13/04/2011

O teorema de Pitágoras, segundo Euclides – A proposição I-47

Euclides de Alexandria (300 a.C.) foi um professor, matemático platônico e escritor possivelmente grego, muitas vezes referido como o "Pai da Geometria". Além de sua principal obra, Os Elementos, Euclides também escreveu sobre perspectivas, seções cônicas, geometria esférica e teoria dos números.

A obra Os Elementos é uma das mais influentes e bem sucedidas na história da Matemática, servindo como o principal livro para o ensino de Matemática (especialmente geometria) desde a data da sua publicação até o fim do século XIX.

Dividido em 13 livros, a proposição 47 do Livro I dos Elementos trata da demonstração do Teorema da Hipotenusa, conhecido como Teorema de Pitágoras. Veremos neste artigo como Euclides conduziu sua demonstração.

O Teorema de Pitágoras segundo Euclides - A proposição I-47

Proposição I-47

Em um triângulo retângulo, o quadrado sobre o lado oposto ao ângulo reto é igual à soma dos quadrados sobre os lados que forma o ângulo reto.

O teorema de Pitágoras segundo Euclides - A proposição I-47


O cerne da demonstração consiste em estabelecer a igualdade entre o retângulo $BDLM$ e o quadrado $ABFG$.

Vejam que o triângulo $ABD$ e $BCF$ são iguais, pois os dois triângulos têm dois lados iguais com ângulos iguais e estes são a metade do retângulo $BDLM$. Esta igualdade entre triângulos já havia sido previamente estabelecida na proposição I−4 de seus Elementos.

Proposição I-4

Se dois triângulo tem dois lados iguais a dois, respectivamente, e se o ângulo contido por estes dois lados forem iguais, então eles também têm suas bases iguais. Consequentemente os triângulos serão iguais e os ângulos restantes também serão.

Proposição I-4


Numa perspectiva moderna, a igualdade dos triângulos se dá pelo fato de que eles se deduzem um do outro por uma rotação de $90°$. Mas de que modo Euclides justifica que o retângulo $BDLM$ seja o duplo do triângulo $ABD$?

Euclides utilizou-se de outra proposição já estabelecida num teorema mais geral, onde combina triângulos e paralelogramos.

Proposição I−41

Se um paralelogramo tem a mesma base que um triângulo e estes estão na mesma paralela, então o paralelogramo é o dobro do triângulo.

Proposição I-41


Unindo $AL$, então os triângulo $ABC$ e $EBC$ tem mesma área, cujas bases $BC$ são iguais e estão nas mesmas paralelas $BC$ e $AE$. Logo $BCE$ é a metade de $ABCD$.

Para a prova deste teorema, Euclides une a diagonal $AC$, construindo o triângulo $ABC$, que também tem $BC$ como base, e enuncia duas asserções:

1) Os triângulos $ABC$ e $EBC$, por terem mesma base e estarem nas mesmas paralelas são iguais.

2) O triângulo $ABC$ é a metade do paralelogramo $ABCD$, porque $AC$ é a diagonal e porque a diagonal de um paralelogramo o divide em duas partes iguais.

Esta afirmação advém de outra proposição:

Proposição I-34

Em áreas paralelogrâmicas os lados e os ângulos opostos são iguais entre si e a diagonal divide as áreas e, partes iguais.

Proposição I-34


Desta forma, temos que provar que a $I−41$ se aplica na $I−47$. Vamos tomar o quadrado $ABFG$ e o triângulo $BCF$. Por construção $ABFG$ é um quadrado, logo os segmentos $BF$ e $AG$ são paralelos, assim como no retângulo $BDLM$ os segmentos $BD$ e $LM$ também são.

Basta, então, mostrar que o vértice c está sobre o prolongamento de $GA$. Euclides observa:

Uma vez que cada um dos ângulos sob $BAC$ e $BAG$ é reto, relativamente à reta $BA$, os dois segmentos $AC$ e $AG$, não posicionados do mesmo lado, formam ângulos adjacentes iguais a dois retos. Portanto, $CA$ também está alinhado a $AH$.

Desta forma, concluímos que o quadrado $ABFG$ tem a mesma base do triângulo $BCF$ e estão na mesma paralela $GC$. Daqui vem que o quadrado $ABFG$ é o duplo do triângulo $BCF$. Mas os triângulos $BCF$ e $ABD$ são iguais, o que nos leva à igualdade entre o quadrado $ABFG$ e o retângulo $BDLM$.

De modo análogo provamos que o quadrado $ACKH$ é igual ao retângulo $CELM$.

Assim, a reunião dos retângulos $BDLM$ e $CELM$ constituem o grande quadrado $BDEC$ sobre a hipotenusa $BC$, e este haverá de ser igual aos dois quadrados $ABFG$ e $ACKH$.

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5 comentários:

  1. Muito bem explicada a demonstração e as figuras. Parabéns e obrigado pelos links.

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  2. A obra de Euclides foi realmente um marco na história da geometria. Como seu raciocínio era lógico e dedutivo!
    Há quem diga que Euclides não era uma pessoa, mas um nome para um grupo de matemáticos. Talvez sim, talvez não, mas nada apaga seu brilho.

    Obrigado.

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  3. Ai! Que inveja deste blog... :)

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  4. Olá Kleber,
    Acabo de descrever justamente esta demonstração em um trabalho que estou organizando e resolvi reproduzi-la no TICs Na Matemática... Referenciei este seu artigo por lá (a demonstração é apresentada de modo mais detalhado).

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    Respostas
    1. Maravilha Charles! Vou incluir o link de seu artigo também!

      Forte abraço!

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