Nesta postagem veremos como construir a bissetriz de um ângulo dado utilizando apenas régua e compasso e também como obter a equação das bissetrizes dos ângulos formado por duas retas concorrentes fazendo uso da Geometria Analítica.
[Figura 1]
Primeiramente, vamos considerar um ângulo $A\hat{V} B$. É verdade que existe um ponto interno que é equidistante aos lados deste ângulo. Na verdade, existem infinitos pontos.
[Figura 2]
A reunião desses infinitos pontos, sendo esses equidistantes aos lados do ângulo, geram uma semirreta notável denominada bissetriz, dividindo o ângulo $A \hat{V} B$ em dois ângulos iguais.
Ampliando esta ideia, vamos considerar as retas $r$ e $s$ concorrentes no ponto $V$. Ao invés de um ângulo, teremos quatro ângulos e para cada um deles teremos pontos equidistantes aos respectivos lados e a reunião desses pontos constitui as bissetrizes dos ângulos. Essas bissetrizes formam duas novas retas $b_1$ e $b_2$, perpendiculares entre si.
[Figura 3]
Definição: O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes $r$ e $s$, constitui um par de retas perpendiculares, as quais contém as bissetrizes dos ângulos determinados pelas retas $r$ e $s$.
Construção Geométrica
Seja dado um ângulo arbitrário de vértice $V$. Para construirmos a bissetriz do ângulo, procedemos como se segue.
$1)$ Descreva um arco de circunferência de raio $r$ centrado em $V$, interceptando os lados do ângulo nos pontos $A$ e $B$;
$2)$ Com centro em $A$, e depois em $B$, descreva dois arcos de circunferência de mesmo raio que se interceptam num ponto $P$;
[Figura 4]
Equação das Bissetrizes
Sejam duas retas concorrentes definidas como $r: a_1x+b_1y+c_1=0$ e $s:a_2x+b_2y+c_2=0$, que se interceptam em um ponto $V$. Se $P(x,y)$ é um ponto genérico de uma bissetriz, sendo $P\neq V$, então $P$ equidista das retas $r$ e $s$.
\begin{equation}d_{Pr}=d_{Ps}
\end{equation}
Já vimos que a fórmula da distância de um ponto a uma reta é dada por:
\begin{equation}d_{PP'}=\frac{\mid ax + by +c \mid}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{equation}
Assim temos que:
\begin{equation}
\left\{
\begin{matrix}
d_{Pr}=\frac{\mid a_1x+b_1y+c_1=0\mid}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}\\
d_{Ps}=\frac{\mid a_2x+b_2y+c_2=0\mid}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\end{matrix}
\right.
\end{equation}
E pela equação dada em $(1)$:
\begin{equation}
\frac{\mid a_1x+b_1y+c_1=0\mid}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\frac{\mid a_2x+b_2y+c_2=0\mid}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}
\end{equation}
Os denominadores não podem ser negativos, de modo que se existir alguma razão negativa será devido ao módulo nos numeradores. Se temos $\mid x\mid=\mid y\mid$, então $x=\pm y$. logo, podemos reescrever a equação $(4)$ como:
\begin{equation}\frac{ a_1x+b_1y+c_1=0}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2x+b_2y+c_2=0}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}
\end{equation}
Vejam que o sinal de $\pm$ na equação $(5)$ permite dois resultados distintos, o que remete a duas bissetrizes. Isso é perfeitamente explicável pelo fato de que, dadas as retas concorrentes $r$ e $s$, estas formarão dois pares de ângulos opostos pelo vértice e para cada par de ângulos, teremos uma bissetriz.
[Figura 5]
Uma propriedade importante das bissetrizes dos ângulos formados por duas retas concorrentes é que sempre serão perpendiculares entre si. Esta é a condição de existência das bissetrizes.
Sejam duas retas concorrentes $r$ e $s$ não perpendiculares entre si. Sejam $2 \alpha$ o ângulo agudo entre as retas $r$ e $s$ e seja $2 \beta$ o ângulo obtuso dado por $2\beta = 180°-2\alpha$.
[Figura 6]
Queremos provar que $\alpha + \beta = 90°$. Vejam que $2 \beta=180°-2\alpha$ e $\displaystyle \beta = \frac{1}{2}(180°-2\alpha)$. Assim:
\begin{equation}\alpha+\beta=\alpha+\frac{1}{2}(180°-2\alpha)=\alpha+90°-\alpha=90°
\end{equation}
Outra forma de demonstrar a perpendicularidade entre as bissetrizes é que, considerando a imagem acima, temos a relação:
\begin{equation}\begin{matrix}
4\alpha + 4\beta=360°\\
4(\alpha+\beta)=360°\\
\alpha + \beta=90°
\end{matrix}
\end{equation}
Exemplo $1$: Sejam as retas $r:3x+2y-7=0$ e $s:2x-3y+1=0$. Determinar as equações de suas bissetrizes.
Aplicando a fórmula das bissetrizes dada em $(5)$, temos:
$$\frac{ a_1x+b_1y+c_1=0}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2x+b_2y+c_2=0}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$
$$\frac{ 3x+2y-7=0}{\sqrt{3^2+2^2}}=\pm \frac{2x-3y+1=0}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}$$
$$\frac{ 3x+2y-7=0}{\sqrt{13}}=\pm \frac{2x-3y+1=0}{\sqrt{13}}$$
$$3x+2y-7=\pm 2x-3y+1$$
$$b_1: 3x+2y-7=2x-3y+1 \Rightarrow x+5y-8=0$$
$$b_2: 3x+2y-7=-2x+3y-1 \Rightarrow 5x-y-6=0$$
Pelo teorema das retas perpendiculares, duas retas serão perpendiculares entre si se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso da outra:
$$m_1\cdot m_2=-1$$Os coeficientes angulares de $b_1$ e $b_2$ são dados respectivamente por:
$$m_1=-\frac{a_1}{b_1} \qquad \text{e} \qquad m_2=-\frac{a_2}{b_2}$$
Assim:
$$m_1\cdot m_2=-\frac{1}{5}\cdot 5=-1$$
Comprovando a perpendicularidade entre as bissetrizes.
Exemplo $2$: Sejam as retas $r: x-3y+5=0$ e $s: 6x-2y-3=0$. Obter as equações das bissetrizes.
Aplicando a fórmula das bissetrizes, obtemos:
$$\frac{ a_1x+b_1y+c_1=0}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_2x+b_2y+c_2=0}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$
$$\frac{ x-3y+5=0}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\pm \frac{6x-2y-3=0}{\sqrt{6^2+(-2)^2}}$$
$$\frac{x-3y+5=0}{\sqrt{10}}=\pm \frac{6x-2y-3=0}{2\sqrt{10}}$$
$$\frac{2(x-3y+5=0)}{\sqrt{10}}=\pm \frac{6x-2y-3=0}{\sqrt{10}}$$
$$2x-6y+10=\pm 6x-2y-3$$
$$b_1: 2x-6y+10=6x-2y-3 \Rightarrow 4x+4y-13=0$$
$$b_2: 2x-6y+10=-6x+2y+3 \Rightarrow 8x-8y+7=0$$
Para comprovar a perpendicularidade entre as bissetrizes, fazemos:
$$m_1=-\frac{a_1}{b_1}=-\frac{4}{4}=-1 \qquad \text{e} \qquad m_2=-\frac{a_2}{b_2}=\frac{8}{8}=1$$
Assim:
$$m_1\cdot m_2=-1 \cdot 1=-1$$
Veja mais:
Distância de um Ponto a uma Reta
Distância entre Dois Pontos no Plano
Teorema da Bissetriz Interna
Teorema da Bissetriz Interna Através da Leis dos Senos no blog Fatos Matemáticos

muito bom mesmo, valeu por compartilharem seu conhecimento.
ResponderExcluirGostei muito deste post. Obrigado e abraços! Até mais.
ResponderExcluirO post está muito bom, parabéns. Só tem que consertar as partes em que as equações estão com = 0 nos numeradores, como em (3), (4) e (5).
ResponderExcluirÓtima explicação! Pude entender muito bem o assunto, obrigado!
ResponderExcluircomo eu posso deduzir a formula das bissetrizes?
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