28/06/2025

Resolução da integral $\displaystyle \int \frac{1}{(x-a)(x-b)}dx$

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos em tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituiçãopor partespor frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.

Nesta postagem, vamos demonstrar que:

$$
\int \frac{1}{(x-a)(x-b)} \ dx = \frac{1}{a-b} \ln \left| \frac{x-a}{x-b} \right| + C
$$

Para $x\neq a$, $x\neq b$ e $a\neq b$.

A resolução é realizada utilizando o método de frações parciais. Seja a integral:

$$
I = \int \frac{1}{(x-a)(x-b)} \ dx
$$

O integrando já se encontra na forma de fração própria e o denominador já está fatorado em fatores irredutíveis. Seguimos decompondo o integrando como uma soma de frações parciais:

$$
\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}
$$

onde $A$ e $B$ são constantes que devemos determinar.

Efetuamos a soma das frações parciais

$$
\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A(x-b) + B(x-a)}{(x-a)(x-b)}
$$

Para eliminarmos os denominadores, multiplicamos ambos os membros da igualdade por $(x-a)(x-b)$, obtendo:

$$
1 = A(x-b)+B(x-a)
$$

Aplicamos a propriedade distributiva:

$$
1 = Ax - Ab + Bx - Ba
$$

Agrupamos os termos semelhantes:

$$
1 = (A+B)x - Ab - Ba
$$

Agora, vamos determinar os valores para as constantes $A$ e $B$ utilizando o Método Geral e o Método Abreviado.

Método Geral

Com o método geral, igualamos os coeficientes das potências semelhantes de , encontrando o sistema de equações:

$$
\begin{equation*}
\left\{
\begin{matrix}
A&+&B&=&0\\
-Ab&-&Ba&=&1
\end{matrix}
\right.
\end{equation*}
$$

Da primeira equação, temos que:

$$
A = -B
$$

Substituindo $A$ na segunda equação, temos:

$$
-(-B)b - Ba = 1\\
\ \\
Bb - Ba = 1
\ \\
B(b-a) = 1
\ \\
B = \frac{1}{b-a}
$$

Como $A = -B$, então:

$$
A = -\frac{1}{b-a} = \frac{1}{a-b}
$$

Assim, temos que:

$$
A = \frac{1}{a-b} \quad \text{e} \quad B=\frac{1}{b-a}
$$

Método abreviado

Com o método abreviado, temos que determinar valores para $x$ que anulem os denominadores das frações:

$$
\frac{A}{x-a} \quad \text{e} \quad \frac{B}{x-b}
$$

Os valores para $x$ que anulam os denominadores são $a$ e $b$, respectivamente.

Substituímos estes valores de $x$ na relação:

$$
1 = A(x-b) + B(x-a)
$$

Para $x=a$, temos:

$$
1 = A(a-b) + B(a-a)\\
\ \\
1 = A(a-b) + B(0)\\
\ \\
1 = A(a-b)\\
\\
A = \frac{1}{a-b}
$$

Para $x=b$, temos:

$$
1 = A(b-b) + B(b-a)\\
\ \\
1 = A(0) + B(b-a)\\
\ \\
1 = B(b-a)
\ \\
B = \frac{1}{b-a}
$$

Assim, temos que:

$$
A = \frac{1}{a-b} \quad \text{e} \quad B=\frac{1}{b-a}
$$

Agora que já obtivemos as constantes, vamos reescrever a integral original como uma soma de frações parciais:

$$
I = \int \frac{1}{(x-a)(x-b)}\ dx
\ \\
I = \int \left( \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} \right)\ dx
\ \\
I = \int \left( \frac{\displaystyle \frac{1}{a-b}}{x-a} + \frac{\displaystyle \frac{1}{b-a}}{x-b} \right)\ dx
$$

Fatorando as constantes:

$$
I = \frac{1}{a-b} \int \frac{1}{x-a}\ dx + \frac{1}{b-a} \int \frac{1}{x-b}\ dx
$$

Ambas as integrais podem ser resolvidas através do método de substituição. Para a primeira integral, fazemos $u=x-a$ e $du=dx$ e para a segunda integral, fazemos $v=x-b$ e $dv=dx$. Assim:

$$
I = \frac{1}{a-b} \int \frac{1}{u}\ du + \frac{1}{b-a} \int \frac{1}{v}\ dv
\ \\
I = \frac{1}{a-b} \ln |u| + \frac{1}{b-a} \ln |v| + C
$$

Mas, $u=x-a$ e $v=x-b$, assim:

$$
I = \frac{1}{a-b} \ln |x-a| + \frac{1}{b-a} \ln |x-b| + C
\ \\
I = \frac{1}{a-b} \Big( \ln|x-a| - \ln|x-b| \Big) + C
\ \\
I = \frac{1}{a-b} \ln \left| \frac{x-a}{x-b} \right| + C
$$

Exemplo 1:

Vamos encontrar a área sob a curva $\displaystyle f(x) = \frac{1}{(x-3)(x-7)}$, compreendida no intervalo de $x=0$ a $ x=5/2$.

Podemos esboçar a curva da seguinte forma:

Para calcularmos a área desejada, utilizamos o conceito de integral definida. Fazemos:

$$
A = \int_0^{5/2} \frac{1}{(x-3)(x-7)}\ dx
$$

Utilizamos o resultado obtido mais acima, onde:

$$
\int \frac{1}{(x-a)(x-b)} \ dx = \frac{1}{a-b} \ln \left| \frac{x-a}{x-b} \right| + C
$$

Aplicamos os limites:

$$
A = \left[ \frac{1}{3-7} \ln \left| \frac{x-3}{x-7} \right| \right]_0^{5/2}\\
\ \\
A = \left[ -\frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-3}{x-7} \right| \right]_0^{5/2}\\
\ \\
A = -\frac{1}{4} \ln \left( \frac{\frac{5}{2}-3}{\frac{5}{2}-7}\right) + \frac{1}{4} \ln \left(\frac{0-3}{0-7} \right)\\
\ \\
A = -\frac{1}{4} \ln \left( \frac{-1/2}{-9/2} \right) + \frac{1}{4} \ln \left(\frac{3}{7}\right)\\
\ \\
A = -\frac{1}{4} \ln \left(\frac{1}{9}\right) + \frac{1}{4} \ln \left(\frac{3}{7}\right)\\
\ \\
A = \frac{1}{4} \left( \ln \left(\frac{3}{7}\right) - \ln\left(\frac{1}{9}\right) \right)\\
\ \\
A = \frac{1}{4} \ln \left( \frac{3/7}{1/9} \right)\\
\ \\
A = \frac{1}{4} \ln \left( \frac{27}{7}\right)\\
\ \\
A \approx 0,33752\ u.a.
$$

Assim, a áre procurada vale aproximadamente 0,33752 unidades de área.


COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Resolução da integral $\displaystyle \int \frac{1}{(x-a)(x-b)}dx$. Publicado por Kleber Kilhian em 28/06/2025. URL: . Leia os Termos de uso.


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