A fórmula para o produtos dos $n$ primeiros termos de uma progressão geométrica (PG), pode ser obtida usando a definição de PG, combinando propriedades da potenciação e a fórmula para a somada de uma PA.
Podemos escrever os $n$ primeiros termos de uma PG de razão $q$ como:
$$a_1\ , \ a_1q \ , \ a_1q^2 \ , \ a_1q^3, \ \cdots \ , \ a_1q^{n-1}
$$
Queremos encontrar o produto desses $n$ termos:
$$P_n = a_1 \cdot a_1q \cdot a_1q^2 \cdot a_1q^3 \cdot \ldots \cdot a_1q^{n-1}
$$
Reescrevemos o produto $P_n$ como:
$$P_n = a_1^n \cdot q^{0+1+2+3+\cdots + (n-1)}
$$
Agora, precisamos somar os expoentes de $q$:
$$0+1+2+3+\cdots +(n-1)
$$
Essa soma é uma progressão aritmética (PA), onde o primeiro termo é $a_1=0$ e o último termo é $a_n=n-1$. Utilizando a fórmula para da soma dos $n$ primeiros termos de uma PA, temos:
$$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}
$$
Substituímos os termos $a_1=0$ e $a_n=n-1$, obtemos:
$$S_n = \frac{n\big(0+(n-1)\big)}{2}\\
\ \\
S_n = \frac{n(n-1)}{2}
$$
Assim, o expoente de $q$ é $\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}$. Substituímos de volta na expressão $P_n$, encontramos a fórmula para o produto dos $n$ primeiros termos de uma PG:
$$\Large P_n = a_1^n \cdot q^{ \frac{n(n-1)}{2}}
$$
Exemplo 1:
Dada uma PG com primeiro termo $a_1 = 2$ e razão $q=3$, vamos encontrar o produto dos 4 primeiros termos dessa PG.
Os 4 primeiros termos dessa PG é:
$a_1 = 2 $
$a_2 = 2 \cdot 3 = 6$
$a_3 = 2 \cdot 3^2 = 18$
$a_4 = 2 \cdot 3^3 = 54$
Assim, temos que:
- A razão $q=3$
- O primeiro termo $a_1=2$
- Número de termos $n=4$
Vamos usar a fórmula do produto dos primeiros $n$ termos de uma PG:
$$\large P_n = a_1^n \cdot q^{ \frac{n(n-1)}{2}}\\
\ \\
\large P_4 = 2^4 \cdot 3^{\frac{4(4-1)}{2}}\\
\ \\
\large P_4 = 16 \cdot 3^6 \\
\ \\
\large P_4 = 16 \cdot 729\\
\ \\
\large P_4 = 11.664
$$
Portanto, o produto dos 4 primeiros termos desta PG é 11.664.
Realmente:
$$2 \times 6 \times 18 \times 54 = 11.664
$$
Exemplo 2:
Dada a PG (2, 4, 8, 16, 32), vamos calcular o produtos dos 5 primeiros termos desta PG.
Podemos encontrar a razão $q$ desta PG, dividindo um termo pelo termo anterior:
$4 \div 2 = 2$
$8 \div 4 = 2$
$ 16 \div 8 = 2$
$32 \div 16 = 2$
Assim, temos que:
- A razão $q=2$
- O primeiro termo $a_1=2$
- Número de termos $n=5$
Substituindo os dados na fórmula do produto dos $n$ primeiros termos de uma PG, obtermos:
$$\large P_n = a_1^n \cdot q^{ \frac{n(n-1)}{2}}\\
\ \\
\large P_5 = 2^5 \cdot 2^{\frac{5(5-1)}{2}}\\
\ \\
\large P_5 = 32 \cdot 2^{10} \\
\ \\
\large P_5 = 32 \cdot 1024\\
\ \\
\large P_5 = 32.768
$$
Portanto, o produto dos 5 primeiros termos desta PG é 32.768.
Realmente:
$$2 \times 4 \times 8 \times 16 \times 32 = 32.768
$$
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