Construção geométrica de perpendiculares com régua e compasso

Retas perpendiculares são aquelas que se interceptam formando um ângulo reto entre elas, ou seja um ângulo de $90°$. Utilizamos o símbolo $\bot$ para descrever perpendicularidade entre duas retas.

Neste artigo, veremos como construir perpendiculares utilizando régua e compasso. As perpendiculares podem passar por um ponto pertencente a uma reta dada, por um ponto fora da reta, por uma das extremidades de um segmento de reta, ou ainda pelo seu ponto médio. Neste caso, a perpendicular recebe o nome de mediatriz.

1) Traçando uma reta perpendicular por um ponto qualquer pertencente a uma reta dada

Seja uma reta $r$ e um ponto $P$, pertencente a $r$. Com a ponta seca do compasso em $P$, descreva um arco de raio qualquer, interceptando a reta $r$ nos pontos $A$ e $B$. Em seguida, descreva dois arcos centrado em $A$ e $B$ com raio maior que a $\overline{AB}$, marcando como $C$ a intersecção desses arcos. A reta que passa pelos pontos $P$ e $C$ é a perpendicular desejada.

Quando centramos em $P$ e descrevemos o arco $\stackrel{\textstyle\frown}{AB}$, definimos uma distância (raio) entre a ponta seca do compasso (origem) e o arco, que é um segmento da circunferência, de modo que $\overline{AP}$ e $\overline{BP}$ são iguais. Quando centramos primeiro em $A$ e depois em $B$, descrevendo dois arcos de mesmo raio, determinamos o ponto $C$, onde $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ são iguais entre si, de modo que os pontos $P$ e $C$ definem a perpendicular.

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2) Traçando uma reta perpendicular por um ponto qualquer não pertencente a uma reta dada

Seja uma reta $r$ e um ponto $P$ não pertencente à $r$. Com a ponta seca do compasso em $P$, descreva um arco com raio maior do que a distância de $P$ a $r$, de modo que intercepte a reta $r$ nos pontos $A$ e $B$. Descreva dois arcos centrado em $A$ e em $B$, com raio maior que a metade de $\overline{AB}$. Marque como $C$ a intersecção desses arcos. A reta que passa pelos pontos $P$ e $C$ é a perpendicular desejada.

A distância $\overline{AP}$ e $\overline{BP}$ são iguais, pois $\stackrel{\textstyle\frown}{AB}$ é um arco centrado em $P$. Da mesma forma, $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ são iguais entre si, de modo que a reta definida pelos pontos $P$ e $C$ é a perpendicular.

3) Traçando uma reta perpendicular que passa pela extremidade de um segmento de reta

Para esta construção, iremos ver apenas dois métodos, embora tenha outros que levam à perpendicular.

Método 1: Seja um segmento de reta $\overline{AB}$. Com a ponta seca do compasso na extremidade em que se deseja traçar a perpendicular (neste exemplo, tomamos a extremidade $B$), descreva um arco interceptando o segmento de reta no ponto $C$. Com o mesmo raio $\overline{BC}$, centrado em $C$, descreva um segundo arco interceptando o primeiro no ponto $D$; e com mesmo raio, centrado em $D$, descreva um terceiro arco interceptando o primeiro em $E$. Ainda com mesmo raio $\overline{BC}$, centrado em $D$ e em $E$, descreva dois arcos interceptando-se em $F$. A reta que passa pelos pontos $B$ e $F$ é a perpendicular desejada.

Nesta construção, o mesmo raio foi mantido para descrever todos os arcos. Assim as distâncias $\overline{BD}$ e $\overline{BE}$ são iguais. E também são iguais as distâncias $\overline{DF}$ e $\overline{EF}$, de modo que os pontos $B$ e $F$ definem a perpendicular.

Método 2: Seja um segmento de reta $\overline{AB}$. Supondo que queiramos traçar uma perpendicular pela extremidade $B$ do segmento. Definimos um ponto $O$ arbitrário próximo a $B$. Centrado em $O$ e raio $\overline{OB}$, descrevemos uma circunferência e marcamos como $C$ o ponto onde a circunferência intercepta o segmento $\overline{AB}$. Traçamos uma reta que passa por $O$ e $C$, definindo o diâmetro da circunferência $\overline{CD}$. A reta que passa pelos pontos $D$ e $B$ é a perpendicular desejada.

Os pontos $B$, $C$ e $D$ definem um triângulo inscrito na circunferência e pelo teorema do diâmetro, todo triângulo inscrito a uma circunferência que possui um dos lados sendo o diâmetro da circunferência, o ângulo oposto é reto, de modo que a reta que passa pelos pontos $B$ e $D$ definem a perpendicular.

4) Traçando uma reta perpendicular pelo ponto médio de um segmento de reta

Seja um segmento de reta $\overline{AB}$. Centrado em $A$ e em $B$, descreva dois arcos com raios iguais e maior que a metade de $\overline{AB}$. As intersecções entre esses arcos geram os pontos $C$ e $D$. A reta que passa pelos pontos $C$ e $D$ é a perpendicular desejada e também é conhecida como mediatriz.

A intersecção da mediatriz com o segmento de reta $\overline{AB}$ gera o ponto $M$, que é o ponto médio do segmento.

As distâncias entre as extremidades do segmento aos pontos $C$ e $D$ além de se perpendicular ao segmento, divide-o em duas partes iguais pelo ponto $M$.

Link do artigo:

• https://www.obaricentrodamente.com/2018/02/construcao-geometrica-de-perpendiculares.html
• http://bit.ly/CG_Perpendiculares 

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