27/08/2009

Pontos Notáveis de um Triângulo

pontos-notaveis-de-um-triangulo-baricentro-incentro-ortocentro-circuncentro


Neste artigo veremos as demonstrações  dos pontos notáveis de um triângulo: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentroPara uma melhor compreensão do que será estudado, vamos expor algumas definições iniciais:
 

1. Cevianas notáveis:

O nome ceviana foi dado a esses segmentos em homenagem ao matemático italiano Giovanni Ceva (1648-1734), que demonstrou teoremas importantes sobre elas. As cevianas aqui estudadas serão: mediana, bissetriz interna e altura.
 

1.1. Definição de ceviana:

Ceviana é todo seguimento que tem uma das extremidades num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto a esse vértice.

cevianas-pontos-notveis-de-um-triangulo

Reta suporte de um segmento, ou simplesmente suporte de um segmento, é a reta na qual esse segmento está contido.

reta-suporte-de-um-segmento-pontos-notveis-de-um-triangulo

onde $r$ é o suporte de $\overline{BC}$.
 
Conforme a definição, uma das extremidades da ceviana é um vértice. Podemos dizer que a ceviana é relativa a esse vértice, ou relativa ao lado oposto ao mesmo. A outra extremidade da ceviana é denominada pé. Assim, na figura acima, as cevianas $\overline{AA_1}$, $\overline{AA_2}$ e $\overline{AA_3}$ são relativas ao vértice $A$ ou também relativa ao lado $\overline{BC}$ e os pontos $A_1$, $A_2$ e $A_3$ são os pés dessas cevianas.
 
Cada vértice de um triângulo podem conter infinitas cevianas, estas podendo ser internas ou externas.
 
Dentre essas infinitas cevianas, há três que são muito importantes, por isso são chamadas de notáveis. São elas: mediana, bissetriz interna e altura. Veremos a seguir a cada uma delas.
 

1.1.1. Definição de mediana:

Mediana é toda ceviana que tem uma das extremidades no ponto médio de um lado.

medianas-pontos-notveis-de-um-triangulo

Por convenção, os pontos médios dos lados opostos aos vértices $A$, $B$ e $C$ são denotados por $M_a$, $M_b$ e $M_c$, respectivamente e os comprimentos das medianas relativas aos mesmos são denotados por $m_a$, $m_b$ e $m_c$.
 

1.1.2. Definição de bissetriz interna:

Bissetriz Interna é toda ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos adjacentes e congruentes.

bissetriz-interna-pontos-notveis-de-um-triangulo

Por convenção, os pés das bissetrizes internas relativas aos vértices $A$, $B$ e $C$ são denotadas por $S_a$, $S_b$, e $S_c$, respectivamente, e os comprimentos das mesmas por $s_a$, $s_b$ e $s_c$.
 

1.1.3. Definição de Altura:

Altura é toda ceviana perpendicular a um lado ou ao seu suporte.

alturas-pontos-notveis-de-um-triangulo

Por convenção, os pés das alturas relativas aos vértices $A$, $B$ e $C$ são denotados por $H_a$, $H_b$ e $H_c$, respectivamente, e os comprimentos dessas alturas por $h_a$, $h_b$ e $h_c$.
 

2. Pontos notáveis de um triângulo:

Para qualquer triângulo, valem as seguintes propriedades:
  • P1) As três medianas concorrem num mesmo ponto;
  • P2) As três bissetrizes internas concorrem num mesmo ponto;
  • P3) As retas suportes das três alturas concorrem num mesmo ponto;
  • P4) As mediatrizes dos lados concorrem num mesmo ponto.

Esses pontos de encontro das cevianas notáveis e das mediatrizes são denominadas pontos notáveis. São eles: baricentro, incentro, circuncentro e o ortocentro.
 

2.1. Baricentro (G):

As três medianas de um triângulo intersectam-se num mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes, sendo que a parte que contém o vértice é o dobro da outra. Esse ponto é denominado baricentro do triângulo e é denotado por $\bf G$.
 

2.1.1. Demonstração do baricentro de um triângulo:

Seja o triângulo abaixo:

demonstracao-do-baricentro-pontos-notveis-de-um-triangulo

Por hipótese, temos que: $\overline{AM_a}$, $\overline{BM_b}$ e $\overline{CM_c}$ são medianas. Por tese, temos que:
$$
\overline{AM_a}\ \cap \overline{BM_b} \ \cap \overline{CM_c}=G\\
\ \\
\overline{AG} = 2 \cdot \overline{GM_a}\\
\ \\
\overline{BG} = 2 \cdot \overline{GM_b}\\
\ \\
\overline{CG} = 2 \cdot \overline{GM_c}\\
$$
Seja $X$ o ponto onde $\overline{BM_b}\ \cap \overline{CM_c} = X$, que é o baricentro $G$ que queremos demonstrar. Se considerarmos os pontos médios $D$ e $E$ de $\overline{BX}$ e $\overline{CX}$, no triângulo $ABC$, teremos que:
 
Se:
$$
\overline{AM_c} \equiv \overline{BM_c} \quad \text{e} \quad \overline{AM_b} \equiv \overline{CM_b}
$$
Então:
$$
\overline{M_bM_c} \parallel \overline{BC} \quad \text{e} \quad \overline{M_bM_c} = \frac{\overline{BC}}{2}
$$
E se:
$$
\overline{XD} \equiv \overline{BD} \quad \text{e} \quad \overline{XE} \equiv \overline{CE}
$$
Então:
$$
\overline{DE} \parallel \overline{BC} \quad \text{e} \quad \overline{DE}=\frac{\overline{BC}}{2}
$$
Resultando em:
$$
\overline{M_bM_c} \parallel \overline{DE} \quad \text{e} \quad \overline{M_bM_c} \equiv \overline{DE}
$$
Logo, $M_bM_cDE$ é paralelogramo. Então:
$$
\overline{DX} \equiv \overline{XM_b} \Longrightarrow \overline{CX} = 2 \cdot \overline{XM_c} \tag{1}
$$
e
$$
\overline{EX} \equiv \overline{XM_c} \Longrightarrow \overline{BX} = 2 \cdot \overline{XM_b} \tag{2}
$$
Logo, a mediana $\overline{BM_b}$ intersecta a mediana $\overline{CM_c}$ no ponto $X$, tal que:
$$
\overline{CX} = 2 \cdot \overline{XM_c}
$$
Tomando-se as medianas $\overline{AM_a}$ e $\overline{CM_c}$ e sendo $Y$ o ponto tal que:
$$
\overline{AM_a} \cap \overline{CM_c} = Y
$$
De modo análogo, concluímos que:
$$
\overline{CY} =  2 \cdot \overline{YM_c} \tag{3}
$$
e
$$
\overline{AY} = 2 \cdot \overline{YM_a} \tag{4}
$$
De $(1)$ e $(2)$ vem que $X=Y$. Se chamarmos esse ponto $X=Y$ de $G$ e considerarmos $(1)$, $(2)$ e $(4)$, temos que:
$$
\overline{AM_a} \cap \overline{BM_b} \cap \overline{CM_c} = G
$$
E assim:
\begin{cases}
\overline{AG} = 2\cdot \overline{GM_a}\\
\ \\
\overline{BG} = 2 \cdot \overline{GM_b}\\
\ \\
\overline{CG} = 2 \cdot \overline{GM_c}
\end{cases}

$\longrightarrow$ Leia o artigo sobre As coordenadas do baricentro de um triângulo

2.2. Incentro (I):

As três bissetrizes internas de um triângulo intersectam-se em um mesmo ponto. Esse ponto é chamado de incentro e é denotado por $\bf I$ e se encontra à igual distância dos lados do triângulo.
  • O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

2.2.1. Demonstração do incentro de um triângulo:

Seja o triângulo abaixo:

Demonstracao-do-incentro-pontos-notveis-de-um-triangulo

Por hipótese, temos que $\overline{AS_a}$, $\overline{BS_b}$ e $\overline{CS_c}$ são bissetrizes internas. Por tese, temos que:
$$
\overline{AS_a} \cap \overline{BS_b} \cap \overline{CS_c} = I\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
\text{d}_{I,S_a} = \text{d}_{I,S_b} = \text{d}_{I, S_c}
$$

Seja o ponto $I$ o ponto onde:
$$
\overline{BS_b} \cap \overline{CS_c} = I
$$
Que é o incentro que queremos demonstrar. Se:
$$
I \in \overline{BS_b} \Longrightarrow \text{d}_{I,S_a}=\text{d}_{I,S_c}\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
I \in \overline{CS_c} \Longrightarrow \text{d}_{I,S_a}=\text{d}_{I,S_b}
$$
Então:
$$
\text{d}_{I,S_b} = \text{d}_{I, S_c}\\
\ \\
I \in \overline{AS_a}
$$
Logo:
$$
\overline{AS_a} \cap \overline{BS_b} \cap \overline{CS_c} = I\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
\text{d}_{I,S_a} = \text{d}_{I,S_b} = \text{d}_{I, S_c}
$$

$\longrightarrow$ Leia o artigo Teorema da bissetriz interna

2.3. Circuncentro (O):

As mediatrizes dos lados de um triângulo intersectam-se em um mesmo ponto. Esse ponto é chamado de circuncentro e é denotado por $\bf O$, podendo ser interno, externo ou coincidente.
  • O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita a um triângulo.

Circuncentro interno: se o triângulo for acutângulo:

circuncentro-interno-pontos-notveis-de-um-triangulo

Circuncentro externo: se o triângulo for obtusângulo:

circuncentro-externo-pontos-notveis-de-um-triangulo

Circuncentro coincidente: se o triângulo for retângulo:

circuncentro-coincidente-pontos-notveis-de-um-triangulo

2.3.1. Demonstração do circuncentro de um triângulo:

Seja o triângulo:

demonstracao-do-circuncentro-pontos-notveis-de-um-triangulo

Por hipóteses, temos que $m_a$, $m_b$ e $m_c$ são mediatrizes de $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$, respectivamente. Por tese, temos que:
$$
m_a \cap m_b \cap m_c =O\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
\overline{OA} \equiv \overline{OB} \equiv \overline{OC}
$$

Seja $O$ o ponto onde:
$$
m_b \cap m_c = O
$$
Que é o circuncentro que queremos demonstrar. Se:
$$
O \in m_b \Longrightarrow \overline{OA} \equiv \overline{OC}\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
O \in m_c \Longrightarrow \overline{OA} \equiv \overline{OD}
$$
Então:
$$
\overline{OB} \equiv \overline{OC}\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
O \in m_a
$$
Logo:
$$
m_a \cap m_b \cap m_c = O\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
\overline{OA} \equiv \overline{OB} \equiv \overline{OC}
$$

2.4. Ortocentro (H):

As três retas suportes das alturas de um triângulo intersectam-se em um mesmo ponto. Esse ponto é chamado de ortocentro e é denotado por $\bf H$, podendo ser interno, externo ou coincidente.

Ortocentro interno: se o triângulo for acutângulo:

ortocentro-interno-pontos-notveis-de-um-triangulo

Ortocentro externo: se o triângulo for obtusângulo:

ortocentro-externo-pontos-notveis-de-um-triangulo

Ortocentro coincidente: se o triângulo for retângulo:

ortocentro-coincidente-pontos-notveis-de-um-triangulo


2.4.1. Demonstração do ortocentro de um triângulo:

Seja o triângulo:

demonstracao-do-ortocentro-pontos-notveis-de-um-triangulo

Por hipótese, temos que $\overleftrightarrow{AH_a}$, $\overleftrightarrow{BH_b}$ e $\overleftrightarrow{CH_c}$ são retas que contêm as alturas. Por tese, temos que:
$$
\overleftrightarrow{AH_a} \cap \overleftrightarrow{BH_b} \cap \overleftrightarrow{CH_c} = H
$$
Que é o ortocentro que queremos demonstrar.

Pelos vértices $A$, $B$ e $C$, traçamos retas paralelas aos lados opostos obtendo o triângulo $MNP$. Temos que:
\begin{cases}
A \in \overline{NP} \quad \text{e} \quad \overline{NP} \parallel \overline{BC}\\
\ \\
B \in \overline{MP} \quad \text{e} \quad \overline{MP} \parallel \overline{AC}\\
\ \\
C \in \overline{MN} \quad \text{e} \quad \overline{MN} \parallel \overline{AB}
\end{cases}
Analisando o triângulo, temos que:
  • $APBC$ é paralelogramo se $\overline{AP} \equiv \overline{BC}$
  • $ABCN$ é paralelogramo se $\overline{AN} \equiv \overline{BC}$

Então:
$$
A \text{ é o ponto médio de }\overline{NP} \tag{5}
$$
Em contrapartida $\overleftrightarrow{AH} \perp \overline{BC}$, então:
$$
\overline{NP} \parallel \overline{BC} \Longrightarrow \overleftrightarrow{AH_a} \perp \overline{NP} \tag{6}
$$
De $(5)$ e $(6)$ temos que a reta $\overleftrightarrow{AH_a}$ é a mediatriz de $\overline{NP}$.

Analogamente, obtemos que $\overleftrightarrow{BH_b}$ é a mediatriz de $\overline{MP}$ e $\overleftrightarrow{CH_c}$ é a mediatriz de $\overline{MN}$.

Logo, considerando o triângulo $MNP$, as mediatrizes intersecta-se em um mesmo ponto $H$:
$$
\overleftrightarrow{AH_a} \cap \overleftrightarrow{BH_b} \cap \overleftrightarrow{CH_c} = H
$$

$\longrightarrow$ Leia o artigo Construção geométrica de perpendiculares

Referências:

  • Fundamentos de Matemática Elementar, V9 - Geometria Plana, Osvaldo Dolce, Ed. Atual
  • Elementos de Geometria e Desenho Geométrico, V1, José Carlos Putnoki, Ed. Scipione

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Veja mais:

Histórico de revisão:

  • Revisão em 10/10/2021: atualização das imagens e inserção de fórmulas em $\LaTeX$

Software utilizado:

  • Inkscape
COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Pontos Notáveis de um Triângulo. Publicado por Kleber Kilhian em 27/08/2009. URL: . Leia os Termos de uso.


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63 comentários:

  1. Olá,

    Parabéns !!! Seu blog ganhou um selo. Visite o meu blog para saber como proceder para inserir o seu selo. Siga as regras.

    Abraços,

    http://www.mfmatematica.blogspot.com

    ResponderExcluir
  2. Muito legal! Explicações perfeitas! Foi muito útil.(Imagens muito boas!)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. siim siim so faltou conclusao pra ficar perfeito

      Excluir
  3. Obrigado! Procuro colocar imagens em tamanho grande, pois assim quem copiar poderá editá-la melhor.

    Abraços.

    ResponderExcluir
  4. Ola,

    Gostei também deste post que explica detalhadamente os pontos notáveis em um triângulo. Recentemente escrevi sobre a mediana e irei fazer um comentário no final do post.

    Abraços!!

    ResponderExcluir
  5. Legal Prof. Paulo. Preciso reestruturar este post para redimensionar as imagens, pois ficaram grandes demais neste novo template e aproveito e incluo o link de sua postagem.

    Um abraço!

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  6. Realmente muito bom. Parabéns!

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  7. obrigada ajudou no meu trabalho!
    Já foi útil!!!!!
    Xau

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  8. Maravilha!! Que bom que te ajudou! Obrigado pela visita!

    Abraços!

    ResponderExcluir
  9. Parabens seu blog Ajudou MUITO!!!!

    Meu trabalho vai ser nota 10

    Valeeuu pelo blog =]

    ResponderExcluir
  10. Ótimas demonstrações!! Me ajudou muiiiiito!! Vlw

    ResponderExcluir
  11. Valeu amigo, bem completo este artigo!
    Abçs

    ResponderExcluir
  12. valeu msm me ajudo muito na prova
    ASS:vitor grassi

    ResponderExcluir
  13. muito bom, gostei também das imagens, ficaram muito boas. Silas

    ResponderExcluir
  14. não tem o que eu kero
    sinto muuito!!

    ResponderExcluir
  15. Não sinta, amigo. Seria impossível eu colocar aqui um conteúdo que sirva para todos.

    Obrigado e um abraço.

    ResponderExcluir
  16. Vlw cara.
    Tava precisando mto disso em minha prova.

    ResponderExcluir
  17. booooooooooooooom ,obg

    ResponderExcluir
  18. Muito bom, muito bom mesmo! Adorei!

    ResponderExcluir
  19. $muito bom meu ajudou muito mesmo vlw e abraços$

    ResponderExcluir
  20. Interessante!Hoje fiz prova de OFA (professor do estado) e por íncrivel que pareça(coincidência??)
    encontrei vários tópicos neste blog que são semelhantes às questões da prova.Pena que vi hoje depois da prova.

    ResponderExcluir
  21. Espero que tenha se saído bem.

    Obrigado pela visita e comentário.

    Volte sempre.

    Um abraço.

    ResponderExcluir
  22. Muito boas as demonstrações... Como você consegue fazer uma coisa tão bem feita sem ganhar nada (monetariamente)? Rsrsrsrsrs...
    Seu blog é perfeito uma verdadeira biblioteca matemática...

    A propósito, bonitinha sua filha... :)

    ResponderExcluir
  23. Pois é amigo, puro prazer! Enquanto o Ministério da Cultura concede verba de 1,3 milhões para criar um blog da senhora Bethânia, os blogs educativos sobrevivem pelo simples prazer de copartilhar o conhecimento. Quem sabe daqui há alguns anos (219, 327 anos?) não ganharemos algum incentivo financeiro para continuarmos.

    Um abraço e obrigado pela visita!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Professor é o que se vê num país onde a vaidade e o perfunctório prevalecem sobre o que realmente importa, que é a educação de um povo, que tem muito o que aprender, de começo a cumprir suas obrigações e exigir seus direitos

      Excluir
  24. nossa...vlw msm,tava presisando disso...

    ResponderExcluir
  25. Caro Kleber... hoje não vou elogiar (Muita gente já faz isso).Vc contribui muito para o ensino e divulgação da Matemática e o blog é ótimo[ponto!]
    Vou pedir para dar uma "arrumadinha" em

    "Se-gui-mento" e no termo "interceptar" cujo termo mais adequado é intersectar pois interceptar está para interromper e não é o caso.

    Nada além disso.
    Sucesso a vc

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  26. Vocês sabeeem das cooisas estão de parabéns ;D'

    ResponderExcluir
  27. Obrigado Pamela. Bons estudos. Volte sempre!

    ResponderExcluir
  28. Ótimas informações, me ajudaram num trabalho de geometria, obrigada !

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  29. podia dar uma melhorada na definição

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    Respostas
    1. Amigo, não vejo em que melhorar as definições. Se tiver uma ideia, me avise.

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  30. ola,faço 8 ano o meu nome e evelinni valeu a pena seu blog , pois me ajudou muito.

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  31. Larissa Gabriela20/09/2012 13:45

    Adorei este blog, agora tirei todas as minhas dúvidas! Muito bom, me ajudou bastante...

    ResponderExcluir
  32. Caro professor Kleber gostaria que o senhor abordasse um assunto que muito me interessa, e creio que a muitos outros colegas,"Transformadas de Laplace" e "Análise de Fourier", principalmente focando o aspecto prático das aplicações que pode fazer desses recursos da matemática.
    Atenciosamente.
    Eng. Civil Jurandyr de Araujo Junior.

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  33. Olá Jurandyr, como vai?

    Realmente não tenho nenhum artigo sobre os temas sugeridos. Tenho um ivro da coleção Schaum sobre as transformadas de Laplace. Vou ver se faço alguma coisa. De qualquer forma, sugiro que procuro no blog do Prof. Paulo:

    http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/

    Um abraço.

    ResponderExcluir
  34. Ah, muito bom !
    Fiquei até excitado ao ver esta página !

    ResponderExcluir
  35. Professor Kleber, estou com um problema sobre ortocentro e não consigo resolver de forma alguma, vou tentar passar para texto a figura do triangulo: Um triangulo ABC, onde ABC=3α, HAC=α, HCA=20°, H é o ortocentro. Qual o valor de α. Desde já agradeço a sua atenção. Charles Moreira

    ResponderExcluir
  36. Charles, considere o triângulo $ABC$. O ortocentro é o ponto $H$, que é o ponto de encontro das alturas. Considere os pontos $A'$, $B'$ e $C'$ que são os pontos de encontro das alturas referentes aos ângulos $A$, $B$ e $C$, respectivamente.

    Considerando os dados que o problema fornece, do triângulo $CAH$, $ \hat{A}= \alpha$ e do triângulo $HCA$, $ \hat{C}=20$. Assim, do triângulo $CAA'$, $ \hat{C}=20+ \beta$. Então temos que:
    $$180= 90+ \alpha + (20+ \beta) \qquad(1)$$
    E do triângulo $ABC$ temos que:
    $$180=( \alpha + \beta)+3 \alpha +(20+ \beta) \qquad(2)$$
    Igualando $(1)$ com $(2)$, obtemos:
    $$ ( \alpha + \beta)+3 \alpha +(20+ \beta)=90+ \alpha + (20+ \beta)$$
    $$90=3\alpha +\beta \qquad(3)$$
    Do triângulo $ACC'$, temos que:
    $$180=(\alpha +\beta)+90+20$$
    $$\alpha=70-\beta \qquad(4)$$
    Substituindo $(4)$ em $(3)$, obtemos:
    $$90=3(70-\beta)+\beta$$
    $$\beta=60$$
    Substituindo $\beta$, obtemos $\alpha=10$

    Espero ter sido claro. Qualquer dúvida deixe um comentário.

    Abraços!

    ResponderExcluir
  37. Parabéns, professor!
    Estou fazendo Eng. Elétrica e suas postagens têm me ajudado bastante em Desenho Técnico I.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá amigo. Obrigado pela visita e se dispor a comentar. Sinto-me realmente recompensado. Acredito que as aulas de desenho geométrico deveriam ocorrer ainda no ensino fundamental. Ficou uma lacuna que existe no ensino público brasileiro.

      Um abraço.

      Excluir
  38. Olá, Kleber!

    Mais uma vez cá estou eu em uma de suas publicações apreciando suas ótimas explicações... Me ajudou muito com esse conteúdo só que fiquei meio confuso com relação a diferença entre circuncentro e ortocentro que a meu ver parece a mesma coisa, já que ambos envolvem as mediatrizes, ou será que entendi errado? Poderia me explicar melhor isso Kleber... Desde já agradeço a atenção...

    Att. Romirys Cavalcante

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Romirys,

      Acredito que se confundiu, pois para o circuncentro usa-se as mediatrizes; já para o ortocentro, usa-se as alturas.

      Para encontrarmos o circuncentro de um triângulo, utilizamos as mediatrizes de seus lados. A intersecção dessas mediatrizes é o ponto $O$, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

      Para encontrarmos o ortocentro de um triângulo, utilizamos as alturas. A intersecção das alturas é o ponto $H$.

      Espero ter esclarecido.

      Abraços!

      Excluir
  39. Olá. Parabéns pela postagem! Antes de ver seu blog eu achava que todos esses pontos eram iguais! rsrsrs Agora vi que não são! Muito obrigado!

    ResponderExcluir
  40. Não entendi a parte da demonstração do baricentro onde começam a entrar numerais, como M1, M2 e M3... Procurei, mas eles não constam na imagem.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Realmente houve uma confusão nos índices, sendo ora indicados como $a, b, c$, ora $1,2,3$. Considere que os índices: $a = 1$, $b = 2$ e $c = 3$. Com isso pode-se acompanhar o restante da demonstração.

      Obrigado pela observação. Abraços.

      Excluir
  41. no texto não ficou definido o conceito de mediatriz

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. É verdade. Pelo fato de ser usada em várias partes do texto. Assim que puder farei a inclusão.

      Um abraço!

      Excluir
  42. Fico feliz em ter encontrado essa postagem. Não conhecia o blog, mas gostei bastante da explicação baseada totalmente nos conceitos. É raro encontrar textos assim porque a maioria dos autores consideram que o aluno que está lendo não sabe nada do assunto, então eles tentam simplificar ao máximo possível e, nessa simplificação, alguns acabam deixando de lado o conteúdo. Não foi o que aconteceu aqui. Nesse caso, o autor considera que a pessoa que está lendo já tem uma certa noção do que seja bissetriz interna, mediana, altura e mediatriz e apenas atua no sentido de revisar os conhecimentos já adquiridos previamente. Muito obrigado, foi uma leitura prazerosa.

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  43. Muito boa a página. Explicações diretas e de fácil compreensão. Parabéns!!!

    ResponderExcluir
  44. Muito Obrigado!! Estava precisando falar sobre as propriedades de um triângulo na minha pesquisa!!! vlw msm !!

    ResponderExcluir
  45. valeu apena vai me ajudar muito

    ResponderExcluir
  46. Na demonstração das medianas, quem é AM3, BM3, AM2, CM2, M2 E M3?

    ResponderExcluir
  47. ameeeiiiiii, ajudou eu e minhas amigas Natalia, Izabel e Nayara a fazer o trabalho da professora Manú

    ResponderExcluir

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