Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$
\int \sec(ax)\ dx = \frac{\ln |\sec(ax)+\text{tg}(ax)|}{a}+C
$$
sendo $a \neq 0$.
Seja a integral:
$$
I = \int \sec (ax)\ dx
$$
Para resolver esta integral, vamos utilizar o método de integração por substituição duas vezes consecutivas.
Fazemos $u=ax$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:
$$
I = \frac{1}{a} \int \sec (u)\ du
$$
Convenientemente, iremos multiplicar o numerador e o denominador do integrando por $\sec(u) + \text{tg}(u)$. Essa substituição parece estranha e aparentemente torna a integral mais complicada, mas quando aplicarmos novamente o método da substituição, a integral será simplificada de modo trivial. Sendo assim, obtemos:
$$
I = \frac{1}{a} \int \frac{\sec(u)\left[\sec(u) + \text{tg}(u)\right]}{\sec(u)+\text{tg}(u)}du\\
\ \\
I = \frac{1}{a} \int \frac{\sec^2(u)+\sec(u)\text{tg}(u)}{\sec(u)+\text{tg}(u)}du
$$
Fazemos uma nova substituição no integrando, sendo $v=\sec(u)+\text{tg}(u)$. Assim, $dv=\left[ \sec^2(u)+\text{tg}(u)\sec(u)\right]\ du$:
$$
I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{v}\ dv
$$
A integral de $1/v$ é $\ln |v|$. Assim:
$$
I = \frac{1}{a} \cdot \ln|v| + C\\
$$
Mas, $v=\sec(u)+\text{tg}(u)$. Voltando a substituição:
$$
I = \frac{1}{a} \cdot \ln \left| \sec(u) + \text{tg}(u) \right| + C
$$
Mas, $u = ax$. Voltando novamente a substituição:
$$
I = \frac{1}{a} \cdot \ln \left| \sec(ax)+\text{tg}(ax) \right| + C
$$
Para calcularmos a área desejada, utilizaremos o conceito de integral definida, com limites de integração inferior e superior iguais a $0$ e $\pi/3$, respectivamente. Assim, podemos representar a área $A$ como:
$$
A = \int_0^{\pi/3} \sec(x)\ dx
$$
Utilizando o resultado que obtivemos logo acima para a integral de $\sec(ax)$, fazemos $a=1$, de modo que:
$$
A = \int_0^{\pi/3} \sec(x)\ dx\\
\ \\
A = \Big[ \ln | \sec(x) + \text{tg} (x)| \Big] _0^{\pi/3}\\
\ \\
A = \left[ \ln \left(\sec\left(\frac{\pi}{3}\right) + \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \right] - \left[ \ln \left( \sec(0) + \text{tg}(0) \right) \right]\\
\ \\
A = \ln (2+\sqrt{3} ) - \ln (1+0)\\
\ \\
A = \ln (2+\sqrt{3}) - \ln(1)\\
\ \\
A \approx 1,317 - 0\\
\ \\
A \approx 1,317
$$
Assim, a área desejada vale aproximadamente $1,317$ unidades de área.
$$
\int \sec(ax)\ dx = \frac{\ln |\sec(ax)+\text{tg}(ax)|}{a}+C
$$
sendo $a \neq 0$.
Seja a integral:
$$
I = \int \sec (ax)\ dx
$$
Para resolver esta integral, vamos utilizar o método de integração por substituição duas vezes consecutivas.
Fazemos $u=ax$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:
$$
I = \frac{1}{a} \int \sec (u)\ du
$$
Convenientemente, iremos multiplicar o numerador e o denominador do integrando por $\sec(u) + \text{tg}(u)$. Essa substituição parece estranha e aparentemente torna a integral mais complicada, mas quando aplicarmos novamente o método da substituição, a integral será simplificada de modo trivial. Sendo assim, obtemos:
$$
I = \frac{1}{a} \int \frac{\sec(u)\left[\sec(u) + \text{tg}(u)\right]}{\sec(u)+\text{tg}(u)}du\\
\ \\
I = \frac{1}{a} \int \frac{\sec^2(u)+\sec(u)\text{tg}(u)}{\sec(u)+\text{tg}(u)}du
$$
Fazemos uma nova substituição no integrando, sendo $v=\sec(u)+\text{tg}(u)$. Assim, $dv=\left[ \sec^2(u)+\text{tg}(u)\sec(u)\right]\ du$:
$$
I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{v}\ dv
$$
A integral de $1/v$ é $\ln |v|$. Assim:
$$
I = \frac{1}{a} \cdot \ln|v| + C\\
$$
Mas, $v=\sec(u)+\text{tg}(u)$. Voltando a substituição:
$$
I = \frac{1}{a} \cdot \ln \left| \sec(u) + \text{tg}(u) \right| + C
$$
Mas, $u = ax$. Voltando novamente a substituição:
$$
I = \frac{1}{a} \cdot \ln \left| \sec(ax)+\text{tg}(ax) \right| + C
$$
Exemplo:
Vamos calcular a área sob a curva $f(x)=\sec(x)$, compreendida no intervalo $[0,\pi/3]$.Para calcularmos a área desejada, utilizaremos o conceito de integral definida, com limites de integração inferior e superior iguais a $0$ e $\pi/3$, respectivamente. Assim, podemos representar a área $A$ como:
$$
A = \int_0^{\pi/3} \sec(x)\ dx
$$
Utilizando o resultado que obtivemos logo acima para a integral de $\sec(ax)$, fazemos $a=1$, de modo que:
$$
A = \int_0^{\pi/3} \sec(x)\ dx\\
\ \\
A = \Big[ \ln | \sec(x) + \text{tg} (x)| \Big] _0^{\pi/3}\\
\ \\
A = \left[ \ln \left(\sec\left(\frac{\pi}{3}\right) + \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \right] - \left[ \ln \left( \sec(0) + \text{tg}(0) \right) \right]\\
\ \\
A = \ln (2+\sqrt{3} ) - \ln (1+0)\\
\ \\
A = \ln (2+\sqrt{3}) - \ln(1)\\
\ \\
A \approx 1,317 - 0\\
\ \\
A \approx 1,317
$$
Assim, a área desejada vale aproximadamente $1,317$ unidades de área.
Links para este artigo:
- http://bit.ly/integral-sec-ax
- https://www.obaricentrodamente.com/2019/10/resolucao-da-integral-da-secante-de-ax.html
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