Para encontrar as coordenadas de um ponto $P$ que divide um segmento de reta $\overline{AB}$ em uma razão $k$, existe uma fórmula direta e elegante da Geometria Analítica. Este artigo demonstra passo a passo essa importante relação, mostrando sua aplicação prática em problemas no plano e no espaço.
Sejam dois pontos no espaço $A$ e $B$. Para encontrarmos as coordenadas do ponto $P$ que divide o segmento $\overline{AB}$ na razão $k$, usamos a fórmula:
$$\overrightarrow{P} = \frac{\overrightarrow{A} + k \cdot \overrightarrow{B}}{1+k}
$$
A razão de divisão $k$ é definida pela proporção entre as distâncias de $A$ a $P$ e de $P$ a $B$:
$$k = \frac{|AP|}{|PB|}
$$
Temos, então, que:
- Se $k=1$, então $P$ encontra-se no ponto médio do segmento $\overline{AB}$;
- Se $k=2$, então a distância $|AP|$ é o dobro da distância $|PB|$;
- Se $K=\dfrac{a}{b}$, então o ponto $P$ divide o segmento $\overline{AB}$ na razão:
k = \frac{|AP|}{|PB|}
$$
Sejam $\overrightarrow{A}$, $\overrightarrow{B}$ e $\overrightarrow{P}$ os vetores posição que ligam a origem $(O)$ aos pontos $A$, $B$ e $P$, respectivamente.
Como o ponto $P$ divide o segmento $\overline{AB}$ na razão $k$, os vetores $\overrightarrow{AP}$ e $\overrightarrow{PB}$ são colineares e a magnitude de um vetor é $k$ vezes a do outro. Assim:
$$\overrightarrow{AP} = k \cdot \overrightarrow{PB} \tag{1}
$$
Um vetor de um ponto a outro $\big( \overrightarrow{AB} \big)$ é sempre igual à diferença entre o vetor posição final $\big( \overrightarrow{B} \big)$ e o vetor inicial $\big( \overrightarrow{A} \big)$:
$$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{A} \tag{2}
$$
e
$$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{P} \tag{3}
$$
Substituindo $(2)$ e $(3)$ em $(1)$, obtemos:
$$\overrightarrow{AP} = k \cdot \overrightarrow{PB} \\
\ \\
\overrightarrow{P} - \overrightarrow{A} = k \cdot \big( \overrightarrow{B} - \overrightarrow{P} \big)
$$
Vamos isolar $\overrightarrow{P}$, pois ele representa as coordenadas que queremos encontrar:
$$\overrightarrow{P} - \overrightarrow{A} = k \cdot \overrightarrow{B} - k \cdot \overrightarrow{P} \\
\ \\
\overrightarrow{P} - k \cdot \overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + k \cdot \overrightarrow{B} \\
\ \\
\overrightarrow{P}(1+k) = \overrightarrow{A} + k \cdot \overrightarrow{B}
$$ $$
\overrightarrow{P} = \frac{\overrightarrow{A} + k \cdot \overrightarrow{B}}{1 + k} \tag{4}
$$
O vetor $\overrightarrow{P}$ contém as coordenadas do ponto $P$. Se os pontos possuem coordenadas:
$$A=(x_A,y_A,z_A) \\
\ \\
B = (x_B, y_B, z_B) \\
\ \\
P = (x_P,y_P,z_P)
$$
então podemos aplicar a fórmula $(4)$ a cada uma das coordenadas:
\begin{cases}x_P = \dfrac{x_A + k \cdot x_B}{1+k} \\
\ \\
y_P = \dfrac{y_A + k \cdot y_B}{1+k} \\
\ \\
z_P = \dfrac{z_A + k \cdot z_B}{1+k}
\tag{5}
\end{cases}
Se quisermos encontrar as coordenadas do ponto médio do segmento $\overline{AB}$, fazemos $k=1$, obtendo:
\begin{cases}x_P = \dfrac{x_A + 1 \cdot x_B}{1+1} = \dfrac{x_A + x_B}{2} \\
\ \\
y_P = \dfrac{y_A + 1 \cdot y_B}{1+1} = \dfrac{y_A + y_B}{2} \\
\ \\
z_P = \dfrac{z_A + 1 \cdot z_B}{1+1} = \dfrac{z_A + z_B}{2}
\tag{6}
\end{cases}
Isso mostra que a fórmula para a divisão é uma generalização da fórmula do ponto médio.
Exemplo 1:
Dados os pontos $A(2,1)$ e $B(10,9)$ no $\mathbb{R}^2$, vamos encontrar as coordenadas do ponto $P$ que divide o segmento $\overline{AB}$ na razão $k=3$.
Aplicando a fórmula separadamente para as coordenadas $x_P$ e $y_P$, obtemos:
$$x_P = \frac{x_A + k \cdot x_B}{1+k} = \frac{2+3\cdot 10}{1+3} = 8\\
\ \\
y_P = \frac{y_A + k \cdot y_B}{1+k} = \frac{1+3\cdot 9}{1+3} = 7
$$
Assim, as coordenadas do ponto $P$ que divide o segmento $\overline{AB}$ na razão $k=3$ são $P = (8,7)$.
Exemplo 2:
Dados os pontos $A(-4,3,5)$, $B(8,-6,2)$ no $\mathbb{R}^3$, vamos encontrar as coordenadas do ponto $P$ que divide o segmento $\overline{AB}$ de modo que o segmento $\overline{AP}$ seja a metade de $\overline{PB}$.
Como $\overline{AP}$ é metade de $\overline{PB}$, a razão $k= \dfrac{1}{2}$.
Aplicando a fórmula separadamente para as coordenadas $x_P$, $y_P$ e $z_P$, obtemos:
x_P = \frac{x_A + k \cdot x_B}{1+k} = \frac{-4 + \dfrac{1}{2}\cdot 8}{1+\dfrac{1}{2}} = \frac{-4+4}{\dfrac{3}{2}} = 0\\
\ \\
y_P = \frac{y_A + k \cdot y_B}{1+k} = \frac{3 + \dfrac{1}{2}\cdot (-6)}{1+\dfrac{1}{2}} = \frac{3-3}{\dfrac{3}{2}} = 0
\ \\
z_P = \frac{z_A + k \cdot z_B}{1+k} = \frac{5 + \dfrac{1}{2}\cdot 2}{1+\dfrac{1}{2}} = \frac{6}{\dfrac{3}{2}} =4\\
$$
Assim, as coordenadas do ponto $P$ que divide o segmento $\overline{AB}$ na razão $k = 1/2$ possui coordenadas $P(0,0,4)$.
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