Fórmula de redução para a integral $\displaystyle \text{cotg}^n(x)\ dx$

Fórmulas de redução são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.

A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira $n$ de uma função em termos de $n-1$ ou $n-2$. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.

Outras fórmulas de redução:

$\color{blue}{\displaystyle \int \text{sen}^n(x)\ dx}$ $\quad$ $\color{blue}{\displaystyle \int \text{cos}^n(x) dx}$

$\color{blue}{\displaystyle \int \text{tg}^n(x)\ dx}$ $\quad$ $\color{blue}{\displaystyle \int \text{cossec}^n(x)\ dx}$

$\color{blue}{\displaystyle \int \text{sec}^n(x)\ dx}$ $\quad$ $\color{blue}{\displaystyle \int \text{cotg}^n(x)\ dx}$

Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para a cotangente elevada à enésima potência utilizando o método de integração por substituição:

$$\int \text{cotg}^n(x)\ dx =\\ -\frac{1}{n-1}\ \text{cotg}^{n-1}(x) - \int \text{cotg}^{n-2}(x)\ dx$$

Seja a integral:

$$I = \int \text{cotg}^n(x)\ dx$$

Reescrevemos o integrando como:

$$I = \int \text{cotg}^{n-2}(x) \cdot \text{cotg}^2(x)\ dx$$

Substituímos o segundo fator do integrando pela identidade trigonométrica $\text{cotg}^2(x)=\text{cossec}^2(x)-1$:

$$I = \int \text{cotg}^{n-2}(x)\ \left( \text{cossec}^2(x)-1 \right)\ dx\\ \ \\ I = \int \text{cotg}^{n-2}(x)\ \text{cossec}^2(x)\ dx \\ -\int \text{cotg}^{n-2}(x)\ dx$$

Fazemos a substituição $u=\text{cotg}(x)$ e aplicamos ao primeiro integrando. Assim, $du=-\text{cossec}^2(x)\ dx$ e $\displaystyle dx =- \frac{1}{\text{cossec}^2(x)}\ du$. Assim:

$$I = \int u^{n-2}  \text{cossec}^2(x)  \left(-\frac{1}{\text{cossec}^2(x)}\right) du  \\ -\int \text{cotg}^{n-2}(x)\ dx\\ \ \\ I = -\int u^{n-2}\ du - \int \text{cotg}^{n-2}(x)\ dx\\ \ \\ I = -\frac{u^{n-1}}{n-1} - \int \text{cotg}^{n-2}(x)\ dx$$

Mas, $u=\text{cotg}(x)$, logo:

$$\boxed{I = -\frac{1}{n-1}\text{cotg}^{n-1}(x)\\ - \int \text{cotg}^{n-2}(x)\ dx}$$

Exemplos:

Para $n=2$, teremos:

$$I_2 = \int \text{cotg}^2(x)\ dx\\ \ \\ I_2 = -\frac{\text{cotg}^{2-1}(x)}{2-1} - \int \text{cotg}^{2-2}(x)\ dx\\ \ \\ I_2 = -\text{cotg}(x) - \int dx\\ \ \\ I_2 = -\text{cotg}(x) - x +C$$

Para $n=3$, teremos:

$$I_3 = \int \text{cotg}^3(x)\ dx\\ \ \\ I_3 = -\frac{\text{cotg}^{3-1}(x)}{3-1} - \int \text{cotg}^{3-2}(x)\ dx\\ \ \\ I_3 = -\frac{\text{cotg}^2(x)}{2} - \int \text{cotg}(x)\ dx\\ \ \\ I_3 = -\frac{\text{cotg}^2(x)}{2} - \ln \left| \text{sen}(x) \right| + C\\ \ \\ I_3 = -\frac{\left( \text{cossec}^2(x)-1\right)}{2} - \ln \left| \text{sen}(x)\right| + C\\ \ \\ I_3 = -\frac{\text{cossec}^2(x)}{2}+\frac{1}{2} - \ln\left| \text{sen}(x)\right| + C\\ \ \\ I_3 = -\frac{\text{cossec}^2(x)}{2} - \ln\left| \text{sen}(x)\right| + C$$

Métodos de Integração:

• Por partes
• Tabular
• Por substituição
• Frações parciais
• Substituição trigonométrica
• Integrais literais resolvidas