Fórmulas de redução são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.
A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira $n$ de uma função em termos de $n-1$ ou $n-2$. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.
Outras fórmulas de redução para integrais: | |
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$\bullet$ $\displaystyle \int \text{sen}^n(x) dx$ | $\bullet$ $\displaystyle \int \text{sec}^n(x)\ dx$ |
$\bullet$ $\displaystyle \int \text{cos}^n(x)\ dx$ | $\bullet$ $\displaystyle \int \text{cossec}^n(x)\ dx$ |
$\bullet$ $\displaystyle \int \text{tg}^n(x) dx$ | $\bullet$ $\displaystyle \int \text{cotg}^n(x)\ dx$ |
Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para a cossecante elevada à enésima potência utilizando o método de integração por partes:
$$\int \text{cossec}^n(x)\ dx =\\
-\frac{1}{n-1} \text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x) + \frac{n-2}{n-1} \int \text{cossec}^{n-2}(x)\ dx
$$
para $n \geq 2$.
Seja a integral:
I = \int \text{cossec}^n(x)\ dx
$$
Reescrevemos o integrando como:
$$I = \int \text{cossec}^{n-2}(x)\ \text{cossec}^2(x)\ dx
$$
Utilizamos o método de integração por partes, fazendo:
\begin{cases}
u = \text{cossec}^{n-2}(x)\\
\ \\
du = -(n-2)\text{cossec}^{n-2}(x)\ \text{cotg}(x)\ dx
\end{cases}
$
\begin{cases}
dv = \text{cossec}^2(x)\ dx\\
\ \\
v = -\text{cotg}(x)
\end{cases}
$
Aplicamos os resultados na fórmula para integração por partes, lembrando que:
$$\int u\ dv = u\ v - \int v\ du
$$
Assim:
$$
I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x) \\
-(n-2) \int \text{cotg}(x) \text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\ dx\\
\ \\
\ \\
I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\\
-(n-2) \int \text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}^2(x)\ dx
$$
I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\\
-(n-2) \int \text{cossec}^{n-2}(x) \big(\text{cossec}^2(x)-1\big)\ dx\\
\ \\
\ \\
I = -\text{cossec}^{n-2}(x)\text{cotg}(x)\\
-(n-2) \int \big(\text{cossec}^n(x)-\text{cossec}^{n-2}(x)\big)\ dx\\
\ \\
\ \\
I = -\text{cossec}^{n-2}\text{cotg}(x)\\
-(n-2) \int \text{cossec}^n(x)dx + (n-2)\int \text{cossec}^{n-2}(x)dx
$$
I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x) \\
-(n-2) \int \text{cotg}(x) \text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\ dx\\
\ \\
\ \\
I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\\
-(n-2) \int \text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}^2(x)\ dx
$$
Utilizando a identidade trigonométrica $\text{cotg}^2(x)=\text{cossec}^2(x)-1$, temos:
$$I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\\
-(n-2) \int \text{cossec}^{n-2}(x) \big(\text{cossec}^2(x)-1\big)\ dx\\
\ \\
\ \\
I = -\text{cossec}^{n-2}(x)\text{cotg}(x)\\
-(n-2) \int \big(\text{cossec}^n(x)-\text{cossec}^{n-2}(x)\big)\ dx\\
\ \\
\ \\
I = -\text{cossec}^{n-2}\text{cotg}(x)\\
-(n-2) \int \text{cossec}^n(x)dx + (n-2)\int \text{cossec}^{n-2}(x)dx
$$
A primeira integral é a integral original, de modo que podemos substituí-la por $I$:
$$I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\\
-(n-2)I + (n-2)\int \text{cossec}^{n-2}(x)dx\\
\ \\
\ \\
I + (n-2)I = -\text{cossec}^{n-2}(x) \text{cotg}(x)\\
+(n-2)\int \text{cossec}^{n-2}(x)dx\\
\ \\
\ \\
(n-1)I = -\text{cossec}^{n-2}(x)\text{cotg}(x) \\
+(n-2)\int \text{cossec}^{n-2}(x)dx\\
\ \\
\ \\
\boxed{I = -\frac{1}{n-1} \text{cossec}^{n-2}(x)\text{cotg}(x) \\
+ \frac{n-2}{n-1} \int \text{cossec}^{n-2}(x)dx}
$$
$\bullet$ Para $n=2$, teremos:
$$I_2 = \int \text{cossec}^2(x)\ dx\\
\ \\
\ \\
I_2 = -\frac{1}{2-1} \text{cossec}^{2-2}(x)\text{cotg}(x) \\
+\frac{2-2}{2-1} \int \text{cossec}^{2-2}(x)\ dx\\
\ \\
\ \\
I_2 = - \text{cotg}(x)+C
$$
$\bullet$ Para $n=3$, teremos:
$$I_3 = \int \text{cossec}^3(x)\ dx\\
\ \\
\ \\
I_3 = -\frac{1}{3-1} \text{cossec}^{3-2}(x) \text{cotg}(x)\\
+\frac{3-2}{3-1} \int \text{cossec}^{3-2}(x)dx\\
\ \\
\ \\
I_3 = -\frac{1}{2} \text{cossec}(x)\text{cotg}(x)\\
+ \frac{1}{2} \int \text{cossec}(x)\ dx
$$
A integral de $\text{cossec}(x)$ é $-\ln |\text{cossec}(x)+\text{cotg}(x)|$. Assim:
$$I_3 = -\frac{1}{2} \text{cossec}(x) \text{cotg}(x)\\
- \frac{1}{2} \ln| \text{cossec}(x)+\text{cotg}(x)| + C\\
\ \\
\ \\
I_3 = -\frac{1}{2} \big(\text{cossec}(x)\text{cotg}(x)\\
+ \ln|\text{cossec}(x)+\text{cotg}(x)|\big)+C
$$
$\bullet$ Para $n=4$, teremos:
$$I_4 = -\frac{1}{4-1} \text{cossec}^{4-2}(x)\text{tg}(x)\\
+ \frac{4-2}{4-1} \int \text{cossec}^{4-2}(x)\ dx\\
\ \\
\ \\
I_4 = -\frac{1}{3} \text{cossec}^2(x) \text{cotg}(x)\\
+\frac{2}{3} \int \text{cossec}^2(x)\ dx
$$
A integral de $\text{cossec}^2(x)$ é $-\text{cotg}(x)$:
$$I_4 = -\frac{1}{3} \text{cossec}^2(x)\text{cotg}(x)\\
- \frac{2}{3} \text{cotg}(x) + C\\
\ \\
\ \\
I_4 = -\frac{1}{3} \text{cotg}(x)\big(\text{cossec}^2(x)+2\big) + C
$$
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