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16/07/2013

Equação das Bissetrizes dos Ângulos Formados por Duas Retas Concorrentes

Nesta postagem veremos como construir a bissetriz de um ângulo dado utilizando apenas régua e compasso e também como obter a equação das bissetrizes dos ângulos formado por duas retas concorrentes fazendo uso da Geometria Analítica.
[Figura 1]

Primeiramente, vamos considerar um ângulo AˆVB. É verdade que existe um ponto interno que é equidistante aos lados deste ângulo. Na verdade, existem infinitos pontos.
[Figura 2]

A reunião desses infinitos pontos, sendo esses equidistantes aos lados do ângulo, geram uma semirreta notável denominada bissetriz, dividindo o ângulo AˆVB em dois ângulos iguais.

Ampliando esta ideia, vamos considerar as retas r e s concorrentes no ponto V. Ao invés de um ângulo, teremos quatro ângulos e para cada um deles teremos pontos equidistantes aos respectivos lados e a reunião desses pontos constitui as bissetrizes dos ângulos. Essas bissetrizes formam duas novas retas b1 e b2, perpendiculares entre si.

[Figura 3]

Definição: O lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes r e s, constitui um par de retas perpendiculares, as quais contém as bissetrizes dos ângulos determinados pelas retas r e s.

Construção Geométrica

Seja dado um ângulo arbitrário de vértice V. Para construirmos a bissetriz do ângulo, procedemos como se segue.

1) Descreva um arco de circunferência de raio r centrado em V, interceptando os lados do ângulo nos pontos A e B;
2) Com centro em A, e depois em B, descreva dois arcos de circunferência de mesmo raio que se interceptam num ponto P;
3) A bissetriz é a semirreta de origem em V que passa pelo ponto P.

[Figura 4]

Equação das Bissetrizes

Sejam duas retas concorrentes definidas como r:a1x+b1y+c1=0 e s:a2x+b2y+c2=0, que se interceptam em um ponto V. Se P(x,y) é um ponto genérico de uma bissetriz, sendo PV, então P equidista das retas r e s.
dPr=dPs

Já vimos que a fórmula da distância de um ponto a uma reta é dada por:
dPP=ax+by+ca2+b2

Assim temos que:
{dPr=a1x+b1y+c1=0a21+b21dPs=a2x+b2y+c2=0a22+b22

E pela equação dada em (1):
a1x+b1y+c1=0a21+b21=a2x+b2y+c2=0a22+b22

Os denominadores não podem ser negativos, de modo que se existir alguma razão negativa será devido ao módulo nos numeradores. Se temos x∣=∣y, então x=±y. logo, podemos reescrever a equação (4) como:
a1x+b1y+c1=0a21+b21=±a2x+b2y+c2=0a22+b22

Vejam que o sinal de ± na equação (5) permite dois resultados distintos, o que remete a duas bissetrizes. Isso é perfeitamente explicável pelo fato de que, dadas as retas concorrentes r e s, estas formarão dois pares de ângulos opostos pelo vértice e para cada par de ângulos, teremos uma bissetriz.
[Figura 5]

Uma propriedade importante das bissetrizes dos ângulos formados por duas retas concorrentes é que sempre serão perpendiculares entre si. Esta é a condição de existência das bissetrizes.

Sejam duas retas concorrentes r e s não perpendiculares entre si. Sejam 2α o ângulo agudo entre as retas r e s e seja 2β o ângulo obtuso dado por 2β=180°2α.
[Figura 6]

Queremos provar que α+β=90°. Vejam que 2β=180°2α e β=12(180°2α). Assim:
α+β=α+12(180°2α)=α+90°α=90°

Outra forma de demonstrar a perpendicularidade entre as bissetrizes é que, considerando a imagem acima, temos a relação:
4α+4β=360°4(α+β)=360°α+β=90°


Exemplo 1: Sejam as retas r:3x+2y7=0 e s:2x3y+1=0. Determinar as equações de suas bissetrizes.

Aplicando a fórmula das bissetrizes dada em (5), temos:
a1x+b1y+c1=0a21+b21=±a2x+b2y+c2=0a22+b22

3x+2y7=032+22=±2x3y+1=022+(3)2

3x+2y7=013=±2x3y+1=013

3x+2y7=±2x3y+1

b1:3x+2y7=2x3y+1x+5y8=0

b2:3x+2y7=2x+3y15xy6=0

Pelo teorema das retas perpendiculares, duas retas serão perpendiculares entre si se o coeficiente angular de uma delas for igual ao oposto do inverso da outra:
m1m2=1

Os coeficientes angulares de b1 e b2 são dados respectivamente por:
m1=a1b1em2=a2b2

Assim:
m1m2=155=1

Comprovando a perpendicularidade entre as bissetrizes.

Exemplo 2: Sejam as retas r:x3y+5=0 e s:6x2y3=0. Obter as equações das bissetrizes.

Aplicando a fórmula das bissetrizes, obtemos:
a1x+b1y+c1=0a21+b21=±a2x+b2y+c2=0a22+b22

x3y+5=012+(3)2=±6x2y3=062+(2)2

x3y+5=010=±6x2y3=0210

2(x3y+5=0)10=±6x2y3=010
 
2x6y+10=±6x2y3

b1:2x6y+10=6x2y34x+4y13=0

b2:2x6y+10=6x+2y+38x8y+7=0

Para comprovar a perpendicularidade entre as bissetrizes, fazemos:
m1=a1b1=44=1em2=a2b2=88=1

Assim:
m1m2=11=1


Veja mais: 

Distância de um Ponto a uma Reta
Distância entre Dois Pontos no Plano
Teorema da Bissetriz Interna
Teorema da Bissetriz Interna Através da Leis dos Senos  no blog Fatos Matemáticos

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Equação das Bissetrizes dos Ângulos Formados por Duas Retas Concorrentes. Publicado por Kleber Kilhian em 16/07/2013. URL: . Leia os Termos de uso.


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5 comentários:

  1. muito bom mesmo, valeu por compartilharem seu conhecimento.

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  2. Anônimo3/2/15 00:19

    Gostei muito deste post. Obrigado e abraços! Até mais.

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  3. O post está muito bom, parabéns. Só tem que consertar as partes em que as equações estão com = 0 nos numeradores, como em (3), (4) e (5).

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  4. Ótima explicação! Pude entender muito bem o assunto, obrigado!

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  5. como eu posso deduzir a formula das bissetrizes?

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