Teorema da Bissetriz Interna

A bissetriz é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas concorrentes e, por consequência, divide um ângulo em dois ângulos congruentes. A bissetriz pode ser interna - que é a bissetriz do ângulo, ou externa, que é a bissetriz do ângulo formado por uma semirreta que compões o ângulo e pela semirreta oposta à outra, ou seja, é a bissetriz do ângulo suplementar.

O teorema da bissetriz interna é um importante teorema da geometria plana, onde conseguimos determinar segmentos proporcionais em um triângulo. 

Teorema:

Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos aditivos proporcionais aos lados adjacentes. Em outras palavras, temos:

\begin{equation*}
\frac{x}{c} = \frac{y}{b}
\end{equation*}

O lado $BC$ é dividido em dois segmentos aditivos, pois $DB + DC = BC$ e consequentemente $x + y = a$. 

Por hipótese temos que a bissetriz interna do triângulo $ABC$ nos fornece uma relação de proporcionalidade:

\begin{equation*}
\frac{x}{c} = \frac{y}{b}
\end{equation*}

Demonstração:

Conduzindo por $C$ um segmento paralelo à bissetriz, determinamos um ponto $E$ na interceptação com o prolongamento do lado $BA$.

Sejam os ângulos $\alpha = B\hat{A}D$, $\beta = D\hat{A}C$, $\gamma = A\hat{E}C$ e $\delta = A\hat{C}E$.

Como os segmentos $CE$ e $AD$ são paralelos, temos que os ângulos $\alpha$ e $\gamma$ são congruentes por serem correspondentes e os ângulos $\beta$ e $\delta$ são congruente por serem alternos internos: 

\begin{equation*}
\alpha \equiv \gamma \quad \text{e} \quad \beta \equiv \delta
\end{equation*}

Desta forma, o triângulo $ACE$ é isósceles cuja base é o segmento $CE$. Assim: 

\begin{equation*}
AE \equiv AC = b
\end{equation*}

Considerando as retas que passam por $BC$ e $BE$ como retas transversais de um feixe de retas paralelas, aplicamos o Teorema de Tales, obtendo: 

\begin{equation*}
\frac{x}{y} = \frac{c}{b}
\end{equation*}

ou seja:

\begin{equation*}
\frac{x}{c} = \frac{y}{b}
\end{equation*}

Exercício 1:

Determinar a medida do lado $AC do triângulo:

Aplicando o teorema, temos que:

\begin{equation*}
\frac{12}{24} = \frac{18}{AC}\\
\ \\
12\ AC = 432\\
\ \\
AC = 36
\end{equation*}

A medida procurada é $AC = 36$ unidades de comprimento.

Exemplo 2:

Encontrar o valor de $x$ e as medidas dos lados $AB$ e $AC$.

Aplicando o teorema, temos que:

\begin{equation*}
\frac{8}{3x} = \frac{10}{4x-3}\\
\ \\
32x - 24 = 30x\\
\ \\
2x = 24\\
\ \\
x = 12
\end{equation*}

O valor procurado é $x = 12$ unidades de comprimento.

Assim, o lado $AC = 3 \times 12 = 36\ u.c.$ e o lado $AC = 4 \times 12 - 3 = 45\ u.c.$

Links para este artigo:

• http://bit.ly/bi-int
• https://www.obaricentrodamente.com/2011/11/teorema-da-bissetriz-interna.html

Referências:

• Fundamentos de Matemática Elementar V9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce e Nicolau Pompeo
• Elementos de Geometria e Desenho Geométrico V1 – Putnoki

Veja mais:

• Teorema da Base Média de um Triângulo
• Pontos Notáveis de um Triângulo
• Equação das bissetrizes dos ângulos formados por duas retas concorrentes

Softwares utilizados:

Inkscape, Corel Draw