04/11/2011

Teorema da Bissetriz Interna

A bissetriz é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas concorrentes e, por consequência, divide um ângulo em dois ângulos congruentes. A bissetriz pode ser interna - que é a bissetriz do ângulo, ou externa, que é a bissetriz do ângulo formado por uma semirreta que compões o ângulo e pela semirreta oposta à outra, ou seja, é a bissetriz do ângulo suplementar.

O teorema da bissetriz interna é um importante teorema da geometria plana, onde conseguimos determinar segmentos proporcionais em um triângulo. 

Teorema da bissetriz interna

Teorema:

Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos aditivos proporcionais aos lados adjacentes. Em outras palavras, temos:
\begin{equation*}
\frac{x}{c} = \frac{y}{b}
\end{equation*}
O lado $BC$ é dividido em dois segmentos aditivos, pois $DB + DC = BC$ e consequentemente $x + y = a$. 

Por hipótese temos que a bissetriz interna do triângulo $ABC$ nos fornece uma relação de proporcionalidade:
\begin{equation*}
\frac{x}{c} = \frac{y}{b}
\end{equation*}

Demonstração:

Conduzindo por $C$ um segmento paralelo à bissetriz, determinamos um ponto $E$ na interceptação com o prolongamento do lado $BA$.

Teorema da bissetriz interna


Sejam os ângulos $\alpha = B\hat{A}D$, $\beta = D\hat{A}C$, $\gamma = A\hat{E}C$ e $\delta = A\hat{C}E$.

Como os segmentos $CE$ e $AD$ são paralelos, temos que os ângulos $\alpha$ e $\gamma$ são congruentes por serem correspondentes e os ângulos $\beta$ e $\delta$ são congruente por serem alternos internos: 
\begin{equation*}
\alpha \equiv \gamma \quad \text{e} \quad \beta \equiv \delta
\end{equation*}
Desta forma, o triângulo $ACE$ é isósceles cuja base é o segmento $CE$. Assim: 
\begin{equation*}
AE \equiv AC = b
\end{equation*}
Considerando as retas que passam por $BC$ e $BE$ como retas transversais de um feixe de retas paralelas, aplicamos o Teorema de Tales, obtendo: 
\begin{equation*}
\frac{x}{y} = \frac{c}{b}
\end{equation*}
ou seja:
\begin{equation*}
\frac{x}{c} = \frac{y}{b}
\end{equation*}

Exercício 1:

Determinar a medida do lado $AC do triângulo:
Exercício 1 sobre o Teorema da bissetriz interna

Aplicando o teorema, temos que:
\begin{equation*}
\frac{12}{24} = \frac{18}{AC}\\
\ \\
12\ AC = 432\\
\ \\
AC = 36
\end{equation*}
A medida procurada é $AC = 36$ unidades de comprimento.

Exemplo 2:

Encontrar o valor de $x$ e as medidas dos lados $AB$ e $AC$.
Exercício 2 sobre o Teorema da bissetriz interna

Aplicando o teorema, temos que:
\begin{equation*}
\frac{8}{3x} = \frac{10}{4x-3}\\
\ \\
32x - 24 = 30x\\
\ \\
2x = 24\\
\ \\
x = 12
\end{equation*}
O valor procurado é $x = 12$ unidades de comprimento.

Assim, o lado $AC = 3 \times 12 = 36\ u.c.$ e o lado $AC = 4 \times 12 - 3 = 45\ u.c.$

Links para este artigo:




Referências:


  • Fundamentos de Matemática Elementar V9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce e Nicolau Pompeo
  • Elementos de Geometria e Desenho Geométrico V1 – Putnoki
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15 comentários:

  1. Olá, kleber!

    Mais uma pérola matemática! Essa é... simplesinha mas... bonitinha, KKKKKKKKK! Não acredito que alguém deixe de entender a demonstração desse teorema, diante como tão bem você o fez. Meus parabéns, parceiro!

    Um abraço!!!!!

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  2. Um teorema muito interessante da Geometria Plana explicado em detalhes. Parabéns pelo post e obrigado pelo link.

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  3. Realmente é um Teorema importante e relativamente simples de demonstrar.
    Obrigado pelos comentários e um abraço a todos.

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  4. Oi Isadora,
    Obrigado pela visita.
    Um abraço!

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  5. Tem uma outra demonstração bastante simples e que usa uma ideia também muito simples: se dois triângulos tem a mesma altura, a razão entre as suas áreas será igual à razão entre suas bases.
    De fato, se dois triângulos tem a mesma altura $h$ e bases $b_1$ e $b_2$, a razão entre suas áreas será
    $\dfrac{b_1h/2}{b_2h/2}=\dfrac{b_1}{b_2}$
    Usando a primeira figura, considere que $P_1$ e $P_2$ são respectivamente os pés das alturas dos triângulos $ABD$ e $ACD$ traçadas a partir de $D$. Como $D$ pertence à bissetriz, sabemos que $P_1D=P_2D=h$, então a razão entre as áreas dos triângulos $ABD$ e $ACD$ será
    $\dfrac{ch/2}{bh/2}=\dfrac{c}{b}=k$
    Esses triângulos tem a mesma altura em relação às bases $BD$ e $DC$. Aplicando a mesma ideia, concluímos que a razão $k$ entre as área é igual à $BD/DC=x/y$, logo:
    $k=\dfrac{c}{b}=\dfrac{x}{y}$

    $\Longrightarrow\dfrac{c}{b}=\dfrac{x}{y}$

    $\Longrightarrow\dfrac{x}{c}=\dfrac{y}{b}$

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  6. Bem interessante e simples também, envolvendo as áreas dos triângulos. Obrigado pelo comentário.

    Um abraço.

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  7. mas como de fato calculo o lado AD, que é a bissetriz interna? Tem alguma formula? Obrigado

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  8. Olá. Veja que este Teorema traz uma relação entre o segmento da bissetriz interna de um triângulo e os lados deste triângulo. Desta forma, sendo AD a bissetriz do ângulo A, o ponto D divide o segmento BC proporcionalmente aos lados AB e AC. Veja um exemplo de problema neste link:

    http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/teorema-bissetriz-interna.htm

    Abraços.

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  9. ajudou bastante, Brigado

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  10. Não entendi muito bem isso!

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  11. Muito obrigada!!! Ajudou bastante!

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  12. Muito bom!!!! Valeu pelo post!

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  13. Não podemos afirmar que o triangulo aec é isósceles, pois senão estaremos utilizando-se da hipótese que queremos demonstrar. Erro básico de demonstração.

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  14. Ele não afirma, ele prova, mostrando que os ângulos são iguais. Demonstração bem certinha, parabéns! Está faltando muito esse tipo de coisa pros nossos professores de colégio.

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