Fórmula para calcular o comprimento da bissetriz relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo

A bissetriz interna de um triângulo retângulo é o segmento que divide um ângulo em dois ângulos congruentes, estendendo-se até o lado oposto. No caso de um triângulo retângulo, a bissetriz interna que parte do ângulo reto e segue até a hipotenusa pode ser calculada através de uma fórmula que depende apenas dos catetos:

$$x = \frac{b\ c \ \sqrt{2}}{b+c}$$

onde: $x$ é o comprimento da bissetriz relativa à hipotenusa e $b$ e $c$ são os catetos do triângulo retângulo.

Demonstração:

Tomando o triângulo retângulo $ABC$, reto em $A$, a bissetriz interna segue de $A$ interceptando a hipotenusa em $D$. Assim:

$$x = \overline{AD}$$

Traçamos um segmento paralelo ao cateto $b$, passando por $D$, interceptando p cateto $c$ em $E$. Assim:

$$y = \overline{DE}$$

Temos que o triângulo $BAC$ e $BED$ são semelhantes. Então:

$$\frac{b}{y} = \frac{c}{c-y}\\ \ \\ cy = b(c-y)$$

Obtendo:

$$cy = bc - by \tag{1}$$

Do triângulo $AED$, temos:

$$x^2 = y^2 + y^2\\ \ \\ x^2 = 2y^2\\ \ \\ y^2 = \frac{x^2}{2}$$

Obtendo:

$$y = \frac{x}{\sqrt{2}} \tag{2}$$

Substituindo a relação $(2)$ em $(1)$, obtemos:

$$c \cdot \frac{x}{\sqrt{2}} = bc - b\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}\\ \ \\ \frac{cx}{\sqrt{2}} + \frac{bx}{\sqrt{2}} = bc\\ \ \\ \frac{cx + bx}{\sqrt{2}} = bc\\ \ \\ cx + bx = bc\ \sqrt{2}\\ \ \\ x(c+b) = bc\ \sqrt{2}\\ $$

Obtendo:

$$x = \frac{bc\ \sqrt{2}}{b+c}$$

A fórmula acima fornece o comprimento da bissetriz interna relativa à hipotenusa de qualquer triângulo retângulo.

Exemplo 1:

Seja o triângulo retângulo de lados $(3,4,5)$. Vamos calcular o comprimento da bissetriz relativa À hipotenusa.

Aplicando os lados $b=3$ e $c=4$ na fórmula, obtemos:

$$x = \frac{bc\ \sqrt{2}}{b+c}\\ \ \\ x = \frac{3\cdot 4 \cdot \sqrt{2}}{3+4}\\ \ \\ x = \frac{12 \sqrt{12}}{7}\\ \ \\ x \approx 2,424$$

Caso particular:

Um caso particular ocorre quando o triângulo retângulo é isósceles, transformando a fórmula para calcular a bissetriz relativa à hipotenusa em:

$$x = \frac{c\ \sqrt{2}}{2}$$

onde, $c$ é a medida dos catetos.

Para deduzir esta fórmula, consideremos o triângulo retângulo isósceles abaixo:

Do triângulo $ABC$, temos:

$$a^2 = c^2+c^2$$

Obtendo:

$$a^2 = 2c^2 \tag{3}$$

Como o triângulo $ABC$ é isósceles por definição, logo, a bissetriz intercepta a hipotenusa em seu ponto médio $D$. Assim, tomando o triângulo $ACD$, temos:

$$c^2 = x^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2$$

Obtendo:

$$c^2 = x^2 + \frac{a^2}{4} \tag{4}$$

Substituindo $(3)$ em $(4)$, obtemos:

$$c^2 = x^2 + \frac{2c^2}{4}\\ \ \\ c^2 = x^2 + \frac{c^2}{2}\\ \ \\ x^2 = c^2 - \frac{c^2}{2}\\ \ \\ x^2 = \frac{c^2}{2}\\ \ \\ x = \frac{c}{\sqrt{2}}\\ \ \\ x = \frac{c\ \sqrt{2}}{2}$$

Exemplo 2:

Seja o triângulo isósceles $ABC$ retângulo em $A$ e com catetos iguais a 2. Calcular o comprimento da bissetriz relativa à hipotenusa.

Aplicando a fórmula, temos:

$$x = \frac{c\ \sqrt{2}}{2}\\ \ \\ x = \frac{2\ \sqrt{2}}{2}\\ \ \\ x = \sqrt{2}$$

Calculadora

Você pode utilizar a calculadora abaixo para calcular o comprimento da bissetriz relativa ao ângulo reto de um triângulo retângulo, inserindo as medidas dos catetos.

Calculadora de Bissetriz

Cateto b: Cateto c:

Criado por: O Baricentro da Mente

Referências:

• Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce

Veja mais:

• Teorema da bissetriz interna
• Pontos notáveis de um triângulo
• Equação das Bissetrizes dos Ângulos Formados por Duas Retas Concorrentes