25/06/2011

Teorema da Base Média de um Triângulo

O teorema da base média de um triângulo é um teorema muito importante da geometria plana.

Neste artigo veremos a definição e a demonstração do teorema utilizando a geometria analítica.

Aqui no blog também tem este mesmo teorema resolvido pelas propriedades dos vetores.

Teorema da base média de um triângulo

Teorema:

O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer é paralelo ao terceiro lado e sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.

Demonstração:

Seja o triângulo $ABC$, cujas coordenadas são dadas por $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ e $C(x_C,y_C)$ e seja $M$ e $N$ os pontos médio respectivos aos lados $AB$ e $AC$.

Primeiramente, vamos demonstrar que o segmento $\overline{MN}$ é paralelo ao lado $BC$.

O coeficiente angular da reta que passa por $BC$ pode ser calculado por:
\begin{equation*}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \tag{1}
\end{equation*}
Como $M$ é o ponto médio de $AB$, temos que:
\begin{cases}
x_M =\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}\\
\ \\
y_M =\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}
\end{cases}
Para o ponto $N$, que é o ponto médio de $AC$, temos que:
\begin{cases}
x_N =\displaystyle \frac{x_A+x_C}{2}\\
\ \\
y_N =\displaystyle \frac{y_A+y_C}{2}
\end{cases}
O coeficiente angular da reta que passa por $MN$ é dado por:
\begin{equation*}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_M - y_N}{x_M - y_N}\\
\ \\
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\displaystyle \left( \frac{y_A+y_B}{2} \right) - \left( \frac{y_A+y_C}{2} \right)}{\displaystyle \left( \frac{x_A+x_B}{2} \right) - \left(  \frac{x_A+x_C}{2} \right)}\\
\end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation*}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \tag{2}
\end{equation*}
Como as relações $(1)$ e $(2)$ são iguais, temos que os coeficientes angulares das retas que passam por $MN$ e $BC$ são iguais. Logo, essas retas sãos paralelas.

Agora, vamos demonstrar que o segmento $MN$ é igual à metade do lado $BC$ do triângulo.

A distância entre os pontos $B$ e $C$ é dada por:
\begin{equation*}
BC = d_{BC} = \sqrt{(x_B-x_C)^2 + (y_B-y_C)^2} \tag{3}
\end{equation*}
A distância entre os pontos $M$ e $N$ é dada por:
\begin{equation*}
MN = d_{MN} = \sqrt{\displaystyle \Bigg[ \left( \frac{x_A+x_B}{2} \right) - \left( \frac{x_A+x_C}{2} \right) \Bigg]^2 + \Bigg[ \left( \frac{y_A+y_B}{2} \right) - \left( \frac{y_A+y_C}{2} \right) \Bigg]^2}\\
\ \\
MN = \sqrt{\left( \frac{x_B-x_C}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_B-y_C}{2} \right)^2}\\
\ \\
MN = \sqrt{\frac{\left(x_B-x_C\right)^2 + \left(y_B-y_C\right)^2}{4}}\\
\ \\
MN = \frac{\displaystyle \sqrt{(x_B-x_C)^2 + (y_B-y_C)^2}}{2}
\end{equation*}
Substituindo a relação $(3)$ na equação acima, obtemos:
\begin{equation*}
MN = \frac{BC}{2}
\end{equation*}

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9 comentários:

  1. Perfeito. Acho que também tem a ver com o Teorema de Tales, não é?
    Já pensou em publicar todos estes desenhos,demonstrações, e fórmulas em um livro?

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    1. Não tem a ver com o Teorema de Tales, apesar deste falar sobre paralelismo também. O Teorema de Tales postula sobre proporcionalidade de segmentos paralelos cortados por retas não paralelas.

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  2. É verdade Jairo, creio que utilizando o teorema do feixe de retas paralelas conseguiríamos a prova. Preciso por em prática essa idéia para ver até onde chega.

    Seria muito bom publicar um livro, confesso que que essa idéia me empolga muito. Já pensei em montar apostilas sobre construções geométricas, já que hoje é tão pouco explorada. Um livro... é algo maior, mas há um site bacana que ensina como estruturar um livro científico:
    http://comoescreverumlivrotecnico.com/e-book/
    Já é um bom começo. Alguma idéia em particular?
    Um abraço.

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  3. Compreensível, embora meus conhecimentos de Geometria Analítica ainda não sejam muito extensos.
    A demonstração também pode ser feita utilizando a Lei dos Cossenos para os triângulos ABC e AMN e algumas substituições.
    Parabéns pelo artigo!

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  4. Não entendi essa soma de denominadores ai, 2 + 2 = 4, em uma fração quando os denominadores são iguais eles não mantem ?

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    1. Veja que cada fração está elevada ao quadrado. Assim a a soma das frações tem denominador 2 e elevado ao quadrado fica 4.

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  5. Olá Kleber!terminei a matemática de ensino fundamental a pouco tempo,só com esse conhecimento tem como eu compreender o teorema acima?lembro_me de ter estudado coeficiente angular e linear em função quadrática,mas,não me lembro de variação de Y ou X.

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    Respostas
    1. Foi uma pergunta!tem como entender este teorema só com o conhecimento do Ens.Fundamental?

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    2. Todo o conteúdo vem do EM: coeficiente angular, distância entre pontos...

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