12/09/2009

Demonstração da derivada do produto entre 3 funções

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Já vimos uma demonstração para derivada da função produto entre duas funções. Esta regra pode ser ampliada para o produto entre mais funções. Neste artigo, veremos como proceder para encontrarmos a derivada de um produto entre três funções.

Se $f(x)=u\ v\ w$, como será sua derivada $f'(x)$?

Para esta demonstração, vamos partir do conceito da derivada entre o produto de duas funções. Temos que:
\begin{equation*}
f (x) = u\ v \Rightarrow
f´(x) = u^\prime\ v + u\ v^\prime
\end{equation*}
Se queremos a derivada de $f(x)=(uvw)$ podemos aplicar o conceito de derivada do produto repetidamente. Isso vale para o produto entre $3$ ou mais funções. Fazemos uma pequena alteração na forma de escrever a função:
\begin{equation*}
f (x) = [ ( u\ v ) w ]
\end{equation*}
Então a derivada será:
\begin{equation*}
[( u\ v ) w]^\prime= ( u\ v )^\prime + ( u\ v ) w^\prime
\end{equation*}
Agora, derivamos o que está entre parênteses:
\begin{equation*}
[( u\ v ) w]^\prime= ( u^\prime\ v + u\ v^\prime) w + ( u\ v ) w^\prime
\end{equation*}
E aplicamos a distributiva:
\begin{equation*}
[( u\ v ) w]^\prime= u^\prime\ v\ w + u\ v^\prime\ w + u\ v\ w^\prime
\end{equation*}
Assim, se:
\begin{equation*}
\Large{f (x) = \color{blue}{u}\ \color{red}{v}\ \color{green}{w}} \\
\ \\
\Large{f^\prime(x) = \color{blue}{u^\prime}\ \color{red}{v}\ \color{green}{w} + \color{blue}{u}\ \color{red}{v^\prime}\ \color{green}{w} + \color{blue}{u}\ \color{red}{v}\ \color{green}{w^\prime}}
\end{equation*}

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Demonstração da derivada do produto entre 3 funções. Publicado por Kleber Kilhian em 12/09/2009. URL: . Leia os Termos de uso.


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10 comentários:

  1. Muuuito bom!! Salvando o meu dia.

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  2. Anônimo5/5/13 12:17

    UUHUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU. VALEU ^^

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  3. nooossa, shooowwwww... tá de parabéns....

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  4. Muito bom, essa regra deve poder ser ampliada para produto de mais fatores, excelente!

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  5. Anônimo8/6/14 10:56

    muuuuuito obrigada! minha salvação

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  6. Como verificar [f(x)g(x)h(x)]'= f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)?

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    Respostas
    1. É o que foi mostrado acima. Só que ao invés de se usar $f(x), g(x)$ e $h(x)$, foi utilizado a notação $u, v$ e $w$

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  7. obrigadissima!!!!

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  8. Poxa, muito boa a explicação mesmo!

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