05/03/2011

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso - Parte 1

construcao-geometrica-de-tangentes-com-regua-e-compasso

Construções geométricas é um ramo da Matemática muito importante para o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo e possui muitas aplicações em desenhos técnicos e mecânicos de máquinas, por exemplo.


Neste artigo, vamos nos concentrar em um problema clássico que é o de traçar tangentes a algumas curvas. Este estudo será dividido em duas partes e nesta primeira parte vamos simplesmente nos abster ao traçado propriamente dito das tangentes à circunferências. Além disso, usaremos os teoremas da Geometria plana para justificar as construções.


1) Traçar uma tangente por um ponto dado sobre a circunferência

Sejam $\lambda$ uma circunferência de centro $O$ e $P$ pertencente a $\lambda$:

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso

[Figura 1]


Prolongando o raio $OP$ e com centro em $P$ e abertura do compasso menor que o raio $OP$, determinemos os pontos $A$ e $B$:

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso

[Figura 2]


Determinemos, agora, a mediatriz entre os pontos $A$ e $B$ encontrando o ponto $Q$. A reta que passa por $P$ e $Q$ é a reta tangente pedida:

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso

[Figura 3]


Justificativa: A tangente traçada pelo ponto $P$ é uma reta perpendicular ao raio $OP$. Sendo $r$ a mediatriz de $AB$, segue o resultado obtido.


2) De um ponto dado fora de uma circunferência, traçar tangentes a esta circunferência

Sejam $\lambda$ uma circunferência de centro $O$ e raio qualquer e $P$ um ponto não pertencente à $\lambda$:

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso

[Figura 4]


Unindo $O$ e $P$ e tomando a mediatriz de $OP$, que passa pelos pontos $A$ e $B$, determinamos $C$ na intersecção com $OP$:

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso

[Figura 5]


Com centro em $C$ e raio $OC$, traçamos a circunferência $\kappa$ que intercepta $\lambda$ nos pontos $D$ e $E$:

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso

[Figura 6]


As retas que passam por $PD$ e $PE$ são as tangentes pedidas.


Justificativa: As retas tangentes a uma circunferência traçadas de um ponto externo possuem a propriedade de serem perpendiculares ao raio pelos pontos de tangência. Por construção $OP$ é o diâmetro da circunferência $\kappa$ e o triângulo $ODP$ é retângulo em $D$, pois está inscrito na semicircunferência $OAP$.


Outra propriedade é que os segmentos das tangentes a uma circunferência conduzidas por um mesmo ponto são congruentes:

$$
PD \cong PE
$$


3) Traçar as tangentes comuns, exteriores, a duas circunferências

Sejam duas circunferências $\lambda_1$ e $\lambda_2$ de centros $O_1$ e $O_2$, cujos raios $r_1$ e $r_2$ são tais que $r_1+r_2 < d(O_1,O_2)$, ou seja, as circunferências são disjuntas. Suponha também que $r_1<r_2$:

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso

[Figura 7]


Ligando os centros $O_1$ e $O_2$, determinamos a mediatriz que intercepta $O_1O_2$ em $C$.

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso

[Figura 8]


Descrevemos a circunferência $\lambda_3$ de centro $O_1$ e raio $r_3=r_1-r_2$:

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso

[Figura 9]


Observação: Para determinarmos o raio $r_3$, com abertura do compasso igual ao raio de $\lambda_1$, descrevemos uma circunferência de raio $PQ$ com centro em $P$. Em seguida, com abertura do compasso igual ao raio de $\lambda_2$, descrevemos outra circunferência de raio $QR$ centrada em $Q$. A distância $PR$ é o raio da circunferência $\lambda_3$:

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso

[Figura 10]


Com centro em $C$ e raio $O_1C$ descrevemos uma circunferência que intercepta $\lambda_3$ nos pontos $A$ e $B$:

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso

[Figura 11]


Unimos os pontos $O_2$ e $A$ e os pontos $O_2$ e $B$. Observe que $O_2A$ e $O_2B$ são tangentes externas a $\lambda_3$ traçadas de $O_2$. Prolongamos $O_1A$ até o ponto $D$ pertencente a $\lambda_1$ e também $O_2B$ até o ponto $E$ pertencente a $\lambda_1$. Traçamos em seguida por $D$ um segmento paralelo a $AO_2$ que intercepta $\lambda_2$ no ponto $F$. Analogamente $EG$ é paralelo a $BO_2$.

Construção geométrica de tangentes com régua e compasso

[Figura 12]


Veja mais:

Reta Tangente a uma Curva
Ângulo entre Circunferência e Circunferências Ortogonais

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Construção geométrica de tangentes com régua e compasso - Parte 1. Publicado por Kleber Kilhian em 05/03/2011. URL: . Leia os Termos de uso.


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10 comentários:

  1. Nossa o post ficou muito melhor do que eu imaginava. O seu blog está enriquecendo cada vez mais com construções geométricas. Parabéns e obrigado pelo link.

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  2. Eu que agradeço peço material. Encontrei um caderno de desenho geométrico com várias construções, inclusive alguns traçados de tangentes. Vou fazer uma Parte II com outros traçados. Quero fazer também um ou mais posts sobre o arco capaz.

    Um abraço Paulo!

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  3. Kleber,

    O que acontece com o banner é que o "imageshack", site que hospeda imagens está bloqueando algumas imagens para não cadastrados, o que torna impossível a visualização.

    O seu banner que estava no meu blog está hospedado no Imageshack, assim como o do Paulo do blog "Fatos Matemáticos".

    Com o novo link que você me disponibilizou, irei atualizar!

    Desculpe pelo inconveniente,
    Abraços.

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  4. Olá, Kleber!
    Muita gente que, mesmo dominando os conteúdos da matemática, no que tange ao estudo da geometria, tem no traçado das suas construções, um momento de terror! Tive colegas de estudo, que até hoje ainda dizem terem trauma com o desenho geométrico e dizem, não entender porque pessoas como eu e outros, que não teen o menor medo dele! Aí eu respondo: " é porque seguimos as instruções para o traçado do desenho e não descuidamos do rigor das medidas empregadas ali"! Simplesmente, é só isso!
    Seus posts sãos ótimos e esse aqui, ficou "fenomenal"! Parabéns!
    Um abraço!!!!!

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  5. Olá Valdir! Agradeço seus elogios.
    Acho que foi uma tragédia terem abolido o desenho geométrico das escolas. É um estudo muito importante que hoje é ignorado por muita gente. Eu tive desenho geométrico no "ginásio" durante dois anos. Mas veja que engraçado: na minha graduação não tive em nenhum semestre! Um completo absurdo!!

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  6. Postagem realmente MUITO útil.
    Gostaria de saber como construir tangentes internas usando régua e compasso.

    Muito obrigado,
    Parabéns pelo Blog!

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  7. Olá amigo,obrigado pelo elogio.
    Acho que não entendi (ou não sei) o que está querendo. Reta tangente interna a uma circunferência??

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  8. muito bom mesmo valeu post muito bom obrigado continue assim !

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  9. Muito legal, acho que agora tiro dez em desenho técnico.

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  10. Kleber Kilhian, excelente site! Tem uma maneira muito interessante e absurdamente simples de achar uma tangente de um ponto P sobre uma circunferência A.

    1) fazer uma circunferência B com o centro sobre um ponto qualquer da circunferência A cujo o raio seja a distância até o ponto P.

    2) fazer uma circunferência C com o centro sobre o ponto P com raio até a outra interseção de A e B.

    3) A Reta tangente será a reta que cruza os pontos P e a interseção entre as circunferências BC.

    Essa é a solução de um desafios do game Euclidea. Tem no Google Play. É muito bom, recomendo!

    Abraço!

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