Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados, cuja soma de seus ângulos internos mede $360º$. Euler encontrou uma relação nos quadriláteros que diz respeito ao segmento que une suas diagonais e a base média do quadrilátero.
Definição:
Mediana de Euler é o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio e fica localizada sobre sua base média, expressa por:
\begin{equation}m_E=\frac{b-b'}{2}
\end{equation}
onde $m_E$ é a Mediana de Euler e $b$ e $b'$ são as bases maior e menor, respectivamente, do trapézio.
Ao traçarmos as duas diagonais do trapézio, estas cortam a base média nos pontos $P$ e $Q$. A Mediana de Euler é o segmento $\overline{PQ}$.
A demonstração não é muito complicada, pois remete a temas já estudados, como a base média de um triângulo e a base média de um trapézio.
\begin{equation}
\overline{MQ}=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{b}{2}
\end{equation}
\overline{MP}=\frac{\overline{CD}}{2}=\frac{b'}{2}
\end{equation}
\overline{PQ}=\overline{MQ}-\overline{MP}
\end{equation}
\overline{PQ}=m_E=\frac{b}{2}-\frac{b'}{2}=\frac{b-b'}{2}
\end{equation}
Do triângulo $ABD$, temos que sua base média é o segmento $\overline{MQ}$, dada por:
\overline{MQ}=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{b}{2}
\end{equation}
E do triângulo $ACD$, temos que sua base média é o segmento $\overline{MP}$, dada por:
\begin{equation}\overline{MP}=\frac{\overline{CD}}{2}=\frac{b'}{2}
\end{equation}
A Mediana de Euler é o segmento $\overline{PQ}$, que pode ser expresso por:
\begin{equation}\overline{PQ}=\overline{MQ}-\overline{MP}
\end{equation}
Substiruindo $(2)$ e $(3)$ em $(5)$, obtemos:
\begin{equation}\overline{PQ}=m_E=\frac{b}{2}-\frac{b'}{2}=\frac{b-b'}{2}
\end{equation}
Exemplo:
Seja o trapézio $ABCD$ de bases $b=\overline{AB}=12cm$ e $b'=\overline{CD}=8cm$. Calcular a Mediana de Euler.
Aplicando a fórmula dada em $(5)$, temos que:
$$m_E=\frac{b-b'}{2}=\frac{12-8}{2}=2cm$$
Links para este artigo:
Veja mais:
- Base Média de um Trapézio
- Base Média de um Triângulo
- Demonstração da Identidade de Euler
- Organograma dos quadriláteros notáveis
Softwares utilizados:
- Inkscape
Eu não consigo entender ainda a diferença entre a mediana de Euler e a base média do trapézio
ResponderExcluirAlguém poderia me explicar ??
A base media de um trapézio e o segmento que une os pontos medios das laterais do trapézio. A mediana de Euler e o segmento que une os pontos médios das diagonais do trapézio, e se encontra sobre a base media.
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