Euclides de Alexandria (300 a.C.) foi um professor, matemático platônico e escritor possivelmente grego, muitas vezes referido como o "Pai da Geometria". Além de sua principal obra, Os Elementos, Euclides também escreveu sobre perspectivas, seções cônicas, geometria esférica e teoria dos números.
A obra Os Elementos é uma das mais influentes e bem sucedidas na história da Matemática, servindo como o principal livro para o ensino de Matemática (especialmente geometria) desde a data da sua publicação até o fim do século XIX.
Dividido em 13 livros, a proposição 47 do Livro I dos Elementos trata da demonstração do Teorema da Hipotenusa, conhecido como Teorema de Pitágoras. Veremos neste artigo como Euclides conduziu sua demonstração.
A obra Os Elementos é uma das mais influentes e bem sucedidas na história da Matemática, servindo como o principal livro para o ensino de Matemática (especialmente geometria) desde a data da sua publicação até o fim do século XIX.
Dividido em 13 livros, a proposição 47 do Livro I dos Elementos trata da demonstração do Teorema da Hipotenusa, conhecido como Teorema de Pitágoras. Veremos neste artigo como Euclides conduziu sua demonstração.
Proposição I-47
Em um triângulo retângulo, o quadrado sobre o lado oposto ao ângulo reto é igual à soma dos quadrados sobre os lados que forma o ângulo reto.
O cerne da demonstração consiste em estabelecer a igualdade entre o retângulo $BDLM$ e o quadrado $ABFG$.
Vejam que o triângulo $ABD$ e $BCF$ são iguais, pois os dois triângulos têm dois lados iguais com ângulos iguais e estes são a metade do retângulo $BDLM$. Esta igualdade entre triângulos já havia sido previamente estabelecida na proposição I−4 de seus Elementos.
Proposição I-4
Se dois triângulo tem dois lados iguais a dois, respectivamente, e se o ângulo contido por estes dois lados forem iguais, então eles também têm suas bases iguais. Consequentemente os triângulos serão iguais e os ângulos restantes também serão.
Numa perspectiva moderna, a igualdade dos triângulos se dá pelo fato de que eles se deduzem um do outro por uma rotação de $90°$. Mas de que modo Euclides justifica que o retângulo $BDLM$ seja o duplo do triângulo $ABD$?
Euclides utilizou-se de outra proposição já estabelecida num teorema mais geral, onde combina triângulos e paralelogramos.
Proposição I−41
Se um paralelogramo tem a mesma base que um triângulo e estes estão na mesma paralela, então o paralelogramo é o dobro do triângulo.
Unindo $AL$, então os triângulo $ABC$ e $EBC$ tem mesma área, cujas bases $BC$ são iguais e estão nas mesmas paralelas $BC$ e $AE$. Logo $BCE$ é a metade de $ABCD$.
Para a prova deste teorema, Euclides une a diagonal $AC$, construindo o triângulo $ABC$, que também tem $BC$ como base, e enuncia duas asserções:
1) Os triângulos $ABC$ e $EBC$, por terem mesma base e estarem nas mesmas paralelas são iguais.
2) O triângulo $ABC$ é a metade do paralelogramo $ABCD$, porque $AC$ é a diagonal e porque a diagonal de um paralelogramo o divide em duas partes iguais.
Esta afirmação advém de outra proposição:
Proposição I-34
Em áreas paralelogrâmicas os lados e os ângulos opostos são iguais entre si e a diagonal divide as áreas e, partes iguais.
Desta forma, temos que provar que a $I−41$ se aplica na $I−47$. Vamos tomar o quadrado $ABFG$ e o triângulo $BCF$. Por construção $ABFG$ é um quadrado, logo os segmentos $BF$ e $AG$ são paralelos, assim como no retângulo $BDLM$ os segmentos $BD$ e $LM$ também são.
Basta, então, mostrar que o vértice c está sobre o prolongamento de $GA$. Euclides observa:
Uma vez que cada um dos ângulos sob $BAC$ e $BAG$ é reto, relativamente à reta $BA$, os dois segmentos $AC$ e $AG$, não posicionados do mesmo lado, formam ângulos adjacentes iguais a dois retos. Portanto, $CA$ também está alinhado a $AH$.
Desta forma, concluímos que o quadrado $ABFG$ tem a mesma base do triângulo $BCF$ e estão na mesma paralela $GC$. Daqui vem que o quadrado $ABFG$ é o duplo do triângulo $BCF$. Mas os triângulos $BCF$ e $ABD$ são iguais, o que nos leva à igualdade entre o quadrado $ABFG$ e o retângulo $BDLM$.
De modo análogo provamos que o quadrado $ACKH$ é igual ao retângulo $CELM$.
Assim, a reunião dos retângulos $BDLM$ e $CELM$ constituem o grande quadrado $BDEC$ sobre a hipotenusa $BC$, e este haverá de ser igual aos dois quadrados $ABFG$ e $ACKH$.
Referências:
- Revista Scientific American – A Ciência na Antiguidade, Nº 3
- Os Elementos - Euclides - Tradução de Irineu Bicudo - Ed. Unesp
- http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html
Links para este artigo:
- http://bit.ly/Pitclides
- https://www.obaricentrodamente.com/2011/04/o-teorema-de-pitagoras-segundo-euclides.html
Muito bem explicada a demonstração e as figuras. Parabéns e obrigado pelos links.
ResponderExcluirA obra de Euclides foi realmente um marco na história da geometria. Como seu raciocínio era lógico e dedutivo!
ResponderExcluirHá quem diga que Euclides não era uma pessoa, mas um nome para um grupo de matemáticos. Talvez sim, talvez não, mas nada apaga seu brilho.
Obrigado.
Ai! Que inveja deste blog... :)
ResponderExcluirOlá Kleber,
ResponderExcluirAcabo de descrever justamente esta demonstração em um trabalho que estou organizando e resolvi reproduzi-la no TICs Na Matemática... Referenciei este seu artigo por lá (a demonstração é apresentada de modo mais detalhado).
Maravilha Charles! Vou incluir o link de seu artigo também!
ExcluirForte abraço!
Este teorema está presente em um papiro africano desde 1650 anos antes de Cristo. O Grego Pitágoras viveu na África por 20 anos no continente africano no século 5 antes de Cristo. por isso, Teorema de Pitágoras foi renomeado para Teorema do Triângulo Retângulo.
ResponderExcluirE forte
ResponderExcluir