Seja um triângulo retângulo $BAC$, retângulo em $A$. Se uma circunferência de raio $r$ passa por $A$ e corta os três lados do triângulo gerando três cordas congruentes, então podemos calcular o raio $r$ em função dos segmentos $a=\overline{BD}$ e $b=\overline{CE}$, de modo que:
$$
r^2 = a b
$$
r^2 = a b
$$
Analisando a figura
- O triângulo é retângulo em $A$
- A circunferência de raio $r$ possui centro $O$ interno ao triângulo e passa pelo vértice $A$ do triângulo
- As intersecções com os três lados do triângulo geram três cordas congruentes $\overline{AF} \equiv \overline{AG} \equiv \overline{DE}$, ou seja, possuem mesma medida
- A hipotenusa é dividida em três segmentos: $a=\overline{BD}$, $b=\overline{CE}$ e $\overline{DE}$
- O triângulo $FAG$ é retângulo em $A$ e sua hipotenusa é o próprio diâmetro da circunferência
Encontrando o comprimento das cordas em função dos segmentos $a$ e $b$
O primeiro passo é encontrar o comprimento das cordas em função dos segmentos $a$ e $b$. Vamos chamar de $x$ o comprimento das cordas $x = \overline{AF} = \overline{AG} = \overline{DE}$.
Como as cordas $\overline{DE}$ e $\overline{FA}$ são congruentes e não são paralelas, ao serem prolongadas, encontram-se em $B$. Assim, os segmentos $\overline{BD}$ e $\overline{BF}$ também são congruentes e possuem medias iguais a $a$.
Analogamente, os segmentos $\overline{CE}$ e $\overline{CG}$ são congruentes e possuem medidas iguais a $b$.
Assim, podemos representar o triângulo retângulo como:
Aplicando o teorema de Pitágoras:
$$(a+x+b)^2 = (a+x)^2 + (b+x)^2\\
\ \\
a^2+b^2+x^2+2ab+2ax+2bx = \\
a^2+2ab+x^2 + b^2+2bx+x^2\\
\ \\
2ab = x^2
$$
Assim, as cordas podem ser expressas em função dos segmentos $a$ e $b$:
$$x = \sqrt{2ab} \tag{1}
$$
Encontrando o comprimento das cordas em função do raio $r$
Do triângulo $AFG$, temos:
(2r)^2 = x^2 + x^2 \\
\ \\
4r^2 = 2x^2\\
\ \\
2r^2 = x^2
$$
Assim, as cordas podem ser expressas em função do raio:
$$x = r \sqrt{2} \tag{2}
$$
Expressando o raio $r$ em função dos segmentos $a$ e $b$
Substituindo a equação $(2)$ na equação $(1)$, obtemos:
$$r \sqrt{2} = \sqrt{2ab}
$$
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:
$$\big(r\sqrt{2}\big)^2 = \big(\sqrt{2ab}\big)^2\\
\ \\
2r^2 = 2ab
$$
Encontrando:
$$r^2 = ab \tag{3}
$$
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