A equação reduzida e geral da circunferência

A circunferência é conhecido desde antes do início da história registrada. As circunferências naturais são comuns, como a lua cheia ou uma fatia de fruta redonda. 

A circunferência é a base da roda, que, com invenções relacionadas, como as engrenagens, torna possível grande parte do maquinário moderno. 

Na matemática, o estudo da circunferência ajudou a inspirar o desenvolvimento da geometria, da astronomia e do cálculo [Wikipédia]. Por conta de suas inúmeras propriedades e características, a circunferência é uma das figuras geométricas mais estudadas na Matemática desde a Grécia Antiga.

A equação reduzida da circunferência

A forma mais comum de expressar a equação de uma circunferência é através da equação reduzida, dada por:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \tag{1}$$

onde $(a,b)$ são as coordenadas do centro da circunferência e $r$ é o raio da circunferência.

Na Geometria Analítica associamos a circunferência a uma equação a partir de sua definição.

Definição: Circunferência é o conjunto de pontos de um plano que estão a uma mesma distância $r$ de um ponto fixo $C$, chamado de centro (ou origem) da circunferência.

Isso significa que se um ponto qualquer $P(x,y)$ movimentar-se sobre a circunferência, suas coordenadas variarão, mas a distância de $P$ ao centro $C$ da circunferência será sempre igual à medida do raio $r$.

Seja uma circunferência de centro $C(a,b)$ e raio $r$ e seja um ponto genérico $P(x,y)$. A distância de $P$ ao centro $C$ é dada por:

$$d_{CP} = \sqrt{(x-a)^2+(y-b^2} = r$$

Leia o artigo: Como calcular distâncias no espaço através da Geometria Analítica

Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$

Esta equação é denominada equação reduzida da circunferência e possui centro $C(a,b)$ e raio $r$.

Exemplo 1:

A circunferência de centro $C(3,5)$ e raio $4$ tem equação:

$$(x-3)^2 + (y-5)^2 = 16$$

Exemplo 2:

A circunferência de centro $C(-2,4)$ e raio $2$ tem equação:

$$(x+2)^2 + (y-4)^2 = 4$$

Exemplo 3:

Seja uma circunferência de centro $C(3,4)$ e raio $r=5$. Vamos determinar:

a) Os pontos que possuem ordenada igual a 7;

b) O valor de $m$ para que $P(-2,m)$ pertença à circunferência;

c) Os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 10;

d) As intersecções da circunferência com o eixo dos $y$.

Resoluções:

a) Para encontrarmos os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 7, substituímos $y=7$ na equação da circunferência, obtendo:

$$(x-3)^2 + (7-4)^2 = 5^2\\ \ \\ (x-3)^2 + 9 = 25\\ \ \\ (x-3)^2 -16 = 0\\ \ \\ x^2 - 6x + 9 - 16 = 0\\ \ \\ x^2 - 6x - 7 = 0\\ \ \\ x = \frac{6 \pm \sqrt{36+28}}{2}\\ \ \\ x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2}\\ \ \\ x_1 = \frac{6+8}{2} = 7\\ \ \\ x_2 = \frac{6-8}{2}=-1$$

Assim, os pontos solicitados são: $(7,7)$ e $(-1,7)$.

b) Dado o ponto $P(-2,m)$, para que ele pertença à circunferência, substituímos suas coordenadas na equação da circunferência:

$$(-2-3)^2 + (m-4)^2 = 25\\ \ \\ 25 + (m-4)^2 = 25\\ \ \\ (m-4)^2 = 0\\ \ \\ (m-4)(m-4) = 0\\ \ \\ m=4$$

Assim, o valor de $m$ para que $P$ pertença à circunferência é $m=4$.

c) Para encontrarmos os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 10, substituímos $y=10$ na equação da circunferência, obtendo:

$$(x-3)^2 + (10-4)^2 = 25\\ \ \\ (x-3)^2 + 36 = 25\\ \ \\ (x-3)^2 +11 = 0\\ \ \\ x^2 -6x + 20 = 0\\ \ \\ x = \frac{6 \pm \sqrt{36-80}}{2}\\ \ \\ x = \frac{6 \pm \sqrt{-44}}{2}$$

Como $\Delta < 0$, não existem raízes reais para a equação, logo, não existem pontos da circunferência que possua ordenada igual a 10.

d) Para encontrarmos as intersecções da circunferência com o eixo dos $y$, substituímos $x=0$ na equação da circunferência, obtendo:

$$(0-3)^3 + (y-4)^2 = 25\\ \ \\ 9 + (y-4)^2 = 25\\ \ \\ y^2 - 8y + 16 + 9 -25 = 0\\ \ \\ y^2 - 8y = 0\\ \ \\ y(y - 8) = 0\\ \ \\ y_1 = 0\\ \ \\ y_2 = 8$$

Assim, os pontos em que a circunferência intersecta o eixo dos $y$ são: $(0,0)$ e $(0,8)$.

A equação geral da circunferência

A equação geral da circunferência pode ser obtida expandindo a equação reduzida:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\ \ \\ x^2 - 2ax + a^2 + y^2 -2by + b^2 = r^2$$

Reorganizando os termos:

$$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$

Podemos reescrever como:

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \tag{2}$$

onde:

• $x$ e $y$ representam as coordenadas de qualquer ponto da circunferência;
• $D$, $E$ e $F$ são constantes reais dadas por:

$$\begin{align*} D& = -2a\\ \ \\ E &= -2b\\ \ \\ F &= a^2+b^2-r^2 \end{align*}$$

Como a equação geral é obtida da expansão da equação reduzida, o processo inverso também é útil quando queremos, por exemplo, encontrar o centro e o raio de uma circunferência a partir de sua equação geral.

Exemplo 4:

Seja $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ a equação geral de uma circunferência. Vamos encontrar o centro e o raio dessa circunferência.

Iniciamos agrupando os termos que contém $x$ e $y$:

$$(x^2-6x) + (y^2+4y) = 3$$

Para continuarmos na determinação o centro e o raio, temos que utilizar o método de completar quadrados. Esse método consiste em transformar a equação geral em uma equação reduzida.

Leia o artigo: Completando quadrados

A ideia é transformar $(x^2-6x)$ e $(y^2+4y)$ em quadrados perfeitos. Para isso, temos que somar uma quantidade $M$ a $(x^2-6x)$ e uma quantidade $N$ a $(y^2+4y)$, de modo que se transforme em quadrados perfeitos.

Uma forma de obter os valores de $M$ e $N$ é tomar o quadrado da metade do coeficiente das variáveis de graus 1, ou seja:

Para $(x^2-6x)$, tomamos a metade do coeficiente de $x$, que é 6, e elevamos ao quadrado:

$$M = \left( \frac{6}{2} \right)^2 = 9$$

Para $(y+4y)$, tomamos a metade do coeficiente de $y$, que é 4, e elevamos ao quadrado:

$$N = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$$

Então, somamos estes valores de $M$ e $N$ em ambos os membros da equação:

$$(x^2-6x+9) + (y^2+4y+4) = 3 + 9 + 4$$

obtendo a equação reduzida:

$$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$$

Assim, temos que a circunferência possui centro igual a $C(3,-2)$ e raio igual a $r=4$.

Características da equação geral da circunferência

A partir dos coeficientes $D$, $E$ e $F$ da equação geral, podemos determinar o centro e o raio da circunferência.

O centro $(a,b)$ da circunferência é dado por:

$$C = \left( -\frac{D}{2} , - \frac{E}{2} \right) \tag{3}$$

O raio $r$ da circunferência é dado por:

$$r = \sqrt{\left( \frac{D}{2} \right)^2 + \left( \frac{E}{2} \right)^2 - F} \tag{4}$$

Se o valor da raiz quadrada for negativo, indica que a equação em questão não representa uma circunferência.

Exemplo 5:

Vamos tomar a mesma equação do exemplo 4 e calcular as coordenadas do centro e o raio da circunferência utilizando as fórmulas $(3)$ e $(4)$ obtidas acima.

A equação geral da circunferência é:

$$x^2+y^2-6x+4y-3=0$$

Identificamos as constantes $D$, $E$ e $F$:

$$\begin{align*} D& = -6\\ \ \\ E& = 4\\ \ \\ F&= -3 \end{align*}$$

Para calcularmos o centro da circunferência, fazemos:

$$C = \left( -\frac{D}{2} , - \frac{E}{2} \right)\\ \ \\ C = \left( -\frac{(-6)}{2} , - \frac{4}{2} \right)\\ \ \\ C = (3, -2)$$

Para calcularmos o raio da circunferência, fazemos:

$$r = \sqrt{\left( \frac{D}{2} \right)^2 + \left( \frac{E}{2} \right)^2 - F}\\ \ \\ r = \sqrt{\left( \frac{-6}{2} \right)^2 + \left( \frac{4}{2} \right)^2 - (-3)}\\ \ \\ r = \sqrt{9+4+3}\ \\ \ \\ r = \sqrt{16}\\ \ \\ r = 4$$

Podemos ver que o centro e o raio calculados foram iguais aos encontrados no exemplo 4, o que não surpreende, mas conforta.

Circunferência com centro da origem

Se $D=0$ ed $E=0$, a equação geral da circunferência se reduz a:

$$x^2+y^2=r^2$$

representando uma circunferência com centro na origem $(0,0)$.

Circunferência degenerada

Se $r=0$, a equação representa um único ponto, ou seja, a circunferência se degenera em um ponto.

Referências:

• Matemática para o Ensino Médio V3 - Katia Stocco Smole & Maria Ignez Diniz

Veja mais:

• Completando quadrado
  
• A equação da elipse
  
• Como calcular distâncias no espaço
  
• Fórmula para as coordenadas do baricentro do triângulo