Número de Regiões de um Plano Determinado por um Número de Retas

Neste post, vamos estudar um teorema interessante da Geometria Plana onde um número de retas passando por um plano, determinam regiões distintas.

Teorema 1: O número máximo L_N de regiões de um plano definidas por N retas é dado por:

Posição Geral de Retas

Definição 1: Dizemos que um conjunto de N retas de um plano estão em posição geral se não existirem retas paralelas e se não houverem três retas concorrendo num mesmo ponto.

Desta forma, podemos ter:

Agora, vamos supor que a fórmula dada no teorema 1 é válida para todo N. Desta forma, um plano sem retas teria N = 0:

Se adicionarmos uma nova reta em posição geral num plano, fica fácil observar que o plano será seccionado em duas partes:

Adicionando uma nova reta em posição geral, obtemos:

E para o caso de três retas:

Para N = 1, 2, 3, 4, ..., N gera a sequência (A000124):

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, 407, 436, 466, 497, 529, 562, 596, 631, 667, 704, 742, 781, 821, 862, 904, 947, 991, 1036, 1082, 1129, 1177, 1226, 1276, 1327, 1379, ...

Já para o caso de N + 1 retas em posição geral, temos:

Demonstração:

Por hipótese, temos que para todo N é válida a relação:

O que queremos demonstrar é que se a relação é válida para N retas também será válida para N + 1 retas.

Considere um conjunto R de N retas em posição geral num plano dado. Se adicionarmos uma nova reta, denominada por r, teremos um conjunto R' contendo N + 1 retas.

Mediante a isso, obtemos duas propriedades interessantes:

Propriedade 1: Uma reta r em posição geral num plano intersecta outras N retas de um conjunto R de retas em N pontos distintos.

 Propriedade 2: Uma reta r em posição geral num plano que obedece à propriedade 1, intersecta N + 1 regiões deste plano, dividindo cada uma delas em duas partes.

Desta forma, se considerarmos a relação (1) e o fato de que uma reta r divide as N +1 regiões do plano que conte o conjunto R de N retas em duas partes, o conjunto R' de N + 1 retas deverá conter N +1 regiões:

Substituímos a relação (1) em (2):

Comprovando que o teorema é válido também para N + 1 retas.

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Veja mais:

Teorema do Ângulo Inscrito
Teorema de Pitágoras Segundo Euclides
Reta Tangente a uma Curva
A Fórmula de Pick e a Aproximação de PI

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