28/04/2012

Método De Resolução Das Equações de Sebá (Parte 1 de 3)

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Este artigo foi enviado pelo professor Sebá envolvendo a resolução de equações dos tipos:

clip_image002

Por ser um estudo extenso, resolvi dividi-lo em três partes para que fique mais fácil a leitura.

As equações acima foram criadas e batizadas como Equações de Sebá, que elaborou dois teoremas e os batizou-os como Teoremas de Sebá. A seguir, veremos primeiro a demonstração para o primeiro dos dois teoremas. No segundo artigo da série, veremos o segundo teorema e na terceira parte, veremos a Equação de Sebá estendida e algumas aplicações no mercado financeiro.

Teorema de Sebá 1: A equação An + Bn = Cm admite soluções naturais para m e n primos entre si.

Demonstração:

Seja a equação:

clip_image002[4]

sendo a, b, c, n e m inteiros positivos. Multiplicando ambos os membros da equação (1) por:

clip_image002[6]

obtém-se:

clip_image002[8]

Substituindo o valor de da (1) em (2), obtém-se:

clip_image002[16]

ou

clip_image002[18]

Se escolhermos valores para a e b tal que ab ou ab, e substituirmos na (3), obtém-se valores inteiros positivos para A, B e C.

Método de Resolução da Equação de Sebá do Tipo An + Bn = Cm

Exemplo 1: Seja dividir um quadrado em dois cubos de várias maneiras diferentes. Seja a equação:

clip_image002[20]

Considere a equação:

clip_image002[22]

Multiplicando ambos os membros da equação acima por:

clip_image002[24]

temos:

clip_image002[26]

clip_image002[28]

clip_image002[30]

Comparando a equação (5) com a equação (4), devemos decompor m em potências de 3 e m + 1 em potências de 2. Isso só será possível se m e m + 1 forem, respectivamente, múltiplos de 3 e 2. Logo:

clip_image002[32]

Assim, a equação (5) fica:

clip_image002[34]

clip_image002[36]

Logo, as soluções da equação dada são obtidas fazendo:

clip_image002[38]

clip_image002[40]

clip_image002[42]

clip_image002[44]

Por exemplo, se a = 1 e b = 3, temos que:

clip_image002[46]

clip_image002[48]

clip_image002[50]

Verificação:

clip_image002[52]

clip_image002[54]

clip_image002[56]

clip_image002[58]

clip_image002[60]

clip_image002[62]

clip_image002[64]

clip_image002[66]

Vejamos algumas ternas geradas a partir da Equação de Sebá:

imageObservem que, se k = 1, os valores de C2 aumentam muito quando variamos os valores de a e b; e que aumentam vertiginosamente quando k = 2.

Exemplo 2: Seja dividir uma biquadrada em maneiras diferentes.

De forma análoga ao exemplo anterior, para a equação:

clip_image002[68]

Consideremos a equação:

clip_image002[70]

Multiplicando ambos os membros da equação acima por:

clip_image002[72]

temos:

clip_image002[74]

clip_image002[76]

clip_image002[80]

Comparando a equação (7) com a equação (6), devemos decompor m em potências de 3 e m + 1 em potências de 4. Isso só é possível se m e m + 1, respectivamente, forem múltiplos de 3 e 4. Logo:

clip_image002[82]

Assim, a equação (7) fica:

clip_image002[84]

clip_image002[86]

Logo, as soluções da equação dada são obtidas fazendo:

clip_image002[88]

clip_image002[90]

clip_image002[92]

Verificação:

clip_image002[94]

clip_image002[96]

clip_image002[98]

clip_image002[100]

clip_image002[102]

clip_image002[104]

clip_image002[106]

Vejamos algumas ternas geradas a partir da Equação de Sebá:

image

Assim como ocorre para uma equação quadrada como soma de dois cubos, esta, uma biquadrada como soma de dois cubos, os valores crescem rapidamente.

Nos próximo artigo veremos a resolução das equações de Sebá do tipo:

clip_image002[108]

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB, além de colaborador deste blog. Foram feitas algumas alterações do manuscrito original para melhor exposição.


Veja mais:

Método de Sebá para Resolução de Alguns Casos Particulares de Equações Diofantinas Lineares
Critérios de Divisibilidade por Qualquer Número Primo Maior que 11
O Problema da Doação dos Terrenos e os Ternos Pitagóricos
Deserto Entre Números Primos

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3 comentários:

  1. Oi, Kleber!

    Interessante a resolução desta equação diofantina. São estes tipos de elocubrações que Fermat se empenhava na época.

    As equações de Sebá são importantes também na medida em que se compreende a grande dificuldade que é de se demonstrar o UTF, tendo em vista que, se n=m, os números não são primos entre si.

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  2. Oi, Kleber!

    Exclui o comentário anterior porque errei no LATEX.

    Olha só o que o Paulinho da Matemática ( que conheci no face ) me mostrou.

    Desde que o [;UTF;] foi efetivamente demonstrado por Willes, ele pode ser usado para demonstrar muita coisa, por exemplo,
    a irracionalidade da raíz enésima de [;2;]. Veja:

    RAÍZ ENÉSIMA DE [;2=\frac{a}{b};], com [;a;] e [;b;] inteiros positivos.

    Elevando ambos os membros à [;n;], temos

    [;2=\frac{a^n}{b^n}\Rightarrow 2b^n=a^n \Rightarrow b^n+b^n=a^n;], o que não é possível pelo [;UTF;]

    Legal, né.

    Valeu.

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  3. Realmente muito legal e muito simples! O Matemático é um ser muito interessante mesmo, consegue fazer coisas incríveis com os números! Então, tudo que conseguirmos reduzir a uma igualdade do tipo $A^n+B^n=C^n$ $\forall n> 2$, podemos concluir sua impossibilidade. Incrível a simplicidade. Acho que este tipo de pensamento combina muito com as coisas que você anda fazendo em seu blog, não?

    Obrigado por compartilhar. Abraços!

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