Veremos neste artigo duas fórmulas para encontrar o raio de uma circunferência inscrita a um triângulo retângulo. Uma utilizando o conceito de incentro e outra utilizando áreas.
Determinação do raio utilizando o incentro
O incentro é um dos pontos notáveis de um triângulo e é definido pelo encontro das três bissetrizes internas e se encontra equidistante aos lados do triângulo. Isso quer dizer que o segmento de reta que parte do incentro é perpendicular aos lados do triângulo. Assim, conseguimos descrever uma circunferência com centro no incentro tangenciando os três lados do triângulo.
Temos que:
$$a = (c-r) + (b-r)\\
\ \\
a = c+b-2r\\
\ \\
2r = b+c-a
$$
Isolando $r$, obtemos:
$$
r = \frac{b+c-1}{2} \tag{1}
$$
A_{ABC} = A_{AIB} + A_{AIC} + A_{BIC} \tag{2}
$$
A_{AIB} = \frac{c \cdot r}{2} \tag{3}
$$
A_{AIC} = \frac{b c\dot r}{2} \tag{4}
$$
A_{BIC} = \frac{a \cdot r}{2} \tag{5}
$$
A_{ABC} = \frac{b \cdot c}{2} \tag{6}
$$
\frac{b \cdot c}{2} = \frac{c\cdot r}{2} + \frac{b\cdot r}{2} + \frac{a\cdot r}{2}\\
\ \\
b\ c = c\ r + b\ r + a\ r\\
\ \\
b\ c = r(a + b + c)
$$
r = \frac{b\ c}{a+b+c}\tag{7}
$$
r = \frac{b+c-1}{2} \tag{1}
$$
Determinação do raio utilizando áreas
Como a circunferência está inscrita no triângulo retângulo, logo, seu centro é o incentro do triângulo. Como vimos no tópico anterior, o segmento que parte do incentro é perpendicular aos lados do triângulo. Assim, podemos dividir o triângulo $ABC$ em outros três triângulos:
Temos que:
$$A_{ABC} = A_{AIB} + A_{AIC} + A_{BIC} \tag{2}
$$
A área do triângulo $AIB$ é dada por:
$$A_{AIB} = \frac{c \cdot r}{2} \tag{3}
$$
A área do triângulo $AIC$ é dada por:
$$A_{AIC} = \frac{b c\dot r}{2} \tag{4}
$$
A área do triângulo $BIC$ é dada por:
$$A_{BIC} = \frac{a \cdot r}{2} \tag{5}
$$
A área do triângulo $ABC$ pode ser calculada como:
$$A_{ABC} = \frac{b \cdot c}{2} \tag{6}
$$
Substituindo $(3)$, $(4)$, $(5)$, $(6)$ em $(2)$, obtemos:
$$\frac{b \cdot c}{2} = \frac{c\cdot r}{2} + \frac{b\cdot r}{2} + \frac{a\cdot r}{2}\\
\ \\
b\ c = c\ r + b\ r + a\ r\\
\ \\
b\ c = r(a + b + c)
$$
Isolando $r$, obtemos:
$$r = \frac{b\ c}{a+b+c}\tag{7}
$$
Exemplo:
Dado o triângulo retângulo $ABC$, de lados 3, 4, 5, vamos calcular o raio da circunferência inscrita.
Vamos aplicar as duas fórmulas obtidas anteriormente para calcular o raio da circunferência.
| Fórmula 1: | Fórmula 2: |
|---|---|
| $$ r = \frac{b+c-a}{2}\\ \ \\ r = \frac{3+4+5}{2}\\ \ \\ r = \frac{7-5}{2}\\ \ \\ r = \frac{2}{2}\\ \ \\ r = 1 $$ |
$$ r = \frac{b\ c}{a+b+c}\\ \ \\ r = \frac{3\cdot 4}{3+4+5}\\ \ \\ r = \frac{12}{12}\\ \ \\ r = 1 $$ |
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