17/10/2010

Organograma dos Quadriláteros Notáveis

Vi em um blog um organograma dos quadriláteros notáveis. Achei muito interessante e resolvi fazer um post. No entanto, achei que precisaria expor suas características e propriedades para melhor compreensão. As devidas demonstrações farei em outra oportunidade.

Quadriláteros

Quadrilátero é um polígono simples de quatro lados. Estes podem ser côncavos ou convexos.

Em um quadrilátero há sempre duas diagonais e a soma dos ângulos internos é sempre igual a 360° (Si = 360°), assim como a soma dos ângulos (Se = 360°).

Interessamo-nos especialmente pelos quadriláteros convexos, pois alguns deles possuem propriedades tão especiais que são chamados de quadriláteros notáveis, que podem ser: Trapézios, Paralelogramos, Retângulos, Losangos e Quadrados.

Trapézio

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos:

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Os lados paralelos são as bases do trapézio e, a partir dos outros lados, podemos defini-lo como:

· Trapézio Isóscele: se estes lados são congruentes;

· Trapézio Escaleno: se estes lados não são congruentes;

· Trapézio Retângulo: se o trapézio tem dois ângulos retos.

image Os elementos de um trapézio são:

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b é a base menor;

B é a base maior;

h é a altura (distância entre as bases).

A área de um trapézio é dada por:

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Paralelogramo

Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos.

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Nos paralelogramos podemos verificar as seguintes propriedades:

· Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes:

image · Em todo paralelogramo dois lados opostos quaisquer são congruentes:

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· Em todo paralelogramo as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios:

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Os elementos de um paralelogramo são:

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b é a base;

h é a altura.

A área do paralelogramo é dada por:

clip_image008

Vejam que, se o paralelogramo tiver as diagonais congruentes, este será um retângulo; Se o paralelogramo tiver suas diagonais perpendiculares, este será um losango; Agora, se o paralelogramo tiver as diagonais congruentes e perpendiculares entre si, este será um quadrado!

Retângulo

Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se suas diagonais forem congruentes:

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Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo:

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Os elementos de um retângulo são:

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a é a medida de dois lados paralelos;

b é a medida dos outros dois lados paralelos.

A área do retângulo é dada por:

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Losango

Um quadrilátero plano convexo é um losango se suas diagonais forem perpendiculares:

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Todo paralelogramo é um losango se suas diagonais forem perpendiculares:

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Os elementos de um losango são:

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d é a diagonal menor;

D é a diagonal maior.

A área do losango é dada por:

clip_image020

Quadrado

Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se suas diagonais forem perpendiculares e congruentes:

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clip_image022

Veja que o quadrado possui as propriedades do retângulo e do losango juntas.

Os elementos do quadrado são:

image

a é a medida dos lados.

A área do quadrado é dada por:

clip_image024

Veja abaixo o organograma dos quadriláteros:

Organograma dos quadriláteros notáveis

[Clique na imagem para aumentar]

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar, Vol 9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce
[2] Matemática Volume Único – Facchini
[3] Matemática Volume Único – Benigno Barreto Filho


Veja mias:

Diagrama de Venn dos Quadriláteros Notáveis
Classificação dos Sistemas Lineares
Quadriláteros Notáveis

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Organograma dos Quadriláteros Notáveis. Publicado por Kleber Kilhian em 17/10/2010. URL: . Leia os Termos de uso.


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8 comentários:

  1. Ótimo post, prof Kléber.
    Um abraço!

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  2. Olá Jú, obrigado pelo comentário. AChei interessante expor a estrutura dos quadriláteros, pois acho que fica mais fácil de entender.

    Um abraço!

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  3. Se um quadrilátero convexo (não necessariamente um paralelogramo) tem suas diagonais perpendiculares ele tem alguma fórmula específica para o cálculo da área a partir do valor das diagonais?

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  4. Olá amigo. Para um quadrilátero qualquer, cujas diagonais são perpendiculares,continua valento a fórmula para o cálculo da área do losango, ou seja: a área é igual ao semi-produto das diagonais:

    $A=\frac{d_1 \times d_2}{2}$

    Um abraço!

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  5. Olá, Kleber

    Venho acompanhando seu blog já algum tempo. Parabéns pelo ótimo trabalho, longa vida ao Baricentro da Mente.

    Só uma correçãozinha: na última célula, à esquerda, do organograma, o quadrilátero que tem ângulos retos e todos os lados iguais não é o "losango", é o quadrado.

    Grande abraço.

    Márcio Alves de Lima

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  6. Olá Márcio, obrigado pela confiança em meu trabalho e pelos votos!

    Que falha minha heim? Ainda bem que viu e me avisou. Por mais que tenha o cuidado de não errar, parece que ainda não estou livre deles... figura arrumada!

    Um forte abraço!

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  7. Parabéns pelo trabalho.

    ass: Dannemman

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  8. DISCORDO!!! Está escrito:"Um quadrilátero plano convexo é um losango se suas diagonais forem perpendiculares".
    ISSO É FALSO!!! Existe um quadrilátero denominado "pipa" que é plano, é convexo, possui diagonais perpendiculares e NÃO É LOSANGO!!!

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