O triângulo retângulo é aquele que possui um de seus ângulos igual a 90° e apresenta diversas relações interessantes. Neste artigo, veremos algumas relações métricas utilizando semelhança de triângulos.
As relações métricas são aquelas que envolvem as medidas dos lados do triângulo retângulo e alguns de seus segmentos.
Primeiramente vamos relembrar algumas definições que serão importantes nas demonstrações.

Definição 1: Triângulo retângulo
Um triângulo é chamado de triângulo retângulo se possuir um ângulo interno reto. O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa e os outros dois lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos.

Definição 2: Semelhança de triângulos:
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, existe uma correspondência biunívuca, que associa os três vértices de um triângulo aos três vértices do outro triângulo, tais que:
- Ângulos com vértices correspondentes são congruentes;
- Lados opostos a vértices correspondentes são iguais.
△ABC∼△DEF⟺ABDE=BCEF=ACDF
e
{ˆA≅ˆD ˆB≅ˆE ˆC≅ˆF
Seja o triângulo ABC, reto em ˆA:
Temos que:
- a é a hipotenusa;
- b e c são os catetos;
- h é a altura do triângulo relativa à hipotenusa;
- m é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa;
- n é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa.
Demonstrações:
Para as demonstrações que seguem, vamos separar o triângulo ABC em dois triângulos. Assim, teremos três triângulos semelhantes:
de modo que:
△ABC∼△DAB∼△DAC
1) O triângulo ABC é semelhante ao triângulo DBA:
△ABC∼△DBA⟺ac=bh=cm
assim:
ah=bc
c2=am
bm=ch
2) O triângulo ABC é semelhante ao triângulo DAC:
△ABC∼△DAC⟺ab=bn=ch
assim:
ah=bc
b2=an
bh=cn
3) O triângulo DAB é semelhante ao triângulo DAC:
△DAB∼△DAC⟺cb=hn=mh
assim:
cn=bh
bm=ch
h2=mn
Somando membro a membro as relações (2) e (5), obtemos:
b2+c2=an+am b2+c2=a(m+n)
No entanto, as projeções ortogonais m e n dos catetos b e c sobre a hipotenusa a, tem comprimento igual a m+n=a. Assim, chegamos ao Teorema de Pitágoras:
b2+c2=a2Exemplo 1:
Determinar as medidas de a, h, m, e n no triângulo ABC:
Da relação (10), temos que:
a2=b2+c2 a2=32+42 a2=25 a=5
Da relação (4), temos que:
ah=bc 5h=2⋅4 h=125
Da relação (2), temos que:
c2=am 32=5m m=95
Da relação (5), temos que:
b2=an 42=5n n=165
Assim, os valores procurados são: a=5, h=125, m=95 e n=165.
Exemplo 2:
Calcular a altura relativa à base ¯BC do triângulo isósceles abaixo:
Como o triângulo é isósceles, a altura h divide o segmento ¯BC em duas partes iguais. Assim, ¯BD=¯CD=4. Aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo DAC:
52=42+h2 h2=9 h=3A medida procurada é h=3.
Exemplo 3:
Num triângulo isósceles ABC, de lados iguais a ¯AB=¯AC=5 e ¯BC=8, calcular a distância entre o ponto médio M do segmento ¯BC e um dos catetos.
Podemos representar o problema como a imagem abaixo:
Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é o segmento que une o ponto à reta sendo perpendicular a ela. Na figura está representada pelo segmento d=¯MN.
Primeiramente, vamos encontrar a medida h, utilizando-se do fato do triângulo ser isósceles. Assim, o segmento ¯CM=4. Aplicamos o teorema de Pitágoras:
52=42+h2 h2=9 h=3
Agora, podemos aplicar a relação (1) no triângulo ACM para encontrarmos o segmento d:
5d=3⋅4 5d=12 d=125Assim, a medida procurada é d=12/5.
Referências:
- Matemática Volume Único - Manoel Paiva - Ed. Moderna
Links para este artigo:
- http://bit.ly/relacoes-metricas
- https://www.obaricentrodamente.com/2015/04/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo.html
Veja mais:
- Pontos notáveis de um triângulo
- Teorema da base média de um triângulo
- Demonstração da fórmula das coordenadas do baricentro do triângulo retângulo
Softwares utilizados:
- Inkscape
Parabéns. Muito bacana este trabalho.
ResponderExcluirSe eu for colocar referência no meu trabalho, eu tenho que colocar também a referência que foi usada pelo site?
ResponderExcluirOlá Gustavo.
ExcluirEm tese não precisaria, pois se vierem conferir aqui no blog, veriam as referencias deste artigo. Por outro lado, nem tudo das referências estão no artigo e nem tudo do artigo se encontra nas referências. Beja o que ache melhor. Obrigado pelo comentário. Abs.
Muito legal
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