Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$ \int x \ \ln(x)\ dx = \frac{x^2}{4}\Big(2 \ln(x)-1\Big) + C
$$
Seja a integral:
$$ I = \int x \ \ln(x)\ dx
$$
Para o integrando $x\ \ln(x)$, utilizamos o método de integração por partes:
\int u\ dv = uv - \int v\ du
$$
Fazemos:
\begin{matrix}
u=\ln(x) & \longrightarrow & \displaystyle du=\frac{1}{x}dx\\
\ \\
dv=x\ dx & \longrightarrow & \displaystyle v = \frac{x^2}{2}
\end{matrix}
I = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\ dx\\
\ \\
I = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x\ dx
$$
I = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C\\
\ \\
I = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C\\
\ \\
I = \frac{x^2}{4} \Big( 2 \ln(x) - 1 \Big) + C
$$
x \ln(x) = 0
$$
x_1=0 \quad \text{ou} \quad x_2=1
$$
A = \int_0^1 x \ln(x)\ dx
$$
A = \left[ \frac{x^2}{4} \Big( 2 \ln(x)-1\Big) \right]_0^1\\
\ \\
A = \frac{1^2}{4} \Big( 2\ln(1) - 1\Big) - \frac{0^2}{4}\Big( 2 \ln(0)-1\Big)\\
\ \\
A = \frac{1}{4} (2\cdot 0-1) - 0\\
\ \\
A = \frac{1}{4} (-1)\\
\ \\
A = -\frac{1}{4}
$$
u=\ln(x) & \longrightarrow & \displaystyle du=\frac{1}{x}dx\\
\ \\
dv=x\ dx & \longrightarrow & \displaystyle v = \frac{x^2}{2}
\end{matrix}
Assim:
$$I = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\ dx\\
\ \\
I = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x\ dx
$$
A integral de $x$ é $\displaystyle \frac{x^2}{2}$, logo:
$$I = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C\\
\ \\
I = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C\\
\ \\
I = \frac{x^2}{4} \Big( 2 \ln(x) - 1 \Big) + C
$$
Exemplo:
Vamos calcular a área compreendida entre a curva e o eixo dos x.
O gráfico da função $f(x)=x \ln(x)$ corta o eixo dos $x$ nos pontos $0$ e $1$. Esses pontos são os zeros da função e são obtidos igualando a função a zero:
$$x \ln(x) = 0
$$
Os valores de $x$ para que obtenhamos zero são:
$$x_1=0 \quad \text{ou} \quad x_2=1
$$
Para encontrarmos a área entre a curva e o eixo dos $x$, utilizamos o conceito de integral definida. Fazemos:
$$A = \int_0^1 x \ln(x)\ dx
$$
Graficamente, temos:
Utilizando o resultado obtido da integral, temos:
$$A = \left[ \frac{x^2}{4} \Big( 2 \ln(x)-1\Big) \right]_0^1\\
\ \\
A = \frac{1^2}{4} \Big( 2\ln(1) - 1\Big) - \frac{0^2}{4}\Big( 2 \ln(0)-1\Big)\\
\ \\
A = \frac{1}{4} (2\cdot 0-1) - 0\\
\ \\
A = \frac{1}{4} (-1)\\
\ \\
A = -\frac{1}{4}
$$
A área encontrada foi de $- \displaystyle \frac{1}{4}$ unidades de área. O valor negativo implica que a região calculada encontra-se sob o eixo dos $x$, possuindo um valor absoluto de $1/4$ unidades de área.
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