A bissetriz interna de um triângulo retângulo é o segmento que divide um ângulo em dois ângulos congruentes, estendendo-se até o lado oposto. No caso de um triângulo retângulo, a bissetriz interna que parte do ângulo reto e segue até a hipotenusa pode ser calculada através de uma fórmula que depende apenas dos catetos:
$$x = \frac{b\ c \ \sqrt{2}}{b+c}
$$
onde: $x$ é o comprimento da bissetriz relativa à hipotenusa e $b$ e $c$ são os catetos do triângulo retângulo.
Demonstração:
Tomando o triângulo retângulo $ABC$, reto em $A$, a bissetriz interna segue de $A$ interceptando a hipotenusa em $D$. Assim:
$$x = \overline{AD}
$$
Traçamos um segmento paralelo ao cateto $b$, passando por $D$, interceptando p cateto $c$ em $E$. Assim:
$$y = \overline{DE}
$$
Temos que o triângulo $BAC$ e $BED$ são semelhantes. Então:
$$\frac{b}{y} = \frac{c}{c-y}\\
\ \\
cy = b(c-y)
$$
Obtendo:
$$cy = bc - by \tag{1}
$$
Do triângulo $AED$, temos:
$$x^2 = y^2 + y^2\\
\ \\
x^2 = 2y^2\\
\ \\
y^2 = \frac{x^2}{2}
$$
Obtendo:
$$y = \frac{x}{\sqrt{2}} \tag{2}
$$
Substituindo a relação $(2)$ em $(1)$, obtemos:
$$c \cdot \frac{x}{\sqrt{2}} = bc - b\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}\\
\ \\
\frac{cx}{\sqrt{2}} + \frac{bx}{\sqrt{2}} = bc\\
\ \\
\frac{cx + bx}{\sqrt{2}} = bc\\
\ \\
cx + bx = bc\ \sqrt{2}\\
\ \\
x(c+b) = bc\ \sqrt{2}\\
$$
Obtendo:
$$x = \frac{bc\ \sqrt{2}}{b+c}
$$
A fórmula acima fornece o comprimento da bissetriz interna relativa à hipotenusa de qualquer triângulo retângulo.
Exemplo 1:
Seja o triângulo retângulo de lados $(3,4,5)$. Vamos calcular o comprimento da bissetriz relativa À hipotenusa.
Aplicando os lados $b=3$ e $c=4$ na fórmula, obtemos:
$$x = \frac{bc\ \sqrt{2}}{b+c}\\
\ \\
x = \frac{3\cdot 4 \cdot \sqrt{2}}{3+4}\\
\ \\
x = \frac{12 \sqrt{12}}{7}\\
\ \\
x \approx 2,424
$$
Caso particular:
Um caso particular ocorre quando o triângulo retângulo é isósceles, transformando a fórmula para calcular a bissetriz relativa à hipotenusa em:
$$x = \frac{c\ \sqrt{2}}{2}
$$
onde, $c$ é a medida dos catetos.
Para deduzir esta fórmula, consideremos o triângulo retângulo isósceles abaixo:
Do triângulo $ABC$, temos:
$$a^2 = c^2+c^2
$$
Obtendo:
$$a^2 = 2c^2 \tag{3}
$$
Como o triângulo $ABC$ é isósceles por definição, logo, a bissetriz intercepta a hipotenusa em seu ponto médio $D$. Assim, tomando o triângulo $ACD$, temos:
$$c^2 = x^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2
$$
Obtendo:
$$c^2 = x^2 + \frac{a^2}{4} \tag{4}
$$
Substituindo $(3)$ em $(4)$, obtemos:
$$c^2 = x^2 + \frac{2c^2}{4}\\
\ \\
c^2 = x^2 + \frac{c^2}{2}\\
\ \\
x^2 = c^2 - \frac{c^2}{2}\\
\ \\
x^2 = \frac{c^2}{2}\\
\ \\
x = \frac{c}{\sqrt{2}}\\
\ \\
x = \frac{c\ \sqrt{2}}{2}
$$
Exemplo 2:
Seja o triângulo isósceles $ABC$ retângulo em $A$ e com catetos iguais a 2. Calcular o comprimento da bissetriz relativa à hipotenusa.
Aplicando a fórmula, temos:
$$x = \frac{c\ \sqrt{2}}{2}\\
\ \\
x = \frac{2\ \sqrt{2}}{2}\\
\ \\
x = \sqrt{2}
$$
Calculadora
Você pode utilizar a calculadora abaixo para calcular o comprimento da bissetriz relativa ao ângulo reto de um triângulo retângulo, inserindo as medidas dos catetos.
Calculadora de Bissetriz
Referências:
- Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce
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