A Mediana de Euler

Leonhard Euler (1707-1783) foi um dos maiores matemáticos (ou o maior) do século XVIII, pois sua obra é impressionante, pela quantidade e pela diversidade. Dentre algumas áreas em que Euler contribuiu, podemos citar a Álgebra, Teoria dos Números, Trigonometria, Cálculo Infinitesimal, Óptica e Geometria. Desta última, especificamente em Geometria Plana, Euler também deixou sua marca num estudo sobre quadriláteros.

Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados, cuja soma de seus ângulos internos mede $360º$. Euler encontrou uma relação nos quadriláteros que diz respeito ao segmento que une suas diagonais e a base média do quadrilátero.

Definição:

Mediana de Euler é o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio e fica localizada sobre sua base média, expressa por:

$$\begin{equation} m_E=\frac{b-b'}{2} \end{equation}$$

onde $m_E$ é a Mediana de Euler e $b$ e $b'$ são as bases maior e menor, respectivamente, do trapézio.

Ao traçarmos as duas diagonais do trapézio, estas cortam a base média nos pontos $P$ e $Q$. A Mediana de Euler é o segmento $\overline{PQ}$.

A demonstração não é muito complicada, pois remete a temas já estudados, como a base média de um triângulo e a base média de um trapézio.

Do triângulo $ABD$, temos que sua base média é o segmento $\overline{MQ}$, dada por:

$$\begin{equation} \overline{MQ}=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{b}{2} \end{equation}$$

E do triângulo $ACD$, temos que sua base média é o segmento $\overline{MP}$, dada por:

$$\begin{equation} \overline{MP}=\frac{\overline{CD}}{2}=\frac{b'}{2} \end{equation}$$

A Mediana de Euler é o segmento $\overline{PQ}$, que pode ser expresso por:

$$\begin{equation} \overline{PQ}=\overline{MQ}-\overline{MP} \end{equation}$$

Substiruindo $(2)$ e $(3)$ em $(5)$, obtemos:

$$\begin{equation} \overline{PQ}=m_E=\frac{b}{2}-\frac{b'}{2}=\frac{b-b'}{2} \end{equation}$$

Exemplo:

Seja o trapézio $ABCD$ de bases $b=\overline{AB}=12cm$ e $b'=\overline{CD}=8cm$. Calcular a Mediana de Euler.

Aplicando a fórmula dada em $(5)$, temos que:

$$m_E=\frac{b-b'}{2}=\frac{12-8}{2}=2cm$$

Links para este artigo:

• http://bit.ly/med-euler
• https://www.obaricentrodamente.com/2013/10/a-mediana-de-euler.html

Veja mais:

• Base Média de um Trapézio
• Base Média de um Triângulo
• Demonstração da Identidade de Euler
• Organograma dos quadriláteros notáveis
  

Softwares utilizados:

• Inkscape