Teorema da Base Média de um Triângulo

O teorema da base média de um triângulo é um teorema muito importante da geometria plana.

Neste artigo veremos a definição e a demonstração do teorema utilizando a geometria analítica.

Aqui no blog também tem este mesmo teorema resolvido pelas propriedades dos vetores.

Teorema:

O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer é paralelo ao terceiro lado e sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.

Demonstração:

Seja o triângulo $ABC$, cujas coordenadas são dadas por $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ e $C(x_C,y_C)$ e seja $M$ e $N$ os pontos médio respectivos aos lados $AB$ e $AC$.

Primeiramente, vamos demonstrar que o segmento $\overline{MN}$ é paralelo ao lado $BC$.

O coeficiente angular da reta que passa por $BC$ pode ser calculado por:

\begin{equation*}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \tag{1}
\end{equation*}
Como $M$ é o ponto médio de $AB$, temos que:
\begin{cases}
x_M =\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}\\
\ \\
y_M =\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}
\end{cases}
Para o ponto $N$, que é o ponto médio de $AC$, temos que:
\begin{cases}
x_N =\displaystyle \frac{x_A+x_C}{2}\\
\ \\
y_N =\displaystyle \frac{y_A+y_C}{2}
\end{cases}
O coeficiente angular da reta que passa por $MN$ é dado por:
\begin{equation*}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_M - y_N}{x_M - y_N}\\
\ \\
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\displaystyle \left( \frac{y_A+y_B}{2} \right) - \left( \frac{y_A+y_C}{2} \right)}{\displaystyle \left( \frac{x_A+x_B}{2} \right) - \left(  \frac{x_A+x_C}{2} \right)}\\
\end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation*}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \tag{2}
\end{equation*}

Como as relações $(1)$ e $(2)$ são iguais, temos que os coeficientes angulares das retas que passam por $MN$ e $BC$ são iguais. Logo, essas retas sãos paralelas.

Agora, vamos demonstrar que o segmento $MN$ é igual à metade do lado $BC$ do triângulo.

A distância entre os pontos $B$ e $C$ é dada por:

\begin{equation*}
BC = d_{BC} = \sqrt{(x_B-x_C)^2 + (y_B-y_C)^2} \tag{3}
\end{equation*}
A distância entre os pontos $M$ e $N$ é dada por:
\begin{equation*}
MN = d_{MN} = \sqrt{\displaystyle \Bigg[ \left( \frac{x_A+x_B}{2} \right) - \left( \frac{x_A+x_C}{2} \right) \Bigg]^2 + \Bigg[ \left( \frac{y_A+y_B}{2} \right) - \left( \frac{y_A+y_C}{2} \right) \Bigg]^2}\\
\ \\
MN = \sqrt{\left( \frac{x_B-x_C}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_B-y_C}{2} \right)^2}\\
\ \\
MN = \sqrt{\frac{\left(x_B-x_C\right)^2 + \left(y_B-y_C\right)^2}{4}}\\
\ \\
MN = \frac{\displaystyle \sqrt{(x_B-x_C)^2 + (y_B-y_C)^2}}{2}
\end{equation*}

Substituindo a relação $(3)$ na equação acima, obtemos:

\begin{equation*}
MN = \frac{BC}{2}
\end{equation*}

Links para este artigo:

• http://bit.ly/base-media-triangulo
• https://www.obaricentrodamente.com/2011/06/teorema-da-base-media-de-um-triangulo.html

Veja mais:

• Teorema da base média de um triângulo por vetores
• Teorema da base média de um trapézio
• Pontos notáveis de um triângulo

Softwares utilizados:

• Inkscape