Resolução da integral da cotangente de x: $\displaystyle \int \text{cotg}(x)\ dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

 

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

 

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.

 

Nesta postagem, vamos demonstrar que:

$$
\int \text{cotg}(x)\ dx = \ln| \text{sen}(x)|+C
$$

Seja a integral:

$$
I = \int \text{cotg}(x)\ dx
$$

Reescrevemos o integrando como:

$$
I = \int \frac{\text{cos}(x)}{\text{sen}(x)}\ dx
$$

Para o integrando, fazemos a substituição $u=\text{sen}(x)$. Assim, $du=\text{cos}(x)\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{\text{cos}(x)}\ du$:

$$
I = \int \frac{\cos(x)}{u}\cdot \frac{1}{\cos(x)}\ du\\
\ \\
I = \int \frac{1}{u}\ du
$$

A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln(u)$. Assim:

$$
I = \ln(u) + C
$$

Mas, $u=\text{sen}(x)$. Logo:

$$
I = \ln | \text{sen}(x) | + C
$$

Veja também outras integrais:

$\displaystyle \longrightarrow \int \text{sec}(x)\ dx$

$\displaystyle \longrightarrow \int \text{cossec}(x)\ dx$

Exemplo:

Vamos calcular a área sob a curva $f(x)=\text{cotg}(x)$ no intervalo $\displaystyle \left[ \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$.

Para encontrarmos a área sob a curva $f(x)$, utilizamos o conceito de integral definida:

$$
A = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \text{cotg}(x)\ dx\\
\ \\
A = \Big[ \ln | \text{sen}(x) | \Big]_{\pi/4}^{\pi/2}\\
\ \\
A = \ln \left( \text{sen} \left(\frac{\pi}{2}\right) \right) - \ln \left( \text{sen} \left(\frac{\pi}{4}\right) \right)\\
\ \\
A = \ln (1) - \ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
\ \\
A = 0 - \ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
\ \\
A = -\ln \left(\sqrt{2}\right) + \ln(2)\\
\ \\
A = -\ln (2)^{1/2} + \ln(2)\\
\ \\
A = -\frac{1}{2} \ln (2) + \ln(2)\\
\ \\
A \approx -\frac{0,6931}{2} + 0,6931\\
\ \\
A \approx 0,3466
$$

Portanto, a área desejada vale aproximadamente 0,3466 unidades de área.

Veja mais:

• Método de integração por partes
  
• Método de integração por substituição
  
• Método de integração por frações parciais
  
• Método de integração por substituição trigonométrica
  
• Lista de integrais resolvidas