Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos em tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$\int \frac{1}{(x-a)(x-b)} \ dx = \frac{1}{a-b} \ln \left| \frac{x-a}{x-b} \right| + C
$$
Para $x\neq a$, $x\neq b$ e $a\neq b$.
A resolução é realizada utilizando o método de frações parciais. Seja a integral:
$$I = \int \frac{1}{(x-a)(x-b)} \ dx
$$
O integrando já se encontra na forma de fração própria e o denominador já está fatorado em fatores irredutíveis. Seguimos decompondo o integrando como uma soma de frações parciais:
$$\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}
$$
onde $A$ e $B$ são constantes que devemos determinar.
Efetuamos a soma das frações parciais
$$\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A(x-b) + B(x-a)}{(x-a)(x-b)}
$$
Para eliminarmos os denominadores, multiplicamos ambos os membros da igualdade por $(x-a)(x-b)$, obtendo:
$$1 = A(x-b)+B(x-a)
$$
Aplicamos a propriedade distributiva:
$$1 = Ax - Ab + Bx - Ba
$$
Agrupamos os termos semelhantes:
$$1 = (A+B)x - Ab - Ba
$$
Agora, vamos determinar os valores para as constantes $A$ e $B$ utilizando o Método Geral e o Método Abreviado.
Método Geral
Com o método geral, igualamos os coeficientes das potências semelhantes de , encontrando o sistema de equações:
$$\begin{equation*}
\left\{
\begin{matrix}
A&+&B&=&0\\
-Ab&-&Ba&=&1
\end{matrix}
\right.
\end{equation*}
$$
Da primeira equação, temos que:
$$A = -B
$$
Substituindo $A$ na segunda equação, temos:
$$-(-B)b - Ba = 1\\
\ \\
Bb - Ba = 1
\ \\
B(b-a) = 1
\ \\
B = \frac{1}{b-a}
$$
Como $A = -B$, então:
$$A = -\frac{1}{b-a} = \frac{1}{a-b}
$$
Assim, temos que:
$$A = \frac{1}{a-b} \quad \text{e} \quad B=\frac{1}{b-a}
$$
Método abreviado
Com o método abreviado, temos que determinar valores para $x$ que anulem os denominadores das frações:
$$\frac{A}{x-a} \quad \text{e} \quad \frac{B}{x-b}
$$
Os valores para $x$ que anulam os denominadores são $a$ e $b$, respectivamente.
Substituímos estes valores de $x$ na relação:
$$1 = A(x-b) + B(x-a)
$$
Para $x=a$, temos:
$$1 = A(a-b) + B(a-a)\\
\ \\
1 = A(a-b) + B(0)\\
\ \\
1 = A(a-b)\\
\\
A = \frac{1}{a-b}
$$
Para $x=b$, temos:
$$1 = A(b-b) + B(b-a)\\
\ \\
1 = A(0) + B(b-a)\\
\ \\
1 = B(b-a)
\ \\
B = \frac{1}{b-a}
$$
Assim, temos que:
$$A = \frac{1}{a-b} \quad \text{e} \quad B=\frac{1}{b-a}
$$
Agora que já obtivemos as constantes, vamos reescrever a integral original como uma soma de frações parciais:
$$I = \int \frac{1}{(x-a)(x-b)}\ dx
\ \\
I = \int \left( \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} \right)\ dx
\ \\
I = \int \left( \frac{\displaystyle \frac{1}{a-b}}{x-a} + \frac{\displaystyle \frac{1}{b-a}}{x-b} \right)\ dx
$$
Fatorando as constantes:
$$I = \frac{1}{a-b} \int \frac{1}{x-a}\ dx + \frac{1}{b-a} \int \frac{1}{x-b}\ dx
$$
Ambas as integrais podem ser resolvidas através do método de substituição. Para a primeira integral, fazemos $u=x-a$ e $du=dx$ e para a segunda integral, fazemos $v=x-b$ e $dv=dx$. Assim:
$$I = \frac{1}{a-b} \int \frac{1}{u}\ du + \frac{1}{b-a} \int \frac{1}{v}\ dv
\ \\
I = \frac{1}{a-b} \ln |u| + \frac{1}{b-a} \ln |v| + C
$$
Mas, $u=x-a$ e $v=x-b$, assim:
$$I = \frac{1}{a-b} \ln |x-a| + \frac{1}{b-a} \ln |x-b| + C
\ \\
I = \frac{1}{a-b} \Big( \ln|x-a| - \ln|x-b| \Big) + C
\ \\
I = \frac{1}{a-b} \ln \left| \frac{x-a}{x-b} \right| + C
$$
Exemplo 1:
Vamos encontrar a área sob a curva $\displaystyle f(x) = \frac{1}{(x-3)(x-7)}$, compreendida no intervalo de $x=0$ a $ x=5/2$.
Podemos esboçar a curva da seguinte forma:
Para calcularmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida. Fazemos:
$$A = \int_0^{5/2} \frac{1}{(x-3)(x-7)}\ dx
$$
Utilizamos o resultado obtido mais acima, onde:
$$\int \frac{1}{(x-a)(x-b)} \ dx = \frac{1}{a-b} \ln \left| \frac{x-a}{x-b} \right| + C
$$
Aplicamos os limites:
$$A = \left[ \frac{1}{3-7} \ln \left| \frac{x-3}{x-7} \right| \right]_0^{5/2}\\
\ \\
A = \left[ -\frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-3}{x-7} \right| \right]_0^{5/2}\\
\ \\
A = -\frac{1}{4} \ln \left( \frac{\frac{5}{2}-3}{\frac{5}{2}-7}\right) + \frac{1}{4} \ln \left(\frac{0-3}{0-7} \right)\\
\ \\
A = -\frac{1}{4} \ln \left( \frac{-1/2}{-9/2} \right) + \frac{1}{4} \ln \left(\frac{3}{7}\right)\\
\ \\
A = -\frac{1}{4} \ln \left(\frac{1}{9}\right) + \frac{1}{4} \ln \left(\frac{3}{7}\right)\\
\ \\
A = \frac{1}{4} \left( \ln \left(\frac{3}{7}\right) - \ln\left(\frac{1}{9}\right) \right)\\
\ \\
A = \frac{1}{4} \ln \left( \frac{3/7}{1/9} \right)\\
\ \\
A = \frac{1}{4} \ln \left( \frac{27}{7}\right)\\
\ \\
A \approx 0,33752\ u.a.
$$
Assim, a áre procurada vale aproximadamente 0,33752 unidades de área.
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