Demonstração da derivada do produto entre 3 funções

A regra do produto permite a diferenciação de produtos de funções diferenciáveis.

Já vimos uma demonstração para derivada da função produto entre duas funções. Esta regra pode ser ampliada para o produto entre mais funções. Neste artigo, veremos como proceder para encontrarmos a derivada de um produto entre três funções.

Se $f(x)=u\ v\ w$, como será sua derivada $f'(x)$?

Para esta demonstração, vamos partir do conceito da derivada entre o produto de duas funções. Temos que:

\begin{equation*}
f (x) = u\ v \Rightarrow
f´(x) = u´\ v + u\ v´
\end{equation*}

Se queremos a derivada de $f(x)=(uvw)$ podemos aplicar o conceito de derivada do produto repetidamente. Isso vale para o produto entre $3$ ou mais funções. Fazemos uma pequena alteração na forma de escrever a função:

\begin{equation*}
f (x) = [ ( u\ v ) w ]
\end{equation*}

Então a derivada será:

\begin{equation*}
[( u\ v ) w]´= ( u\ v )´w + ( u\ v ) w´
\end{equation*}

Agora, derivamos o que está entre parênteses:

\begin{equation*}
[( u\ v ) w]´= ( u´\ v + u\ v´) w + ( u\ v ) w´
\end{equation*}
E aplicamos a distributiva:
\begin{equation*}
[( u\ v ) w]´= u´\ v\ w + u\ v´\ w + u\ v\ w´
\end{equation*}
Assim, se:
\begin{equation*}
f (x) = \color{blue}{u}\ \color{orange}{v}\ \color{green}{w} \\
\ \\
f´(x) = \color{blue}{u´}\ \color{orange}{v}\ \color{green}{w} + \color{blue}{u}\ \color{orange}{v´}\ \color{green}{w} + \color{blue}{u}\ \color{orange}{v}\ \color{green}{w´}
\end{equation*}

Links para este artigo:

• http://bit.ly/derivada-produto-tres-funcoes
• https://www.obaricentrodamente.com/2009/09/derivada-do-produto-entre-tres-funcoes.html

Veja mais:

• Derivada da Função Produto
• Derivada da Função Quociente
• Derivada da Função Exponencial