Base média de um trapézio

O trapézio é um quadrilátero plano convexo formado por quatro lados, sendo dois deles paralelos que são chamados de bases.

O trapézio é considerado notável, assim como o retângulo, o quadrado e o losango, por possuir algumas propriedades interessantes. Uma delas é a propriedade da base média do trapézio, que equivale à semi-soma das bases do trapézio.

A base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados e é paralelo às bases.

Definição 1:

Trapézio é todo quadrilátero que possui um par, e somente um par, de lados opostos paralelos.

Os lados opostos paralelos são denominados por bases e os lados opostos transversos são denominados apenas por lados.

Definição 2:

Base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados do trapézio.

Seja o trapézio $ABCD$, cujos segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ são suas bases paralelas. Sejam $M$ e $N$ os pontos médios dos lados do trapézio. O segmento $\overline{MN}$ é a base média do trapézio e é expresso por:

$$\begin{equation} \overline{MN}=b_M=\frac{b+b'}{2}=\frac{\overline{AB}+\overline{CD}}{2} \end{equation}$$

Para demonstrar esta propriedade, vamos partir do pressuposto que os pontos $M$ e $N$ são os pontos médios do lados do trapézio.

Traçando a diagonal $\overline{AC}$, cortando o segmento $\overline{MN}$ em $P$, obtemos os triângulos $ABC$ e $ACD$. Do triângulo $ABC$, o segmento $\overline{PN}$ é paralelo à $\overline{AB}$. Sendo $N$ o ponto médio de $\overline{BC}$, $P$ é o ponto médio de $\overline{AC}$. Logo $\overline{PN}$ é a base média do triângulo $ABC$ e é dada por:

$$\begin{equation} \overline{PN}=\frac{1}{2} \overline{AB} \end{equation}$$

Analogamente, no triângulo $ACD$, temos que $\overline{MP}$ é sua base média, dada por:

$$\begin{equation} \overline{MP}=\frac{1}{2} \overline{CD} \end{equation}$$

Veja o artigo sobre a demonstração da base média de um triângulo.

Temos ainda que:
$$\begin{equation} \overline{MN}=\overline{MP}+\overline{PN} \end{equation}$$
Substituindo $(2)$ e $(3)$ em $(4)$, obtemos:
$$\begin{equation} \overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{AB}+\frac{1}{2}\overline{CD}=\frac{\overline{AB}+\overline{CD}}{2} \end{equation}$$

Exemplo 1:

Em um trapézio de bases $\overline{AB}=12\ cm$ e $\overline{CD}=8\ cm$, calcule sua base média $\overline{MN}$, sendo $M$ e $N$ os pontos média de seus lados.

Aplicando a fórmula da base média do trapézio, dada em $(5)$, temos:

$$\overline{MN}=\frac{12+8}{2}=10\ cm$$

Exemplo 2:

Uma aplicação interessante é em escadas. Considere a escada da imagem abaixo com $9$ degraus, sendo o primeiro degrau com $45\ cm$ de largura e o último degrau com $30\ cm$ de largura. Calcular as larguras dos demais degraus.

Uma escada pode ser considerada como um trapézio. Se esta contiver um número ímpar de degraus, basta sabermos quanto mede o primeiro e o último para calcularmos a medida do degrau médio (informação extremamente útil para os matemáticos!), desde que as distâncias entre os degraus sejam constantes. A escada que tenho em minha casa, tem $7$ degraus com $25\ cm$ de distância entre eles, mas vi na internet outras com $30\ cm$.

Vamos representar a escada com o diagrama simplificado abaixo:

Com os dados iniciais do problema, os segmentos $\overline{AA'}=45\ cm$ e $\overline{II'}=30\ cm$. Notem que o segmento $\overline{EE'}$ é a base média do trapézio $AA'I'I$. Assim:

$$\overline{EE'}=\frac{\overline{AA'}+\overline{II'}}{2}=\frac{45+30}{2}=37,5\ cm$$

Agora, vamos aplicar a fórmula para determinar as medidas dos demais degraus.

$$\overline{CC'}=\frac{\overline{AA'}+\overline{CC'}}{2}=\frac{45+37,5}{2}=41,25\ cm$$

$$\overline{BB'}=\frac{\overline{AA'}+\overline{CC'}}{2}=\frac{45+41,25}{2}=43,125\ cm$$

$$\overline{DD'}=\frac{\overline{CC'}+\overline{EE'}}{2}=\frac{41,25+37,5}{2}=39,375\ cm$$

$$\overline{GG'}=\frac{\overline{EE'}+\overline{II'}}{2}=\frac{37,5+30}{2}=33,75\ cm$$

$$\overline{FF'}=\frac{\overline{EE'}+\overline{GG'}}{2}=\frac{37,5+33,75}{2}=35,625\ cm$$

$$\overline{HH'}=\frac{\overline{GG'}+\overline{II'}}{2}=\frac{33,75+30}{2}=31,875\ cm$$

Referências:

• Geometria 1 - Morgado
• Elementos de Geometria e Desenho Geométrico V1 - Putnoki
• Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

Links para este artigo:

• http://bit.ly/BaseMediaTrapezio
• https://www.obaricentrodamente.com/2013/10/base-media-de-um-trapezio.html

Veja mais:

• Organograma dos Quadriláteros Notáveis
• Base Média de um Triângulo
• Quadriláteros Notáveis