27/07/2024

Al-Karaji: sua contribuição para a aritmética, álgebra, teorema binomial e indução matemática

al-karaji-o-genio-que-revolucionou-a-algebra

Abu Bakr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji, comumente conhecido como al-Karaji ou al-Karagi, foi um matemático e engenheiro persa que viveu no século X. Nascido em Karaj, próximo a Teerã, no Irã, al-Karaji fez contribuições significativas à álgebra e à matemática em geral, deixando um legado que influenciou gerações de matemáticos subsequentes.

Al-Karaji escreveu sobre trabalhos de matemáticos anteriores e pode ser considerado a primeira pessoa a libertar a álgebra das operações geométricas e substituí-las pelo tipo de operações que estão no cerne da álgebra hoje.

Pouco se sabe sobre a vida pessoal de al-Karaji. Estima-se que tenha vivido entre 953 e 1029 d.C. Ele provavelmente se mudou para Bagdá, então um grande centro de aprendizagem, onde realizou grande parte de seu trabalho. Bagdá, durante o período do Califado Abássida, era uma cidade vibrante, repleta de acadêmicos e intelectuais que contribuíram para o florescimento da ciência e da matemática.

Seu importante tratado sobre álgebra al-Fakhri foi dedicado ao governante de Bagdá e foi escrito na cidade, apresentando um estudo sistemático de expoentes algébricos e aplicações de operações aritméticas. No entanto, em algum momento posterior de sua carreira, al-Karaji deixou Bagdá para viver no que é descrito como os “países montanhosos”. Ele parece ter desistido da matemática nessa época e se concentrado em tópicos de engenharia, como a perfuração de poços.

Al-Karaji escreveu três livros importantes: al-Fakhri, al-Badi e al-Kafi. Nestes trabalhos, avançou significativamente a teoria da álgebra que havia sido desenvolvida por outros matemáticos, como al-Kowarizmi

A importância de al-Karaji no desenvolvimento da matemática é vista de forma diferente por diferentes autores. Alguns consideram que seu trabalho é meramente uma reformulação de ideias de matemáticos anteriores, enquanto outros o veem como a primeira pessoa a libertar completamente a álgebra das operações geométricas e substituí-las pelo tipo aritmético de operações que estão no cerne da álgebra atual.

O objetivo de al-Karaji era encontrar os meios de realizar a autonomia e a especificidade da álgebra, de modo a estar em posição de rejeitar, em particular, a representação geométrica das operações algébricas, operando com incógnitas usando todas as ferramentas aritméticas disponíveis, da mesma forma que o aritmético opera com o conhecido.

Al-Karaji também fez avanços importantes no estudo de polinômios, desenvolvendo técnicas para manipular e resolver equações polinomiais, incluindo multiplicação, divisão e extração de raízes de polinômios, sendo um dos primeiros matemáticos a explorar operações com polinômios de grau superior ao terceiro.

Na teoria dos números al-Karaji também fez contribuições significativas, explorando as propriedades de números inteiros, incluindo questões relacionadas a números primos e fatoração. Seus trabalhos fornecera, uma base para desenvolvimentos posteriores na teoria dos números, que continuaria a ser expandida por matemáticos islâmicos e europeus nos séculos seguintes.

Al-Karaji também aplicou seus conhecimentos matemáticos à engenharia. Escreveu tratados sobre hidrologia, discutindo métodos de irrigação e construção de canais, destacando sua habilidade em aplicar conceitos matemáticos a problemas práticos.

O que al-Karaji conseguiu em al-Fakhri foi definir os monômios: $x$, $x^2$, $x^3$, $\cdots$ e seus inversos: $\displaystyle \frac{1}{x}$, $\displaystyle \frac{1}{x^2}$, $\displaystyle \frac{1}{x^3}$, $\cdots$ e fornecer regras para produtos de quaisquer dois desses fatores. Na verdade, ele quase forneceu a fórmula:
$$
x^m\ x^n = x^{m+n}
$$
Mas não conseguiu definir, por exemplo, $x^0=1$.

Al-Karaji também usou uma forma de indução matemática em seus argumentos, embora ele certamente não dê uma exposição rigorosa do princípio da indução finita. Basicamente, o que Al-Kariji fez foi demonstrar um argumento para $n=1$ e depois provar o caso para $n=2$. Então provar o caso $n=3$ com base no resultado de $n=2$, continuando o processo até cerca de $n=5$. Embora não seja propriamente indução, foi um grande passo para a compreensão de provas indutivas.

Al-Karaji usa essa forma de indução em seus trabalhos sobre o teorema binomial, coeficientes binomiais e o “triângulo de Pascal”. Em al-Fakhri, al-Karaji calculou $(a+b)^3$ e em al-Badi calculou $(a-b)^3$ e $(a+b)^4$.

Al-Samawal (1130-1180), em seu livro al-Bahir, faz uma descrição do teorema binomial onde os coeficientes são dados pelo “triângulo de Pascal”, atribuindo a al-Karaji este trabalho notável. Na tradução de Rashed e Ahmad, al-Samawal escreve:

"Vamos relembrar um princípio para conhecer o número necessário de multiplicações desses graus entre si, para qualquer número dividido em duas partes $(a+b)$. al-Karaji disse que para ter sucesso, devemos colocar 1 em uma tabela e 1 abaixo do primeiro 1. Mover o primeiro 1 para a segunda coluna e somar o primeiro 1 como 1 abaixo dele, para obter 2, que colocamos abaixo do 1 da segunda coluna e colocamos um segundo 1 baixo do 2. Temos, então: 1, 2, 1."

Esta é uma bela descrição do teorema binomial usando o “triângulo de Pascal”. A descrição continua até os coeficientes binomiais para $(a+b)^5$, mas vamos citar apenas como al-Karaji constrói a terceira coluna a partira da segunda:

"Se transferirmos o 1 da segunda coluna para a terceira, somamos o 1 da segunda coluna com o 2 abaixo dele, obtendo 3, escrevendo-o sob o 1 da terceira coluna. Somamos o 2 da segunda coluna com o 1 abaixo dele, obtendo 3, escrevendo sob o 3 da terceira coluna. Então, escrevemos 1 sob o 3. E assim, obtemos a terceira coluna: 1, 3, 3, 1."

A tabela construída por al-Karaji é parecida com a imagem abaixo:
triangulo de pascal construido por aj-karji


Triângulo de Pascal construído por al-Karaji no século XI

Al-Karaji demonstrou a soma de cubos dos $n$ primeiros números naturais, multiplicando sua soma por si mesma. Em notação moderna, al-Karaji demonstrou a identidade:
$$
\sum_{k=1}^n \ k^3 = \left(\sum_{k=1}^n \ k\right)^2
$$
Al-Karaji mostrou que:
$$
(1+2+3+\cdots + 10)^2 = 1^3+2^3+\cdots +10^3
$$
Ele fez isso primeiro mostrando que:
$$
(1+2+\cdots + 10)^2 = (1+2+\cdots +9)^2+10^3
$$
E usou a mesma regra para:
$$
(1+2+\cdots +9)^2 = (1+2+\cdots +8)^2+9^3
$$
Em seguida:
$$
(1+2+\cdots + 8)^2 = (1+2+\cdots +7)^2 +8^3
$$
Para obter:
$$
(1+2+\cdots + 10)^2 = \\
(1+2+\cdots +9)^2 + 10^3=\\
(1+2+\cdots +8)^2+9^3+10^3=\\
(1+2+\cdots +7)^2+8^3+9^3+10^3=\\
\ \\ \vdots \\
\ \\
1^3+2^3+3^3+\cdots +10^3
$$
Al-Karaji, inicialmente, construiu um quadrado $ABCD$ de lado $(1+2+\cdots +n)$:
al-karaji-demonstracao-identidade-quadrados-cubos

Tomando a área do polígono $\Delta_1 = BCDD_1C_1B_1$, que é obtida pela diferença entre os quadrados $ABCD$ e $AB_1C_1D_1$:
al-karaji-demonstracao-identidade-quadrados-cubos-parte-2

$$
\Delta_1 = 2n(1+2+\cdots + n) - n^2
$$
A área $n^2$ é subtraída de $\Delta_1$ porque ela é somada duas vezes.

$$
1+2+\cdots +n = \frac{n(n+1)}{2}
$$
Fazendo a substituição, obtemos:
$$
\Delta_1 = 2n \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n^2\\
\ \\
\Delta_1 = n^2(n+1)-n^2\\
\ \\
\Delta_1 = n^3 + n^2 - n^2\\
\ \\
\Delta_1 = n^3
$$
De forma análoga, para a área do polígono $\Delta_2=B_1C_1D_1D_2C_2B_2$, encontramos:
$$
\Delta_2 = (n-1)^3
$$
Prosseguindo dessa forma, o quadrado $ABCD$ é decomposto como a soma dos polígonos $\Delta_n$:
$$
\square ABCD = \Delta_1+ \Delta_2 + \cdots + \Delta_{n-1} + \Delta_n \\
\ \\
(1+2+\cdots + n)^2 = 1^3 + s^3 + \cdots + n^3
$$
Esta é uma demonstração notável do poder das técnicas algébricas desenvolvidas por al-Karaji. Esta identidade não apenas revela uma relação profunda entre somas e cubos, mas também destaca a elegância e a beleza da matemática.

Al-Karaji, ao demonstrar essa identidade, mostrou uma habilidade notável em manipular expressões algébricas, afastando-se da dependência das representações geométricas usadas por matemáticos anteriores. Sua abordagem simbolizou um movimento significativo em direção à abstração matemática, inspirando um avanço para o desenvolvimento da álgebra moderna.

A identidade em si possui uma simetria e simplicidade fascinante, pois exemplifica como somas e produtos podem ser relacionados de maneiras não triviais, e como padrões emergem quando números são manipulados com regras algébricas.


Referências:


Veja mais:


COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Al-Karaji: sua contribuição para a aritmética, álgebra, teorema binomial e indução matemática. Publicado por Kleber Kilhian em 27/07/2024. URL: . Leia os Termos de uso.


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