20/10/2011

Teorema do Ângulo Inscrito

Um ângulo é considerado inscrito em uma circunferência quando seu vértice pertence a ela e os seus lados sejam, cada um deles, uma corda.
Teorema: Numa circunferência, a medida do ângulo central é igual ao dobro da medida do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco.
Assim, pode haver três casos distintos:
i) O centro O da circunferência pertence a uma das cordas. Neste caso, a corda é o próprio diâmetro da circunferência;
ii) O centro O da circunferência está dentro do ângulo inscrito;
iii) O centro O da circunferência está fora do ângulo inscrito.
image Vamos demonstrar cada um dos casos separadamente.
1) O centro O da circunferência pertence a uma das cordas
image Vejam que os segmentos OB e OC possuem a mesma medida, pois são iguais ao raio da circunferência. Desta forma, o triângulo OBC é isóscele, cuja base BC compreende ângulos iguais a θ.
O segmento AB é o diâmetro da circunferência e podemos chamar como α o ângulo suplementar de β, que é o ângulo central:
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Como para todo triângulo a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°, temos:
clip_image008
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E assim fica provado o primeiro caso.
2) O centro O da circunferência está dentro do ângulo inscrito
image Podemos traçar o diâmetro BD da circunferência, dividindo os ângulos, central e inscrito, em duas partes iguais, obtendo:
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E desta forma, caímos ao primeiro caso, onde o centro da circunferência pertence a uma das cordas. Utilizando o mesmo raciocínio, obtemos:
image
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E o mesmo vale para o outro ramo:
image 
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No entanto, temos pela relação (3) que:
clip_image030
Substituindo as relações (4) e (5), obtemos:
clip_image032
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Substituindo a relação (2) na relação acima obtemos:
clip_image036
E assim provamos o segundo caso.
3) O centro O da circunferência está fora do ângulo inscrito
imagePodemos traçar o diâmetro BD da circunferência definindo outros dois ângulos: β1 e θ1:
image Assim, podemos chamar como α o ângulo suplementar do ângulo β + β1, que é o ângulo central:
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E desta forma, caímos ao primeiro caso, onde o centro da circunferência pertence a uma das cordas. Utilizando o mesmo raciocínio, obtemos:
clip_image044
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Se aplicarmos o mesmo conceito no ângulo DBA, obtemos:
clip_image048
Substituindo a relação (8) em (7), obtemos:
clip_image050
clip_image052
E assim provamos o terceiro e último caso.

Veja mais:
O Teorema de Pitágoras, Segundo Euclides - A Proposição I-47
O Teorema da Base Média de um Triângulo
O Teorema da Base Média de um Triângulo Resolvido pelas Propriedades dos Vetores



























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9 comentários:

  1. Adorei a demonstração...

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  2. Blog sensacional

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  3. muito bom....me ajudou em matemática.

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  4. Muito bom! Parabéns pelo blog. Tudo muito bem explicado, simples e objetivo. Obrigado!

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  5. Muito útil! Para quem quer praticar, sugiro a questão 75 da Fuvest de 2010.
    Obrigado, Kleber!
    Abraços a todos!

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  6. Boa tarde

    Não consegui resolver a parte "Se aplicarmos o mesmo conceito no ângulo DBA, obtemos:"
    que elava a equação 8. poderia explicar melhor?

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  7. No caso 1) e 3) o texto troca suplementar por complementar. No caso 1) por exemplo...

    "O segmento AB é o diâmetro da circunferência e podemos chamar como α o ângulo complementar de β, que é o ângulo central: ..."

    α é o ângulo SUMPLEMENTAR de β.

    Chacon, A.

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