Resolução da integral $\displaystyle \int \text{cossec}(x)\ dx$

Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

 

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

 

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.

 

Nesta postagem, vamos demonstrar que:

$$
\int \text{cossec}(x)\ dx = -\ln |\text{cotg}(x) + \text{cossec}(x)| + C
$$

Seja a integral:

$$
I = \int \text{cossec}(x)\ dx
$$

Quando tratamos de integrais trigonométricas muitas vezes precisamos fazer substituições convenientes para que possamos cancelar termos do integrando.

Podemos multiplicar e dividir o integrando por uma determinada expressão de modo que, ao fazermos uma substituição, possamos encontrar uma derivada que simplifique o integrando.

Para a integral da cossecante, vamos multiplicar e dividir o integrando por $\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)$. Assim:

$$
I = \int \text{cossec}(x) \cdot \frac{\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)}{\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)}\ dx\\
\ \\
I = \int \frac{\text{cossec}(x)\ \text{cotg}(x)+\text{cossec}^2(x)}{\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)}\ dx\\
\ \\
I = - \int \frac{-\text{cossec}(x)\ \text{cotg}(x)-\text{cossec}^2(x)}{\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)}\ dx\\
$$

Para o integrando, fazemos a substituição $u=\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)$. Assim, obtemos:

$$
du = \big(-\text{cossec}^2(x)-\text{cotg}(x)\ \text{cossec}(x)\big)\ dx\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
dx = \frac{du}{\big(-\text{cossec}^2(x)-\text{cotg}(x)\ \text{cossec}(x)\big)}
$$

Aplicando as substituições:

$$
I = - \int \frac{-\text{cossec}(x)\ \text{cotg}(x)-\text{cossec}^2(x)}{u\ \big(-\text{cossec}^2(x)-\text{cotg}(x)\ \text{cossec}(x)\big)}du\\
\ \\
I = - \int \frac{1}{u}\ du
$$

A integral de $\cfrac{1}{u}$ é $\ln|u|$. Assim:

$$
I = -\ln|u| + C
$$
Mas, $u=\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)$, logo:

$$
I = - \ln|\text{cotg}(x)+\text{cossec}(x)|+C
$$

Exemplo 1:

Encontrar a área sob a curva $f(x) = \text{cossec}(x)$, no intervalo $\displaystyle \left[ \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]$.

Para calcularmos a área desejada, utilizaremos o conceito de integral definida, com limites de integração inferior e superior iguais a $\pi/6$ e $\pi/3$, respectivamente. Assim, podemos representar a área desejada como:

$$
A = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \text{cossec}(x)\ dx
$$

Utilizando os resultados obtidos anteriormente, temos que:

$$
A = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \text{cossec}(x)\ dx\\
\ \\
A= \Big[ -\ln \Big( \text{cotg}(x) + \text{cossec}(x)\Big) \Big]_{\pi/6}^{\pi/3}\\
\ \\
A = -\ln\left( \text{cotg}\left(\frac{\pi}{3}\right) + \text{cossec}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)+\\
 \ln \left(\text{cotg}\left(\frac{\pi}{6}\right)+\text{cossec}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)
$$

De tabelas trigonométricas que podemos encontrar em livros, internet ou mesmo em calculadoras, temos que:

$$
\text{cotg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \quad \text{e}\quad \text{cotg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\\
\ \\
\text{cossec}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \quad \text{e}\quad \text{cossec}\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2
$$

Assim, fazemos:

$$
A = -\ln \Big( \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3}\Big) + \ln \Big(\sqrt{3} + 2 \Big)\\
\ \\
A = -\ln (\sqrt{3}) + \ln(\sqrt{3}+2)\\
\ \\
A \approx 0,76765\ u.a.
$$

Assim, a área desejada possui aproximadamente 0,76765 unidades de área.

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Veja mais:

• Método de integração por partes
  
• Método de integração por substituição
  
• Método de integração por frações parciais
  
• Método de integração por substituição trigonométrica
  
• Lista de integrais resolvidas