A circunferência é conhecido desde antes do início da história registrada. As circunferências naturais são comuns, como a lua cheia ou uma fatia de fruta redonda.
A circunferência é a base da roda, que, com invenções relacionadas, como as engrenagens, torna possível grande parte do maquinário moderno.
Na matemática, o estudo da circunferência ajudou a inspirar o desenvolvimento da geometria, da astronomia e do cálculo [Wikipédia]. Por conta de suas inúmeras propriedades e características, a circunferência é uma das figuras geométricas mais estudadas na Matemática desde a Grécia Antiga.
A equação reduzida da circunferência
A forma mais comum de expressar a equação de uma circunferência é através da equação reduzida, dada por:
(x−a)2+(y−b)2=r2onde (a,b) são as coordenadas do centro da circunferência e r é o raio da circunferência.
Na Geometria Analítica associamos a circunferência a uma equação a partir de sua definição.
Definição: Circunferência é o conjunto de pontos de um plano que estão a uma mesma distância r de um ponto fixo C, chamado de centro (ou origem) da circunferência.
Isso significa que se um ponto qualquer P(x,y) movimentar-se sobre a circunferência, suas coordenadas variarão, mas a distância de P ao centro C da circunferência será sempre igual à medida do raio r.
Seja uma circunferência de centro C(a,b) e raio r e seja um ponto genérico P(x,y). A distância de P ao centro C é dada por:
dCP=√(x−a)2+(y−b2=rElevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos:
(x−a)2+(y−b)2=r2Esta equação é denominada equação reduzida da circunferência e possui centro C(a,b) e raio r.
Exemplo 1:
A circunferência de centro C(3,5) e raio 4 tem equação:
(x−3)2+(y−5)2=16Exemplo 2:
A circunferência de centro C(−2,4) e raio 2 tem equação:
(x+2)2+(y−4)2=4Exemplo 3:
Seja uma circunferência de centro C(3,4) e raio r=5. Vamos determinar:
a) Os pontos que possuem ordenada igual a 7;
b) O valor de m para que P(−2,m) pertença à circunferência;
c) Os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 10;
d) As intersecções da circunferência com o eixo dos y.
Resoluções:
a) Para encontrarmos os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 7, substituímos y=7 na equação da circunferência, obtendo:
(x−3)2+(7−4)2=52 (x−3)2+9=25 (x−3)2−16=0 x2−6x+9−16=0 x2−6x−7=0 x=6±√36+282 x=6±√642 x1=6+82=7 x2=6−82=−1Assim, os pontos solicitados são: (7,7) e (−1,7).
b) Dado o ponto P(−2,m), para que ele pertença à circunferência, substituímos suas coordenadas na equação da circunferência:
(−2−3)2+(m−4)2=25 25+(m−4)2=25 (m−4)2=0 (m−4)(m−4)=0 m=4Assim, o valor de m para que P pertença à circunferência é m=4.
c) Para encontrarmos os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 10, substituímos y=10 na equação da circunferência, obtendo:
(x−3)2+(10−4)2=25 (x−3)2+36=25 (x−3)2+11=0 x2−6x+20=0 x=6±√36−802 x=6±√−442Como Δ<0, não existem raízes reais para a equação, logo, não existem pontos da circunferência que possua ordenada igual a 10.
d) Para encontrarmos as intersecções da circunferência com o eixo dos y, substituímos x=0 na equação da circunferência, obtendo:
(0−3)3+(y−4)2=25 9+(y−4)2=25 y2−8y+16+9−25=0 y2−8y=0 y(y−8)=0 y1=0 y2=8Assim, os pontos em que a circunferência intersecta o eixo dos y são: (0,0) e (0,8).
A equação geral da circunferência
A equação geral da circunferência pode ser obtida expandindo a equação reduzida:
(x−a)2+(y−b)2=r2 x2−2ax+a2+y2−2by+b2=r2Reorganizando os termos:
x2+y2−2ax−2by+(a2+b2−r2)=0Podemos reescrever como:
x2+y2+Dx+Ey+F=0onde:
- x e y representam as coordenadas de qualquer ponto da circunferência;
- D, E e F são constantes reais dadas por:
Como a equação geral é obtida da expansão da equação reduzida, o processo inverso também é útil quando queremos, por exemplo, encontrar o centro e o raio de uma circunferência a partir de sua equação geral.
Exemplo 4:
Seja x2+y2−6x+4y−3=0 a equação geral de uma circunferência. Vamos encontrar o centro e o raio dessa circunferência.
Iniciamos agrupando os termos que contém x e y:
(x2−6x)+(y2+4y)=3Para continuarmos na determinação o centro e o raio, temos que utilizar o método de completar quadrados. Esse método consiste em transformar a equação geral em uma equação reduzida.
Leia o artigo: Completando quadrados
A ideia é transformar (x2−6x) e (y2+4y) em quadrados perfeitos. Para isso, temos que somar uma quantidade M a (x2−6x) e uma quantidade N a (y2+4y), de modo que se transforme em quadrados perfeitos.
Uma forma de obter os valores de M e N é tomar o quadrado da metade do coeficiente das variáveis de graus 1, ou seja:
Para (x2−6x), tomamos a metade do coeficiente de x, que é 6, e elevamos ao quadrado:
M=(62)2=9Para (y+4y), tomamos a metade do coeficiente de y, que é 4, e elevamos ao quadrado:
N=(42)2=4Então, somamos estes valores de M e N em ambos os membros da equação:
(x2−6x+9)+(y2+4y+4)=3+9+4obtendo a equação reduzida:
(x−3)2+(y+2)2=16Assim, temos que a circunferência possui centro igual a C(3,−2) e raio igual a r=4.
Características da equação geral da circunferência
A partir dos coeficientes D, E e F da equação geral, podemos determinar o centro e o raio da circunferência.
O centro (a,b) da circunferência é dado por:
C=(−D2,−E2)O raio r da circunferência é dado por:
r=√(D2)2+(E2)2−FSe o valor da raiz quadrada for negativo, indica que a equação em questão não representa uma circunferência.
Exemplo 5:
Vamos tomar a mesma equação do exemplo 4 e calcular as coordenadas do centro e o raio da circunferência utilizando as fórmulas (3) e (4) obtidas acima.
A equação geral da circunferência é:
x2+y2−6x+4y−3=0Identificamos as constantes D, E e F:
D=−6 E=4 F=−3Para calcularmos o centro da circunferência, fazemos:
C=(−D2,−E2) C=(−(−6)2,−42) C=(3,−2)Para calcularmos o raio da circunferência, fazemos:
r=√(D2)2+(E2)2−F r=√(−62)2+(42)2−(−3) r=√9+4+3 r=√16 r=4Podemos ver que o centro e o raio calculados foram iguais aos encontrados no exemplo 4, o que não surpreende, mas conforta.
Circunferência com centro da origem
Se D=0 ed E=0, a equação geral da circunferência se reduz a:
x2+y2=r2representando uma circunferência com centro na origem (0,0).
Circunferência degenerada
Se r=0, a equação representa um único ponto, ou seja, a circunferência se degenera em um ponto.
Referências:
- Matemática para o Ensino Médio V3 - Katia Stocco Smole & Maria Ignez Diniz
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