Construção geométrica de retas paralelas com régua e compasso

Duas retas são consideradas paralelas se estiverem no mesmo plano e não possuírem nenhum ponto em comum. Utilizamos o símbolo $s \parallel r$ para representar que a reta $s$ é paralela à reta $r$. Neste artigo veremos como construir retas paralelas utilizando apenas régua e compasso.

As retas paralelas podem ocorrer em 3 condições:

• Uma reta paralela a uma distância qualquer de uma reta dada;
• Uma reta paralela através de um ponto não pertencente a uma reta dada;
• Uma reta paralela a uma distância determinada de uma reta dada.

1. Traçando uma reta paralela a uma distância qualquer de uma reta dada

• Dada uma reta $r$, marcamos um ponto $A$ qualquer sobre a reta;
• Com a ponta seca do compasso em $A$, descrevemos um arco marcando os pontos $B$ e $C$ nas intersecções com $r$;
• Com um abertura do compasso menor que $\overline{BC}$, descrevemos dois arcos, um centrado em $B$ e outro em $C$, e marcamos como $D$ e $E$ as intersecções com o primeiro arco;
• A reta que passa pelos pontos $D$ e $E$ é a reta $s$ paralela à reta $r$.

2. Traçando uma reta paralela através de um ponto não pertencente a uma reta dada

• Dada uma reta $r$ e um ponto $P$ não pertencente à $r$, descrevemos um arco centrado em $P$, com raio maior que a distância $\overline{rP}$, e marcamos como $A$ a intersecção com $r$;
• Com raio $\overline{AP}$, descrevemos um arco centrado em $A$ passando por $P$ e marcamos como $B$ a intersecção com a reta $r$;
• Centrado em $A$ e raio $\overline{BP}$, descrevemos um arco intersectando o primeiro arco em $C$;
• A reta que passa pelos pontos $P$ e $C$ é a reta $s$ paralela à reta $r$.

3. Traçando uma reta paralela a uma distância determinada e uma reta dada

Se quisermos traçar uma reta paralela a uma reta dada, a uma distância específica, primeiramente temos que determinar a menor distância entre as retas. Fazemos isso traçando uma perpendicular à reta dada através de um ponto qualquer.

• Dada uma reta $r$, traçamos uma perpendicular a partir do ponto $A$;
• Descrevemos um arco centrado em $A$ e marcamos como $B$ e $C$ as intersecções com a reta $r$;
• Com centros em $B$ e $C$ e raio maior que $AB$, descrevemos dois arcos interceptando-se em $D$;
• A reta que passa pelos pontos $A$ e $D$ é perpendicular à reta $r$.

• Agora, definimos a distância $x$ que queremos que a retas paralelas estejam, medindo essa distância com a abertura do compasso.
• Posicionamos a ponta seca do compasso em $A$ e descrevemos um arco cortando a perpendicular em $E$. Assim, o segmento $\overline{AE}=x$

Para traçarmos a paralela $s$ dispomos de pelo menos 3 métodos:

a) Escolhemos um outro ponto $A^\prime$ sobre a reta $r$, e traçamos outra perpendicular e transportamos a distância $x$ encontrando o ponto $E^\prime$. A reta que passa pelos pontos $E$ e $E^\prime$ é a reta paralela $s$ desejada.

b) Utilizamos o procedimento do tópico 2 para traçar uma paralela $s$ através do ponto $E$, encontrando o ponto $H$. A reta que passa pelos pontos $E$ e $H$ é a reta paralela $s$ desejada.

c) Podemos ainda, através do ponto $E$, traçar uma perpendicular ao segmento $\overline{AE}$, encontrando o ponto $L$. A reta que passa pelos pontos $E$ e $L$ é a reta paralela $s$ desejada.

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