Teorema da base média de um triângulo

O Teorema da Base Média ocupa um lugar de destaque no estudo dos triângulos por sua simplicidade e forte aplicação prática em problemas geométricos.

O objetivo deste artigo é explorar a definição fundamental desse teorema e deduzir sua validade utilizando as ferramentas da Geometria Analítica. Veremos como conceitos simples de ponto médio e coeficiente angular são suficientes para desmistificar essa propriedade.

Vale lembrar que você também pode conferir a demonstração deste mesmo teorema resolvido através do estudo de vetores.

Teorema:

O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer é paralelo ao terceiro lado e sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.

Demonstração:

Seja o triângulo $ABC$, cujas coordenadas são dadas por $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ e $C(x_C,y_C)$ e seja $M$ e $N$ os pontos médio respectivos aos lados $AB$ e $AC$.

Primeiramente, vamos demonstrar que o segmento $\overline{MN}$ é paralelo ao lado $BC$.

O coeficiente angular da reta que passa por $BC$ pode ser calculated por:

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \tag{1} $$

Como $M$ é o ponto médio de $AB$, temos que:

\begin{cases} x_M =\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}\\ \ \\ y_M =\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2} \end{cases}

Para o ponto $N$, que é o ponto médio de $AC$, temos que:

\begin{cases} x_N =\displaystyle \frac{x_A+x_C}{2}\\ \ \\ y_N =\displaystyle \frac{y_A+y_C}{2} \end{cases}

O coeficiente angular da reta que passa por $MN$ é dado por:

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_M - y_N}{x_M - y_N}\\ \ \\ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\displaystyle \left( \frac{y_A+y_B}{2} \right) - \left( \frac{y_A+y_C}{2} \right)}{\displaystyle \left( \frac{x_A+x_B}{2} \right) - \left( \frac{x_A+x_C}{2} \right)}\\ $$

O que nos leva a:

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \tag{2} $$

Como as relações $(1)$ e $(2)$ são iguais, temos que os coeficientes angulares das retas que passam por $MN$ e $BC$ são iguais. Logo, essas retas sãos paralelas.

Agora, vamos demonstrar que o segmento $MN$ é igual à metade do lado $BC$ do triângulo.

A distância entre os pontos $B$ e $C$ é dada por:

$$ BC = d_{BC} = \sqrt{(x_B-x_C)^2 + (y_B-y_C)^2} \tag{3} $$

A distância entre os pontos $M$ e $N$ é dada por:

$$ MN = d_{MN} = \sqrt{\displaystyle \Bigg[ \left( \frac{x_A+x_B}{2} \right) - \left( \frac{x_A+x_C}{2} \right) \Bigg]^2 + \Bigg[ \left( \frac{y_A+y_B}{2} \right) - \left( \frac{y_A+y_C}{2} \right) \Bigg]^2} $$

$$ MN = \sqrt{\left( \frac{x_B-x_C}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_B-y_C}{2} \right)^2} $$

$$ MN = \sqrt{\frac{\left(x_B-x_C\right)^2 + \left(y_B-y_C\right)^2}{4}} $$

$$ MN = \frac{\displaystyle \sqrt{(x_B-x_C)^2 + (y_B-y_C)^2}}{2} $$

Substituindo a relação $(3)$ na equação acima, obtemos:

$$ MN = \frac{BC}{2} $$

Exemplo: Aplicação Algébrica em Vestibulares

Em um triângulo $ABC$, os pontos $M$ e $N$ são os pontos médios dos lados $AB$ e $AC$, respectivamente. Sabendo que o lado $BC$ mede $3x - 4$ e que o segmento $MN$ mede $x + 2$, determine o valor de $x$ e o comprimento real do lado $BC$ e da base média $MN$.

Resolução passo a passo:

1. Identificando a propriedade:

O enunciado afirma que $M$ e $N$ são pontos médios de dois lados do triângulo. Portanto, o segmento $\overline{MN}$ é, por definição, a base média do triângulo $ABC$ em relação à base $\overline{BC}$.

Pelo Teorema da Base Média, sabemos que a medida do segmento que une os pontos médios é igual à metade da medida da base. Ou seja:

$$MN = \frac{BC}{2}$$

Podemos reescrever essa mesma relação multiplicando por 2, o que facilita os cálculos:

$$2 \cdot MN = BC$$

2. Montando a equação:

Agora, substituímos as expressões algébricas dadas no enunciado dentro da fórmula:

$$2 \cdot (x + 2) = 3x - 4$$

3. Resolvendo a equação para encontrar $x$:

Aplicamos a propriedade distributiva no lado esquerdo:

$$2x + 4 = 3x - 4$$

Agora, isolamos a incógnita $x$. Vamos passar o $2x$ para o lado direito e o $-4$ para o lado esquerdo (mudando os sinais):

$$4 + 4 = 3x - 2x$$ $$8 = x$$

Portanto, $x = 8$.

4. Encontrando os comprimentos reais dos segmentos:

Agora, basta substituir de volta nas expressões originais para encontrar as medidas:

• Comprimento da Base ($BC$):
  $$BC = 3x - 4$$
  $$BC = 3(8) - 4$$
  $$BC = 24 - 4 = 20$$
• Comprimento da Base Média ($MN$):
  $$MN = x + 2$$
  $$MN = 8 + 2 = 10$$

Assim, temos que o valor de $x$ é 8, o lado $BC$ mede 20 e a base média $MN$ mede 10 (o que confirma perfeitamente o teorema, já que 10 é a metade de 20).

Veja mais:

• Teorema da base média de um triângulo resolvido pelas propriedades dos vetores
• Teorema da base média de um trapézio
• Pontos notáveis de um triângulo