A circunferência é conhecido desde antes do início da história registrada. As circunferências naturais são comuns, como a lua cheia ou uma fatia de fruta redonda.
A circunferência é a base da roda, que, com invenções relacionadas, como as engrenagens, torna possível grande parte do maquinário moderno.
Na matemática, o estudo da circunferência ajudou a inspirar o desenvolvimento da geometria, da astronomia e do cálculo [Wikipédia]. Por conta de suas inúmeras propriedades e características, a circunferência é uma das figuras geométricas mais estudadas na Matemática desde a Grécia Antiga.
A equação reduzida da circunferência
A forma mais comum de expressar a equação de uma circunferência é através da equação reduzida, dada por:
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \tag{1}
$$
onde $(a,b)$ são as coordenadas do centro da circunferência e $r$ é o raio da circunferência.
Na Geometria Analítica associamos a circunferência a uma equação a partir de sua definição.
Definição: Circunferência é o conjunto de pontos de um plano que estão a uma mesma distância $r$ de um ponto fixo $C$, chamado de centro (ou origem) da circunferência.
Isso significa que se um ponto qualquer $P(x,y)$ movimentar-se sobre a circunferência, suas coordenadas variarão, mas a distância de $P$ ao centro $C$ da circunferência será sempre igual à medida do raio $r$.
Seja uma circunferência de centro $C(a,b)$ e raio $r$ e seja um ponto genérico $P(x,y)$. A distância de $P$ ao centro $C$ é dada por:
$$d_{CP} = \sqrt{(x-a)^2+(y-b^2} = r
$$
Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos:
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
$$
Esta equação é denominada equação reduzida da circunferência e possui centro $C(a,b)$ e raio $r$.
Exemplo 1:
A circunferência de centro $C(3,5)$ e raio $4$ tem equação:
$$(x-3)^2 + (y-5)^2 = 16
$$
Exemplo 2:
A circunferência de centro $C(-2,4)$ e raio $2$ tem equação:
$$(x+2)^2 + (y-4)^2 = 4
$$
Exemplo 3:
Seja uma circunferência de centro $C(3,4)$ e raio $r=5$. Vamos determinar:
a) Os pontos que possuem ordenada igual a 7;
b) O valor de $m$ para que $P(-2,m)$ pertença à circunferência;
c) Os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 10;
d) As intersecções da circunferência com o eixo dos $y$.
Resoluções:
a) Para encontrarmos os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 7, substituímos $y=7$ na equação da circunferência, obtendo:
$$(x-3)^2 + (7-4)^2 = 5^2\\
\ \\
(x-3)^2 + 9 = 25\\
\ \\
(x-3)^2 -16 = 0\\
\ \\
x^2 - 6x + 9 - 16 = 0\\
\ \\
x^2 - 6x - 7 = 0\\
\ \\
x = \frac{6 \pm \sqrt{36+28}}{2}\\
\ \\
x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2}\\
\ \\
x_1 = \frac{6+8}{2} = 7\\
\ \\
x_2 = \frac{6-8}{2}=-1
$$
Assim, os pontos solicitados são: $(7,7)$ e $(-1,7)$.
b) Dado o ponto $P(-2,m)$, para que ele pertença à circunferência, substituímos suas coordenadas na equação da circunferência:
$$(-2-3)^2 + (m-4)^2 = 25\\
\ \\
25 + (m-4)^2 = 25\\
\ \\
(m-4)^2 = 0\\
\ \\
(m-4)(m-4) = 0\\
\ \\
m=4
$$
Assim, o valor de $m$ para que $P$ pertença à circunferência é $m=4$.
c) Para encontrarmos os pontos da circunferência que possuem ordenada igual a 10, substituímos $y=10$ na equação da circunferência, obtendo:
$$(x-3)^2 + (10-4)^2 = 25\\
\ \\
(x-3)^2 + 36 = 25\\
\ \\
(x-3)^2 +11 = 0\\
\ \\
x^2 -6x + 20 = 0\\
\ \\
x = \frac{6 \pm \sqrt{36-80}}{2}\\
\ \\
x = \frac{6 \pm \sqrt{-44}}{2}
$$
Como $\Delta < 0$, não existem raízes reais para a equação, logo, não existem pontos da circunferência que possua ordenada igual a 10.
d) Para encontrarmos as intersecções da circunferência com o eixo dos $y$, substituímos $x=0$ na equação da circunferência, obtendo:
$$(0-3)^3 + (y-4)^2 = 25\\
\ \\
9 + (y-4)^2 = 25\\
\ \\
y^2 - 8y + 16 + 9 -25 = 0\\
\ \\
y^2 - 8y = 0\\
\ \\
y(y - 8) = 0\\
\ \\
y_1 = 0\\
\ \\
y_2 = 8
$$
Assim, os pontos em que a circunferência intersecta o eixo dos $y$ são: $(0,0)$ e $(0,8)$.
A equação geral da circunferência
A equação geral da circunferência pode ser obtida expandindo a equação reduzida:
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\
\ \\
x^2 - 2ax + a^2 + y^2 -2by + b^2 = r^2
$$
Reorganizando os termos:
$$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0
$$
Podemos reescrever como:
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \tag{2}
$$
onde:
- $x$ e $y$ representam as coordenadas de qualquer ponto da circunferência;
- $D$, $E$ e $F$ são constantes reais dadas por:
D& = -2a\\
\ \\
E &= -2b\\
\ \\
F &= a^2+b^2-r^2
\end{align*}
Como a equação geral é obtida da expansão da equação reduzida, o processo inverso também é útil quando queremos, por exemplo, encontrar o centro e o raio de uma circunferência a partir de sua equação geral.
Exemplo 4:
Seja $x^2+y^2-6x+4y-3=0$ a equação geral de uma circunferência. Vamos encontrar o centro e o raio dessa circunferência.
Iniciamos agrupando os termos que contém $x$ e $y$:
$$(x^2-6x) + (y^2+4y) = 3
$$
Para continuarmos na determinação o centro e o raio, temos que utilizar o método de completar quadrados. Esse método consiste em transformar a equação geral em uma equação reduzida.
Leia o artigo: Completando quadrados
A ideia é transformar $(x^2-6x)$ e $(y^2+4y)$ em quadrados perfeitos. Para isso, temos que somar uma quantidade $M$ a $(x^2-6x)$ e uma quantidade $N$ a $(y^2+4y)$, de modo que se transforme em quadrados perfeitos.
Uma forma de obter os valores de $M$ e $N$ é tomar o quadrado da metade do coeficiente das variáveis de graus 1, ou seja:
Para $(x^2-6x)$, tomamos a metade do coeficiente de $x$, que é 6, e elevamos ao quadrado:
$$M = \left( \frac{6}{2} \right)^2 = 9
$$
Para $(y+4y)$, tomamos a metade do coeficiente de $y$, que é 4, e elevamos ao quadrado:
$$N = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4
$$
Então, somamos estes valores de $M$ e $N$ em ambos os membros da equação:
$$(x^2-6x+9) + (y^2+4y+4) = 3 + 9 + 4
$$
obtendo a equação reduzida:
$$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16
$$
Assim, temos que a circunferência possui centro igual a $C(3,-2)$ e raio igual a $r=4$.
Características da equação geral da circunferência
A partir dos coeficientes $D$, $E$ e $F$ da equação geral, podemos determinar o centro e o raio da circunferência.
O centro $(a,b)$ da circunferência é dado por:
$$C = \left( -\frac{D}{2} , - \frac{E}{2} \right) \tag{3}
$$
O raio $r$ da circunferência é dado por:
$$r = \sqrt{\left( \frac{D}{2} \right)^2 + \left( \frac{E}{2} \right)^2 - F} \tag{4}
$$
Se o valor da raiz quadrada for negativo, indica que a equação em questão não representa uma circunferência.
Exemplo 5:
Vamos tomar a mesma equação do exemplo 4 e calcular as coordenadas do centro e o raio da circunferência utilizando as fórmulas $(3)$ e $(4)$ obtidas acima.
A equação geral da circunferência é:
$$x^2+y^2-6x+4y-3=0
$$
Identificamos as constantes $D$, $E$ e $F$:
\begin{align*}D& = -6\\
\ \\
E& = 4\\
\ \\
F&= -3
\end{align*}
Para calcularmos o centro da circunferência, fazemos:
$$C = \left( -\frac{D}{2} , - \frac{E}{2} \right)\\
\ \\
C = \left( -\frac{(-6)}{2} , - \frac{4}{2} \right)\\
\ \\
C = (3, -2)
$$
Para calcularmos o raio da circunferência, fazemos:
$$r = \sqrt{\left( \frac{D}{2} \right)^2 + \left( \frac{E}{2} \right)^2 - F}\\
\ \\
r = \sqrt{\left( \frac{-6}{2} \right)^2 + \left( \frac{4}{2} \right)^2 - (-3)}\\
\ \\
r = \sqrt{9+4+3}\ \\
\ \\
r = \sqrt{16}\\
\ \\
r = 4
$$
Podemos ver que o centro e o raio calculados foram iguais aos encontrados no exemplo 4, o que não surpreende, mas conforta.
Circunferência com centro da origem
Se $D=0$ ed $E=0$, a equação geral da circunferência se reduz a:
$$x^2+y^2=r^2
$$
representando uma circunferência com centro na origem $(0,0)$.
Circunferência degenerada
Se $r=0$, a equação representa um único ponto, ou seja, a circunferência se degenera em um ponto.
Referências:
- Matemática para o Ensino Médio V3 - Katia Stocco Smole & Maria Ignez Diniz
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