24/04/2012

Demonstração da fórmula para as coordenadas do baricentro de um triângulo

O baricentro, centroide, centro de massa ou centro de gravidade de um corpo é o ponto onde pode ser considerada a aplicação da força de gravidade de todo o corpo formado por um conjunto de partículas que são atraídas para o centro da Terra, ou seja, é o ponto onde pode-se equilibrar todas essas forças de atração.

Na Geometria Plana, aprendemos que o baricentro de um triângulo ou centroide $G$ é o encontro das três medianas e as divide numa razão de 2 para 1, sendo o segmento maior o que possui extremidade no vértice do triângulo.

Se representarmos esse triângulo em um sistema de coordenadas retangulares e utilizarmos as coordenadas dos vértices desse triângulo, conseguiremos demonstrar a fórmula para as coordenadas do baricentro desse triângulo utilizando conceitos básicos de Geometria Analítica.

As fórmulas das coordenadas para o baricentro de um triângulo são dadas por:
\begin{cases}
\displaystyle x_G = \frac{x_a+x_b+x_c}{3}\\
\ \\
\displaystyle y_G = \frac{y_a + y_b + y_c}{3}
\end{cases}
Seja o triângulo $ABC$ cujas coordenadas dos vértices são respectivamente: $A(x_a,y_a)$, $B(x_b,y_b)$ e $C(x_c,y_c)$. Seja o ponto médio referente ao lado $BC$ representado por $D(x_d,y_d)$. E sejam as coordenadas do baricentro do triângulo representado por $G(x_g,y_g)$:

Demonstração da fórmula para as coordenadas do baricentro de um triângulo


O ponto médio de um segmento é dado pela semissoma de suas coordenadas. Assim, as coordenadas do ponto médio do semento $BC$ são dadas por:
\begin{equation}
\begin{cases}
\displaystyle x_d = \frac{x_b+x_c}{2}\\
\ \\
\displaystyle y_d = \frac{y_b + y_c}{2}
\end{cases}
\end{equation}

Como o ponto $G$ divide uma mediada numa razão de $2:1$, temos a relação referente à mediana ao lado $BC$:
\begin{equation}
\frac{AG}{GD} = \frac{2}{1}
\end{equation}

Coordenadas da abscissa:

Considerando as abscissas dos pontos $A$, $G$ e $D$ e a relação $(2)$, temos que:
\begin{equation*}
\frac{x_g-x_a}{x_d-x_g} = \frac{2}{1}\\
\ \\
x_g-x_a = 2\left( x_d-x_g \right)\\
\ \\
x_g - x_a = 3\ x_d - 2\ x_g\\
\end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation}
3\ x_g = x_a + 2\ x_d
\end{equation}
Substituindo a relação $(1)$ em $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
3\ x_g = x_a + 2\ \left(\frac{x_b+x_c}{2} \right)\\
\ \\
3\ x_g = x_a + x_b + x_c\\
\ \\
x_g = \frac{x_a + x_b + x_c}{3}
\end{equation*}

Coordenadas da ordenada:

Analogamente ao que fizemos para encontrar a coordenada da abscissa, fazemos para a ordenada:
\begin{equation*}
\frac{y_g-y_a}{y_d-y_g} = \frac{2}{1}\\
\ \\
y_g-y_a = 2\left( y_d-y_g \right)\\
\ \\
y_g - y_a = 3\ y_d - 2\ y_g\\
\end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation}
3\ y_g = y_a + 2\ y_d
\end{equation}
Substituindo a relação $(1)$ em $(4)$, obtemos:
\begin{equation*}
3\ y_g = y_a + 2\ \left(\frac{y_b+y_c}{2} \right)\\
\ \\
3\ y_g = y_a + y_b + y_c\\
\ \\
y_g = \frac{y_a + y_b + y_c}{3}
\end{equation*}

Exemplo 1:

Seja o triângulo $ABC$, cujas coordenadas são dadas por $A(0,1)$, $B(6,-2)$ e $C(4,3)$. Determinar as coordenadas do baricentro deste triângulo representada pelo ponto $G$.

Exercício 1: Encontrar as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A(0,1), B(6,-2) e C(4,3)


Aplicando as fórmulas, vamos determinar as coordenadas do baricentro.
\begin{equation*}
x_g = \frac{x_a + x_b + x_c}{3} = \frac{0+6+4}{3}=\frac{10}{3}\\
\ \\
y_g = \frac{y_a + y_b + y_c}{3}=\frac{1-2+3}{3}=\frac{2}{3}
\end{equation*}
Assim, as coordenadas do baricentro do triângulo $ABC$ são $\displaystyle G\left(\frac{10}{3}, \frac{2}{3} \right)$.

Exemplo 2:

Dois vértices de um triângulo são $A(0,0)$ e $B(9,0)$. O baricentro é dado pelo ponto $(6,1)$. Encontrar o terceiro vértice do triângulo.

Seja $C(x_c,y_c)$ o terceiro vértice do triângulo. Assim, para a coordenada da abscissa:
\begin{equation*}
x_g = \frac{x_a + x_b + x_c}{3}\\
\ \\
6 = \frac{0 + 9 + x_c}{3}\\
\ \\
x_c = 9
\end{equation*}
E para a coordenada da ordenada:
\begin{equation*}
y_g = \frac{y_a + y_b + y_c}{3}\\
\ \\
1 = \frac{0+0+y_c}{3}\\
\ \\
y_c = 3
\end{equation*}
As coordenadas do terceiro vértice do triângulo são dadas por $C(9,3)$.

Exercício proposto:

Quais são as coordenadas do baricentro de um triângulo $MNP$ obtido de um triângulo $ABC$, sendo $M$ o ponto médio de $AB$, $N$ o ponto médio de $AC$ e $P$ o ponto médio de $BC$?

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13 comentários:

  1. Este post teria sido particularmente mais interessante há uma semana atrás quando tive que provar o Teorema de Euler para um trabalho da faculdade. Seria bacana se você usasse vetores na demonstração, tornaria as coisas mais interessantes.
    De qualquer modo, um post com muita qualidade!

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  2. Este artigo surgiu de uma dúvida de um leitor que queria saber como demonstrar as coordenadas do centroide do triângulo. Para tentar economizar tempo, fui procurar na internet e percebi que não tinha nada com boas explicações. Resolvi então fazer para compartilhar com todos. Eu até tinha visto algo sobre o uso de vetores, mas provava somente que o ponto G é o centroide do triângulo, mas não demonstrava as fórmulas das coordenadas. De qualquer forma, acho que é uma boa ideia para um próximo post. Agradeço sua sugestão!

    Hoje, lendo um livro de História da Matemática, me deparei com o método de Stevin para cálculo dos infinitesimais. Com ele, Stevin demonstra que o baricentro de um triângulo é o encontro das medianas. Realmente muito interessante para uma ideia cerca de 100 anos antes no nascimento do cálculo infinitesimal. Sem falar nos métodos de Arquimedes...

    Obrigado pela visita e comentário!

    Abraços.

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  3. Resposta do exercício proposto:
    Sendo $A(x_A,x_A)$, $B(x_B,y_B)$ e $C(x_C,y_C)$, baseado no enunciado, temos que:
    $M(x_M,y_M)=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$,
    $N(x_N,y_N)=\left(\dfrac{x_A+x_C}{2},\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$
    e
    $P(x_P,y_P)=\left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$
    Segue que:
    $x_G=\dfrac{x_M+x_N+x_P}{3}=\dfrac{\frac{x_A+x_B}{2}+\frac{x_A+x_C}{2}+\frac{x_B+x_C}{2}}{3}$

    $=\dfrac{2x_A+2x_B+2x_c}{6}=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}$
    e
    $y_G=\dfrac{y_M+y_N+y_P}{3}=\dfrac{\frac{y_A+y_B}{2}+\frac{y_A+y_C}{2}+\frac{y_B+y_C}{2}}{3}$

    $=\dfrac{2y_A+2y_B+2y_c}{6}=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$
    Devemos observar que os triângulos $ABC$ e $MNP$ possuem o mesmo baricentro.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Francehelder,

      Muito bem desenvolvido. As coordenadas calculadas no final para o triângulo ABC, mostram que é a mesma para o triângulo MNP.

      Obrigado pela contribuição.

      Abraços.

      Excluir
  4. Oi, Kleber! Por falar em baricentro. Você já leu algo sobre onde seria o baricentro do Universo?...Obrigado...abçs.

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    Respostas
    1. Olá Tavano, como vai?
      Eu já tinha ouvido falar, mas não sei detalhes. Fiz uma procura rápida na interne, mas pelo menos em português não encontrei nada. Somente para o baricentro do sistema solar, que seria o Sol. Você tem algum material sobre o baricentro do Universo?

      Abraços.

      Excluir
    2. Oi, Kleber! Não, não tenho. Era mais uma dúvida filosófica que física. Certa vez alguém sugeriu que o Universo estaria girando em torno desse hipotético baricentro. Aí, eu pensei, girando em relação a quê? Não sei porque lembrei disso ao ler seu artigo...Obrigado...abçs.

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    3. Pois é... em relaçãoa que? Já que não se sabe o tamanho do universo, não? Podemos restringir para o baricentro da Via Láctea, que seria sem centro, na direção da constelação de Sagittarius. Será que há um buraco negro? Para o sistema solar, temos o Sol como centro de massa; Já para a Terra-Lua, teríamos um ponto a cerca de 1700km abaixo da superfície da Terra. Quando se fala em baricentro (ou centro de massa), podemos pensar em muitas coisas mesmo: desde triângulos a binários, como a Terra-Lua.

      Um abraço.

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  5. Só uma curiosidade ( me lembrei por causa do buraco negro). Sabiam que [;1kg;]concentrado em [;1/1000mm;]gera uma aceleração de gravidade de [;g=66,7 m/s^2;]???

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  6. Não sabia Aloísio. É uma senhora aceleração! Por isso a atração de um buraco negro é espantosa!

    Abraços!

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  7. Correção: [;1Kg;] concentrado em um volume esférico de [;(1/1000)mm;] de raio.

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  8. VLW AJUDOU MUITO !

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  9. preciso do passo a passo (resolução desse exercício. http://cursos.unisanta.br/mecanica/mcg/baricentro.pdf

    Exercícios Propostos: (Para estudo).
    Calcular, para as figuras planas compostas abaixo, o baricentro posicionando os eixos nas
    figuras:
    Exercício 14:
    Resposta: G = (-0,69; 1,37) x 10-2 m
    Exercício 15:
    Resposta: G = (1,5; -1,91) cm
    Exercício 16:
    Resposta: G = (-0,137; -1,137) cm
    Exercício 17:
    Resposta: G = (1,53; 1,24) x 10-2 m

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