Pontos Notáveis de um Triângulo

Neste artigo veremos as demonstrações  dos pontos notáveis de um triângulo: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro. Para uma melhor compreensão do que será estudado, vamos expor algumas definições iniciais:

 

1. Cevianas notáveis:

O nome ceviana foi dado a esses segmentos em homenagem ao matemático italiano Giovanni Ceva (1648-1734), que demonstrou teoremas importantes sobre elas. As cevianas aqui estudadas serão: mediana, bissetriz interna e altura.

 

1.1. Definição de ceviana:

Ceviana é todo seguimento que tem uma das extremidades num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto a esse vértice.

Reta suporte de um segmento, ou simplesmente suporte de um segmento, é a reta na qual esse segmento está contido.

onde $r$ é o suporte de $\overline{BC}$.

 

Conforme a definição, uma das extremidades da ceviana é um vértice. Podemos dizer que a ceviana é relativa a esse vértice, ou relativa ao lado oposto ao mesmo. A outra extremidade da ceviana é denominada pé. Assim, na figura acima, as cevianas $\overline{AA_1}$, $\overline{AA_2}$ e $\overline{AA_3}$ são relativas ao vértice $A$ ou também relativa ao lado $\overline{BC}$ e os pontos $A_1$, $A_2$ e $A_3$ são os pés dessas cevianas.

 

Cada vértice de um triângulo podem conter infinitas cevianas, estas podendo ser internas ou externas.

 

Dentre essas infinitas cevianas, há três que são muito importantes, por isso são chamadas de notáveis. São elas: mediana, bissetriz interna e altura. Veremos a seguir a cada uma delas.

 

1.1.1. Definição de mediana:

Mediana é toda ceviana que tem uma das extremidades no ponto médio de um lado.

Por convenção, os pontos médios dos lados opostos aos vértices $A$, $B$ e $C$ são denotados por $M_a$, $M_b$ e $M_c$, respectivamente e os comprimentos das medianas relativas aos mesmos são denotados por $m_a$, $m_b$ e $m_c$.

 

1.1.2. Definição de bissetriz interna:

Bissetriz Interna é toda ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos adjacentes e congruentes.

Por convenção, os pés das bissetrizes internas relativas aos vértices $A$, $B$ e $C$ são denotadas por $S_a$, $S_b$, e $S_c$, respectivamente, e os comprimentos das mesmas por $s_a$, $s_b$ e $s_c$.

 

1.1.3. Definição de Altura:

Altura é toda ceviana perpendicular a um lado ou ao seu suporte.

Por convenção, os pés das alturas relativas aos vértices $A$, $B$ e $C$ são denotados por $H_a$, $H_b$ e $H_c$, respectivamente, e os comprimentos dessas alturas por $h_a$, $h_b$ e $h_c$.

 

2. Pontos notáveis de um triângulo:

Para qualquer triângulo, valem as seguintes propriedades:

• P1) As três medianas concorrem num mesmo ponto;
• P2) As três bissetrizes internas concorrem num mesmo ponto;
• P3) As retas suportes das três alturas concorrem num mesmo ponto;
• P4) As mediatrizes dos lados concorrem num mesmo ponto.

Esses pontos de encontro das cevianas notáveis e das mediatrizes são denominadas pontos notáveis. São eles: baricentro, incentro, circuncentro e o ortocentro.

 

2.1. Baricentro (G):

As três medianas de um triângulo intersectam-se num mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes, sendo que a parte que contém o vértice é o dobro da outra. Esse ponto é denominado baricentro do triângulo e é denotado por $\bf G$.

 

2.1.1. Demonstração do baricentro de um triângulo:

Seja o triângulo abaixo:

Por hipótese, temos que: $\overline{AM_a}$, $\overline{BM_b}$ e $\overline{CM_c}$ são medianas. Por tese, temos que:

$$
\overline{AM_a}\ \cap \overline{BM_b} \ \cap \overline{CM_c}=G\\
\ \\
\overline{AG} = 2 \cdot \overline{GM_a}\\
\ \\
\overline{BG} = 2 \cdot \overline{GM_b}\\
\ \\
\overline{CG} = 2 \cdot \overline{GM_c}\\
$$

Seja $X$ o ponto onde $\overline{BM_b}\ \cap \overline{CM_c} = X$, que é o baricentro $G$ que queremos demonstrar. Se considerarmos os pontos médios $D$ e $E$ de $\overline{BX}$ e $\overline{CX}$, no triângulo $ABC$, teremos que:

 

Se:

$$
\overline{AM_c} \equiv \overline{BM_c} \quad \text{e} \quad \overline{AM_b} \equiv \overline{CM_b}
$$

Então:

$$
\overline{M_bM_c} \parallel \overline{BC} \quad \text{e} \quad \overline{M_bM_c} = \frac{\overline{BC}}{2}
$$

E se:

$$
\overline{XD} \equiv \overline{BD} \quad \text{e} \quad \overline{XE} \equiv \overline{CE}
$$

Então:

$$
\overline{DE} \parallel \overline{BC} \quad \text{e} \quad \overline{DE}=\frac{\overline{BC}}{2}
$$

Resultando em:

$$
\overline{M_bM_c} \parallel \overline{DE} \quad \text{e} \quad \overline{M_bM_c} \equiv \overline{DE}
$$

Logo, $M_bM_cDE$ é paralelogramo. Então:

$$
\overline{DX} \equiv \overline{XM_b} \Longrightarrow \overline{CX} = 2 \cdot \overline{XM_c} \tag{1}
$$

e

$$
\overline{EX} \equiv \overline{XM_c} \Longrightarrow \overline{BX} = 2 \cdot \overline{XM_b} \tag{2}
$$

Logo, a mediana $\overline{BM_b}$ intersecta a mediana $\overline{CM_c}$ no ponto $X$, tal que:

$$
\overline{CX} = 2 \cdot \overline{XM_c}
$$

Tomando-se as medianas $\overline{AM_a}$ e $\overline{CM_c}$ e sendo $Y$ o ponto tal que:

$$
\overline{AM_a} \cap \overline{CM_c} = Y
$$

De modo análogo, concluímos que:

$$
\overline{CY} =  2 \cdot \overline{YM_c} \tag{3}
$$

e

$$
\overline{AY} = 2 \cdot \overline{YM_a} \tag{4}
$$

De $(1)$ e $(2)$ vem que $X=Y$. Se chamarmos esse ponto $X=Y$ de $G$ e considerarmos $(1)$, $(2)$ e $(4)$, temos que:

$$
\overline{AM_a} \cap \overline{BM_b} \cap \overline{CM_c} = G
$$

E assim:

\begin{cases}
\overline{AG} = 2\cdot \overline{GM_a}\\
\ \\
\overline{BG} = 2 \cdot \overline{GM_b}\\
\ \\
\overline{CG} = 2 \cdot \overline{GM_c}
\end{cases}

$\longrightarrow$ Leia o artigo sobre As coordenadas do baricentro de um triângulo

2.2. Incentro (I):

As três bissetrizes internas de um triângulo intersectam-se em um mesmo ponto. Esse ponto é chamado de incentro e é denotado por $\bf I$ e se encontra à igual distância dos lados do triângulo.

• O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

2.2.1. Demonstração do incentro de um triângulo:

Seja o triângulo abaixo:

Por hipótese, temos que $\overline{AS_a}$, $\overline{BS_b}$ e $\overline{CS_c}$ são bissetrizes internas. Por tese, temos que:

$$
\overline{AS_a} \cap \overline{BS_b} \cap \overline{CS_c} = I\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
\text{d}_{I,S_a} = \text{d}_{I,S_b} = \text{d}_{I, S_c}
$$

Seja o ponto $I$ o ponto onde:

$$
\overline{BS_b} \cap \overline{CS_c} = I
$$

Que é o incentro que queremos demonstrar. Se:

$$
I \in \overline{BS_b} \Longrightarrow \text{d}_{I,S_a}=\text{d}_{I,S_c}\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
I \in \overline{CS_c} \Longrightarrow \text{d}_{I,S_a}=\text{d}_{I,S_b}
$$

Então:

$$
\text{d}_{I,S_b} = \text{d}_{I, S_c}\\
\ \\
I \in \overline{AS_a}
$$

Logo:

$$
\overline{AS_a} \cap \overline{BS_b} \cap \overline{CS_c} = I\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
\text{d}_{I,S_a} = \text{d}_{I,S_b} = \text{d}_{I, S_c}
$$

$\longrightarrow$ Leia o artigo Teorema da bissetriz interna

2.3. Circuncentro (O):

As mediatrizes dos lados de um triângulo intersectam-se em um mesmo ponto. Esse ponto é chamado de circuncentro e é denotado por $\bf O$, podendo ser interno, externo ou coincidente.

• O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita a um triângulo.

Circuncentro interno: se o triângulo for acutângulo:

Circuncentro externo: se o triângulo for obtusângulo:

Circuncentro coincidente: se o triângulo for retângulo:

2.3.1. Demonstração do circuncentro de um triângulo:

Seja o triângulo:

Por hipóteses, temos que $m_a$, $m_b$ e $m_c$ são mediatrizes de $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$, respectivamente. Por tese, temos que:

$$
m_a \cap m_b \cap m_c =O\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
\overline{OA} \equiv \overline{OB} \equiv \overline{OC}
$$

Seja $O$ o ponto onde:

$$
m_b \cap m_c = O
$$

Que é o circuncentro que queremos demonstrar. Se:

$$
O \in m_b \Longrightarrow \overline{OA} \equiv \overline{OC}\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
O \in m_c \Longrightarrow \overline{OA} \equiv \overline{OD}
$$

Então:

$$
\overline{OB} \equiv \overline{OC}\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
O \in m_a
$$

Logo:

$$
m_a \cap m_b \cap m_c = O\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
\overline{OA} \equiv \overline{OB} \equiv \overline{OC}
$$

2.4. Ortocentro (H):

As três retas suportes das alturas de um triângulo intersectam-se em um mesmo ponto. Esse ponto é chamado de ortocentro e é denotado por $\bf H$, podendo ser interno, externo ou coincidente.

Ortocentro interno: se o triângulo for acutângulo:

Ortocentro externo: se o triângulo for obtusângulo:

Ortocentro coincidente: se o triângulo for retângulo:

2.4.1. Demonstração do ortocentro de um triângulo:

Seja o triângulo:

Por hipótese, temos que $\overleftrightarrow{AH_a}$, $\overleftrightarrow{BH_b}$ e $\overleftrightarrow{CH_c}$ são retas que contêm as alturas. Por tese, temos que:

$$
\overleftrightarrow{AH_a} \cap \overleftrightarrow{BH_b} \cap \overleftrightarrow{CH_c} = H
$$

Que é o ortocentro que queremos demonstrar.

Pelos vértices $A$, $B$ e $C$, traçamos retas paralelas aos lados opostos obtendo o triângulo $MNP$. Temos que:

\begin{cases}
A \in \overline{NP} \quad \text{e} \quad \overline{NP} \parallel \overline{BC}\\
\ \\
B \in \overline{MP} \quad \text{e} \quad \overline{MP} \parallel \overline{AC}\\
\ \\
C \in \overline{MN} \quad \text{e} \quad \overline{MN} \parallel \overline{AB}
\end{cases}

Analisando o triângulo, temos que:

• $APBC$ é paralelogramo se $\overline{AP} \equiv \overline{BC}$
• $ABCN$ é paralelogramo se $\overline{AN} \equiv \overline{BC}$

Então:

$$
A \text{ é o ponto médio de }\overline{NP} \tag{5}
$$

Em contrapartida $\overleftrightarrow{AH} \perp \overline{BC}$, então:

$$
\overline{NP} \parallel \overline{BC} \Longrightarrow \overleftrightarrow{AH_a} \perp \overline{NP} \tag{6}
$$

De $(5)$ e $(6)$ temos que a reta $\overleftrightarrow{AH_a}$ é a mediatriz de $\overline{NP}$.

Analogamente, obtemos que $\overleftrightarrow{BH_b}$ é a mediatriz de $\overline{MP}$ e $\overleftrightarrow{CH_c}$ é a mediatriz de $\overline{MN}$.

Logo, considerando o triângulo $MNP$, as mediatrizes intersecta-se em um mesmo ponto $H$:

$$
\overleftrightarrow{AH_a} \cap \overleftrightarrow{BH_b} \cap \overleftrightarrow{CH_c} = H
$$

$\longrightarrow$ Leia o artigo Construção geométrica de perpendiculares

Referências:

• Fundamentos de Matemática Elementar, V9 - Geometria Plana, Osvaldo Dolce, Ed. Atual
• Elementos de Geometria e Desenho Geométrico, V1, José Carlos Putnoki, Ed. Scipione

Links para este artigo:

• http://bit.ly/pontos-notaveis-triangulo
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2009/08/pontos-notaveis-de-um-triangulo.html
  

Veja mais:

• Teorema da base média de um triângulo
  
• Teorema do ângulo inscrito
  
• Os pontos notáveis de um triângulo utilizando o Geogebra no blog do Professor Edigley

Histórico de revisão:

• Revisão em 10/10/2021: atualização das imagens e inserção de fórmulas em $\LaTeX$

Software utilizado:

• Inkscape