Viggo Brun nasceu em $13$ de outubro de $1885$ em Lier, Noruega e morreu em $15$ de agosto de 1978 em Drobak.
Em $1923$ tornou-se professor no Instituto Norueguês de Tecnologia e em $1946$ tornou-se professor na Universidade de Oslo, onde aposentou-se em $1955$, aos $70$ anos de idade.
Em $1915$ introduziu um novo método, baseado na versão de Legendre do Crivo de Eratóstenes, conhecido hoje como Crivo de Brun, que aborda problemas como a Conjectura de Goldbach e os Primos Gêmeos. Utilizou seu Crivo para provar que existem infinitos inteiros $n$, tal que $n$ e $n+2$ tem no máximo nove fatores primos ($9$-quase-primos) e que todo inteiro par grande é a soma de dois números $9$-quase-primos ($9$ ou menor).
Sobre os Números Primos Gêmeos, Brun mostrou que a soma dos recíprocos dos pares Primos Gêmeos convergem para um valor finito, atualmente denominado por Constante de Brun.
A Constante de Brun e a Série de Euler
Para entender a importância da Constante de Brun, é preciso compará-la ao trabalho de Leonhard Euler. Em 1737 Euler provou que a soma dos inversos de todos os números primos diverge:
$$\sum_{p\ \in \ \mathbb{P}}\ \frac{1}{p} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots = \infty
$$
Isso demonstrava que os primos são "abundantes" na sequência dos números naturais. No entanto, em 1919, Viggo Brun provou que, se considerarmos apenas os primos gêmeos (pares como 3 e 5, 11 e 13), a série converge para um valor finito, calculada através de uma série convergente, dada pela soma infinita:
$$B_2 = \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{p+2}\right)
$$
A Constante de Brun vale hoje aproximadamente $1,9021605824283$.
Esse resultado foi histórico porque provou que os primos gêmeos são "escassos" em comparação ao conjunto de primos, independentemente de serem infinitos ou não.
Abaixo segue uma lista dos $100$ primeiros números primos gêmeos:
3, 5, 7, 11, , 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, 59, 61, 71, 73, 101, 103,
107, 109, 137, 139, 149, 151, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 227, 229,
239, 241, 269, 271, 281, 283, 311, 313, 347, 349, 419, 421, 431, 433,
461, 463, 521, 523, 569, 571, 599, 601, 617, 619, 641, 643, 659, 661,
809, 811, 821, 823, 827, 829, 857, 859, 881, 883, 1019, 1021, 1031,
1033, 1049, 1051, 1061, 1063, 1091, 1093, 1151, 1153, 1229, 1231, 1277,
1279, 1289, 1291, 1301, 1303, 1319, 1321, 1427, 1429, 1451, 1453, 1481,
1483, 1487, 1489
Clique aqui para ver os $10.000$ primeiros números primos gêmeos.
Os Primos Gêmeos
A Constante de Brun é o "prêmio de consolação" da matemática moderna. A Conjectura dos Primos Gêmeos afirma que existem infinitos pares de primos com diferença 2, mas ela permanece sem solução.
O trabalho de Brun não resolve a conjectura, mas estabelece um limite superior para a "densidade" desses pares. Se a série divergisse (como a de Euler), saberíamos imediatamente que eles são infinitos. Como ela converge, o mistério permanece: a série pode ser finita porque os pares acabam em algum lugar, ou porque eles se tornam tão raros que a soma não consegue ultrapassar o valor de $\text{B}_2$.
O "Bug" do Pentium e a Constante de Brun
Um fato curioso e tecnológico que envolve esta constante ocorreu em 1994. O matemático Thomas Nicely estava tentando calcular o valor da Constante de Brun com maior precisão quando descobriu uma discrepância nos resultados.
Sua investigação revelou o famoso Bug do Pentium (FDIV bug), uma falha na unidade de ponto flutuante dos processadores da Intel da época. Esse episódio colocou a teoria dos números puros no centro de uma crise bilionária na indústria de hardware.
A Constante de Brun para Quadrupletos
Existe também a constante de Brun para quadrupletos de primos, pares do tipo $(p, p+2, p+6, p+8)$, como $\{5, 7, 11, 13\}$. Denotada por $\text{B}_4$, ela é a soma dos inversos desses grupos e converge muito mais rápido, com um valor aproximado de:
$$\text{B}_4 \approx 0,87058838
$$
A Constante de Brun é um lembrete de que, na matemática, mesmo quando não conseguimos responder se algo é infinito, podemos medir o "tamanho" desse infinito e descobrir falhas em supercomputadores no processo.
Referências:
- https://pt.wikipedia.org/wiki/Viggo_Brun
- https://mathworld.wolfram.com/BrunsConstant.html
- https://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Brun
- https://en.wikipedia.org/wiki/Pentium_FDIV_bug
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