31/08/2024

A equação reduzida e geral da circunferência

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A circunferência é conhecido desde antes do início da história registrada. As circunferências naturais são comuns, como a lua cheia ou uma fatia de fruta redonda. 

A circunferência é a base da roda, que, com invenções relacionadas, como as engrenagens, torna possível grande parte do maquinário moderno. 

Na matemática, o estudo da circunferência ajudou a inspirar o desenvolvimento da geometria, da astronomia e do cálculo [Wikipédia]. Por conta de suas inúmeras propriedades e características, a circunferência é uma das figuras geométricas mais estudadas na Matemática desde a Grécia Antiga.

A equação reduzida da circunferência

A forma mais comum de expressar a equação de uma circunferência é através da equação reduzida, dada por:
(xa)2+(yb)2=r2
onde (a,b) são as coordenadas do centro da circunferência e r é o raio da circunferência.

Na Geometria Analítica associamos a circunferência a uma equação a partir de sua definição.

Definição: Circunferência é o conjunto de pontos de um plano que estão a uma mesma distância r de um ponto fixo C, chamado de centro (ou origem) da circunferência.

Isso significa que se um ponto qualquer P(x,y) movimentar-se sobre a circunferência, suas coordenadas variarão, mas a distância de P ao centro C da circunferência será sempre igual à medida do raio r.
equacao-generica-da-circunferencia

Seja uma circunferência de centro C(a,b) e raio r e seja um ponto genérico P(x,y). A distância de P ao centro C é dada por:
dCP=(xa)2+(yb2=r

Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos:
(xa)2+(yb)2=r2
Esta equação é denominada equação reduzida da circunferência e possui centro C(a,b) e raio r.

Exemplo 1:

A circunferência de centro C(3,5) e raio 4 tem equação:
(x3)2+(y5)2=16
equacao-da-circunferencia-de-centro-C3e5-raio-4

Exemplo 2:

A circunferência de centro C(2,4) e raio 2 tem equação:
(x+2)2+(y4)2=4
equacao-da-circunferencia-de-centro-C-2e4-raio-2

Exemplo 3:

Seja uma circunferência de centro C(3,4) e raio r=5. Vamos determinar:

a) Os pontos que possuem ordenada igual a 7;
b) O valor de m para que P(2,m) pertença à circunferência;
c) Os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 10;
d) As intersecções da circunferência com o eixo dos y.
equacao-da-circunferencia-de-centro-C3e5-raio-5

Resoluções:

a) Para encontrarmos os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 7, substituímos y=7 na equação da circunferência, obtendo:
(x3)2+(74)2=52 (x3)2+9=25 (x3)216=0 x26x+916=0 x26x7=0 x=6±36+282 x=6±642 x1=6+82=7 x2=682=1
Assim, os pontos solicitados são: (7,7) e (1,7).

b) Dado o ponto P(2,m), para que ele pertença à circunferência, substituímos suas coordenadas na equação da circunferência:
(23)2+(m4)2=25 25+(m4)2=25 (m4)2=0 (m4)(m4)=0 m=4
Assim, o valor de m para que P pertença à circunferência é m=4.

c) Para encontrarmos os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 10, substituímos y=10 na equação da circunferência, obtendo:
(x3)2+(104)2=25 (x3)2+36=25 (x3)2+11=0 x26x+20=0 x=6±36802 x=6±442
Como Δ<0, não existem raízes reais para a equação, logo, não existem pontos da circunferência que possua ordenada igual a 10.

d) Para encontrarmos as intersecções da circunferência com o eixo dos y, substituímos x=0 na equação da circunferência, obtendo:
(03)3+(y4)2=25 9+(y4)2=25 y28y+16+925=0 y28y=0 y(y8)=0 y1=0 y2=8
Assim, os pontos em que a circunferência intersecta o eixo dos y são: (0,0) e (0,8).

A equação geral da circunferência

A equação geral da circunferência pode ser obtida expandindo a equação reduzida:
(xa)2+(yb)2=r2 x22ax+a2+y22by+b2=r2
Reorganizando os termos:
x2+y22ax2by+(a2+b2r2)=0
Podemos reescrever como:
x2+y2+Dx+Ey+F=0
onde:
  • x e y representam as coordenadas de qualquer ponto da circunferência;
  • D, E e F são constantes reais dadas por:
D=2a E=2b F=a2+b2r2

Como a equação geral é obtida da expansão da equação reduzida, o processo inverso também é útil quando queremos, por exemplo, encontrar o centro e o raio de uma circunferência a partir de sua equação geral.

Exemplo 4:

Seja x2+y26x+4y3=0 a equação geral de uma circunferência. Vamos encontrar o centro e o raio dessa circunferência.

Iniciamos agrupando os termos que contém x e y:
(x26x)+(y2+4y)=3
Para continuarmos na determinação o centro e o raio, temos que utilizar o método de completar quadrados. Esse método consiste em transformar a equação geral em uma equação reduzida.

Leia o artigo: Completando quadrados

A ideia é transformar (x26x) e (y2+4y) em quadrados perfeitos. Para isso, temos que somar uma quantidade M a (x26x) e uma quantidade N a (y2+4y), de modo que se transforme em quadrados perfeitos.

Uma forma de obter os valores de M e N é tomar o quadrado da metade do coeficiente das variáveis de graus 1, ou seja:

Para (x26x), tomamos a metade do coeficiente de x, que é 6, e elevamos ao quadrado:
M=(62)2=9
Para (y+4y), tomamos a metade do coeficiente de y, que é 4, e elevamos ao quadrado:
N=(42)2=4
Então, somamos estes valores de M e N em ambos os membros da equação:
(x26x+9)+(y2+4y+4)=3+9+4
obtendo a equação reduzida:
(x3)2+(y+2)2=16
Assim, temos que a circunferência possui centro igual a C(3,2) e raio igual a r=4.

Características da equação geral da circunferência

A partir dos coeficientes D, E e F da equação geral, podemos determinar o centro e o raio da circunferência.

O centro (a,b) da circunferência é dado por:
C=(D2,E2)
O raio r da circunferência é dado por:
r=(D2)2+(E2)2F
Se o valor da raiz quadrada for negativo, indica que a equação em questão não representa uma circunferência.

Exemplo 5:

Vamos tomar a mesma equação do exemplo 4 e calcular as coordenadas do centro e o raio da circunferência utilizando as fórmulas (3) e (4) obtidas acima.

A equação geral da circunferência é:
x2+y26x+4y3=0
Identificamos as constantes D, E e F:
D=6 E=4 F=3
Para calcularmos o centro da circunferência, fazemos:
C=(D2,E2) C=((6)2,42) C=(3,2)
Para calcularmos o raio da circunferência, fazemos:
r=(D2)2+(E2)2F r=(62)2+(42)2(3) r=9+4+3  r=16 r=4
Podemos ver que o centro e o raio calculados foram iguais aos encontrados no exemplo 4, o que não surpreende, mas conforta.

Circunferência com centro da origem

Se D=0 ed E=0, a equação geral da circunferência se reduz a:
x2+y2=r2
representando uma circunferência com centro na origem (0,0).

Circunferência degenerada

Se r=0, a equação representa um único ponto, ou seja, a circunferência se degenera em um ponto.

Referências:

  • Matemática para o Ensino Médio V3 - Katia Stocco Smole & Maria Ignez Diniz


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: A equação reduzida e geral da circunferência. Publicado por Kleber Kilhian em 31/08/2024. URL: . Leia os Termos de uso.


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