Fórmula de redução para a integral $\displaystyle \int \text{tg}^n(x)\ dx$

Fórmulas de redução são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.

A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira $n$ de uma função em termos de $n-1$ ou $n-2$. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.

Veja também: Fórmulas de redução para as integrais:

• $\displaystyle \int \text{sen}^n(x)\ dx$
• $\displaystyle \int \cos^n(x)\ dx$
• $\displaystyle \int \text{tg}(x)\ dx$
  

Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para a tangente elevada à enésima potência utilizando o método de integração por substituição:

$$
\int \text{tg}^n(x)\ dx = 

\frac{\text{tg}^{n-1}(x)}{n-1} - \int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx
$$

Seja a integral:

$$
I = \int \text{tg}^n(x)\ dx
$$

Reescrevemos o integrando como:

$$
I = \int \text{tg}^{n-2}(x) \cdot \text{tg}^2(x)\ dx
$$

Substituímos o segundo fator do integrando pela identidade trigonométrica $\text{tg}^2(x)=\text{sec}^2(x)-1$:

$$
I = \int \text{tg}^{n-2}(x)\ \left( \text{sec}^2(x)-1 \right)\ dx\\
\ \\
I = \int \left( \text{tg}^{n-2}(x)\ \text{sec}^2(x) - \text{tg}^{n-2}(x) \right)\ dx\\
\ \\
I = \int \text{tg}^{n-2}(x)\ \text{sec}^2(x)\ dx -\\
\int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx
$$

Fazemos a substituição $u=\text{tg}(x)$ e aplicamos ao primeiro integrando. Assim, $du=\text{sec}^2(x)\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{\text{sec}^2(x)}\ du$. Assim:

$$
I = \int u^{n-2} \cdot \text{sec}^2(x) \cdot \frac{1}{\text{sec}^2(x)} du - \\
\int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
I = \int u^{n-2}\ du - \int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
I = \frac{u^{n-1}}{n-1} - \int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx
$$

Mas, $u=\text{tg}(x)$, logo:

$$
I = \frac{\text{tg}^{n-1}(x)}{n-1} - \int \text{tg}^{n-2}(x)\ dx
$$

Para $n=2$, teremos:

$$
I_2 = \int \text{tg}^2(x)\ dx\\
\ \\
I_2 = \frac{\text{tg}^{2-1}(x)}{2-1} - \int \text{tg}^{2-2}(x)\ dx\\
\ \\
I_2 = \text{tg}(x) - \int dx\\
\ \\
I_2 = \text{tg}(x) - x +C
$$

Para $n=3$, teremos:

$$
I_3 = \int \text{tg}^3(x)\ dx\\
\ \\
I_3 = \frac{\text{tg}^{3-1}(x)}{3-1} - \int \text{tg}^{3-2}(x)\ dx\\
\ \\
I_3 = \frac{\text{tg}^2(x)}{2} - \int \text{tg}(x)\ dx\\
\ \\
I_3 = \frac{\text{sec}^2(x)-1}{2} + \ln \left| \cos(x) \right| + C\\
\ \\
I_3 = \frac{\text{sec}^2(x)}{2} - \frac{1}{2} + \ln \left| \cos(x) \right| +C\\
\ \\
I_3 = \frac{\text{sec}^2(x)}{2} + \ln \left| \cos(x) \right| + C
$$

Métodos de integração:

• Por partes
  
• Tabular
  
• Por substituição
  
• Frações parciais
  
• Substituição trigonométrica
  
• Integrais literais resolvidas