Centro de Gravidade de Áreas Planas

A massa (m) de um corpo é a medida da quantidade de matéria nele existente; já o volume (V) é a medida do espaço por ele ocupado. Se a massa por unidade de volume for constante através de todo o corpo, este corpo é homogêneo ou tem massa específica constante.

Em Física é desejável considerar uma dada massa concentrada em um único ponto, denominado centro de gravidade. Se um corpo é homogêneo, esse ponto coincide com o centro geométrico. Por exemplo, o centro de gravidade de um círculo é o centro deste círculo. Isso é fácil de imaginar: posicione a ponta seca do compasso em uma folha de papel e descreva uma circunferência. Assim, o centro O onde foi posicionada a ponta seca do compasso é o centro de gravidade do círculo formado.

O centro de uma folha de papel retangular se encontra entre as duas faces, porém consideramos como existindo em uma das faces, na intersecção de suas diagonais. Assim, o centro de gravidade de uma folha de pequena espessura coincide com o centro geométrico da folha considerada como uma área plana.

O momento (M_L) de uma área plana em relação a um eixo L é o produto da área A pela distância de seu centro de gravidade ao eixo. O momento de uma área composta em relação a um eixo é a soma dos momentos das áreas componentes em relação ao eixo.

Para determinarmos o momento de uma área plana em relação a um eixo coordenado é útil fazer um esboço da área em questão. Assim podemos utilizar o conceito do retângulo elementar, que tem largura infinitesimal. Formamos, então, o produto da área do retângulo pela distância do seu centro de gravidade ao eixo. Em seguida, fazemos a soma para todos os retângulos, aplicando a integral definida.

Para uma área plana A, tendo seu centro de gravidade em e momentos denotados por M_x e M_y em relação aos eixos dos x e y serão dados por:

Exemplo 1: Para exemplificar e nos acostumar com o método, vamos determinar os momentos e as coordenadas do centro de gravidade da figura abaixo.

Com a geometria desta figura é simples, podemos dividi-las em vários retângulos, cujos centros de gravidade são denotados por: A, B. C e D.

Vejam que o retângulo superior (A) tem uma área A igual a 10 unidades de área (u.a.):

E o centro de gravidade será:

Vejam que a coordenada x é exatamente a metade do comprimento do retângulo e a coordenada y é a metade de sua altura. Mas para a altura, fazemos:

Para o retângulo (B), temos que:

Para o retângulo (C), temos que:

E para o retângulo (D), temos:

A área total da figura é:

Podemos agora calcular os momentos dos retângulos em relação ao eixo dos x, fazendo o produto entre a área e a distância ao eixo dos x:

Assim, o momento da área da figura em relação ao eixo dos x é a soma dos momentos dos retângulos individuais:

E analogamente, o momento da área da figura em relação ao eixo dos y é:

Logo, temos que:

Assim, o ponto de coordenadas igual a (67/34 ; 5) é o centro de gravidade da figura.

Exemplo 2: Achar os momentos em relação aos eixos coordenados da área plana limitada no 2º quadrante pela curva x = y² – 9.

Aqui vamos introduzir o conceito do retângulo elementar, que é um retângulo de largura infinitesimal. Considere o esboço do gráfico:

Observando o retângulo elementar da figura acima, podemos ver que sua área é igual a e seu centro de gravidade é dado por . Logo, seu momento em relação ao eixo dos x é . Então:

Da mesma forma podemos determinar o momento do retângulo elementar em relação ao eixo dos y, que é igual a . Então:

Exemplo 3: Achar o centro de gravidade da área limitada no primeiro quadrante pela parábola y = 4 – x ².

O centro de gravidade do retângulo elementar é (x ; 1/2y).

A área sob a curva no primeiro quadrante será dada pela soma dos retângulos elementares:

Os momentos M_x e M_y serão dados por:

e

Para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade, fazemos:

e

Logo, as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pela parábola no primeiro quadrante da curva são (3/4 ; 8/5).

Exemplo 4: Achar o centro de gravidade da área sob a curva y = 2sen (3x), desde x = 0 à x = π/3.

Fazendo uso do retângulo elementar, cujo centro de gravidade é igual a (x ; 1/2y), temos que:

Para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade, fazemos:

e

Logo, as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pela parábola no primeiro quadrante da curva são (π/6 ; π/4).

Referências:

[1] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr. – McGraw-Hill

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Veja mais:

O Cálculo Integral
Volume de uma Calota Esférica
Volume de um Segmento Esférico
Teste da Integral para Convergência de Séries

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