87^\circ$.
Resolução de 5):
Para encontrarmos o raio máximo da esfera $E_3$, que esteja entre as duas primeiras, e que também seja tangente a elas e ao plano $\alpha$, utilizamos a fórmula $(17)$:
$$\rho_{\text{max}} = \frac{Rr}{\big( \sqrt{R} + \sqrt{r} \big)^2} \\
\ \\
\rho_{\text{max}} = \frac{4 \cdot 1}{\left( \sqrt{4}+\sqrt{1} \right)^2} \\
\ \\
\rho_{\text{max}} = \frac{4}{(2+1)^2} \\
\ \\
\rho_{\text{max}} = \frac{4}{3^2}\\
\ \\
\rho_{\text{max}} = \frac{4}{9} \\
\ \\
\rho_{\text{max}} \approx 0,44
$$
Assim, o maior raio para a esfera $E_3$ localizada entre as duas primeira, que seja tangente a elas e ao plano, possui raio igual a $4/9$ unidades de comprimento.
Resolução de 6):
Para encontrarmos o raio mínimo da esfera $E_4$, que esteja externa às duas primeiras, ao lado da esfera menor, tangentes a elas e ao plano $\alpha$, utilizamos a fórmula $(21)$:
$$\rho_{\text{min}} = \frac{Rr}{\left( \sqrt{R} - \sqrt{r} \right)^2}\\
\ \\
\rho_{\text{min}} = \frac{4 \cdot 1}{\left( \sqrt{4} - \sqrt{r} \right)^2}\\
\ \\
\rho_{\text{min}} = \frac{4}{(2-1)^2}\\
\ \\
\rho_{\text{min}} = \frac{4}{1^2}\\
\ \\
\rho_{\text{min}} = 4
$$
Assim, o menor raio para a esfera $E_4$ localizada externa à duas primeiras, que seja tangente a elas e ao plano, possui raio igual a 4 unidades de comprimento.
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