Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$\int \sec (ax)\ dx = \frac{\ln | \sec(ax) + \text{tg}(ax) |}{a} + C
$$
- Leia o artigo sobre A derivada da função secante
- Leia o artigo sobre A integral do arco seno
sendo $a$ uma constante diferente de zero.
Seja a integral:
$$
I=\int \sec (ax)\ dx
$$
Para o integrando $\sec (ax)$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du=a\ dx$ e $dx = \cfrac{1}{a}du$:
$$$$
I=\int \sec (ax)\ dx
$$
Para o integrando $\sec (ax)$, fazemos a substituição $u=ax$. Assim, $du=a\ dx$ e $dx = \cfrac{1}{a}du$:
I = \frac{1}{a} \int \sec (u)\ du
$$
Em muitos casos, a nossa experiência em resolução de integrais faz toda a diferença, no sentido de decidir qual método utilizar ou quais artifícios funcionam melhor. Neste caso, se multiplicarmos o numerador e o denominador por uma valor conveniente $\text{tg}(u)+\sec(u)$, conseguiremos simplificar a integral, por mais estranho que pareça.
$$I = \frac{1}{a} \int \frac{\sec(u)\cdot (\sec(u)+\text{tg}(u))}{\sec(u)+\text{tg}(u)}\ du\\
\ \\
I = \frac{1}{a} \int \frac{\sec^2(u)+\sec(u)\ \text{tg}(u)}{\sec(u)+\text{tg}(u)}\ du
$$
Para o integrando $\cfrac{\sec^2(u)+\sec(u)\ \text{tg}(u)}{\sec(u)+\text{tg}(u)}$, fazemos a substituição $v=\sec(u)+\text{tg}(u)$. Assim, temos que:
$$
dv = \left(\sec^2(u) + \text{tg}(u)\ \sec(u)\right)\ du\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
du = \frac{dv}{\sec^2(u) + \text{tg}(u)\ \sec(u)}
$$
I = \frac{1}{a} \int \frac{\sec^2(u)+\sec(u)\ \text{tg}(u)}{v} \cdot \frac{dv}{\sec^2(u)+\sec(u)\ \text{tg}(u)}\\
\ \\
I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{v}\ dv
$$
I = \frac{1}{a} \cdot \ln |v| + C\\
\ \\
I = \frac{\ln |v|}{a }+ C
$$
I = \frac{\ln |\sec(u)+\text{tg}(u)}{a}+C
$$
I = \frac{\ln |\sec(ax)+\text{tg}(ax)}{a}+C
$$
\color{Green}{\Rule{20px}{12px}{0px}} \ f(x) = \sec(x)\quad
\color{Blue}{\Rule{20px}{12px}{0px}} \ g(x) = \sec(2x)\quad
\color{Red}{\Rule{20px}{12px}{0px}} \ h(x) = \sec\left(\frac{x}{2}\right)
$$
dv = \left(\sec^2(u) + \text{tg}(u)\ \sec(u)\right)\ du\\
\ \\
\text{e}\\
\ \\
du = \frac{dv}{\sec^2(u) + \text{tg}(u)\ \sec(u)}
$$
- Leia o artigo sobre a derivada da função secante
Assim:
$$I = \frac{1}{a} \int \frac{\sec^2(u)+\sec(u)\ \text{tg}(u)}{v} \cdot \frac{dv}{\sec^2(u)+\sec(u)\ \text{tg}(u)}\\
\ \\
I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{v}\ dv
$$
A integral de $\cfrac{1}{v}$ é $\ln (v)$. Assim:
$$I = \frac{1}{a} \cdot \ln |v| + C\\
\ \\
I = \frac{\ln |v|}{a }+ C
$$
Mas, $v=\sec(u)+\text{tg}(u)$, assim:
$$I = \frac{\ln |\sec(u)+\text{tg}(u)}{a}+C
$$
E $u=ax$. Logo:
$$I = \frac{\ln |\sec(ax)+\text{tg}(ax)}{a}+C
$$
A curva $\sec(ax)$ gera uma família de curvas conforme o parâmetro $a$ é alterado. A imagem abaixo mostra três curvas sobrepostas:
onde:
$$\color{Green}{\Rule{20px}{12px}{0px}} \ f(x) = \sec(x)\quad
\color{Blue}{\Rule{20px}{12px}{0px}} \ g(x) = \sec(2x)\quad
\color{Red}{\Rule{20px}{12px}{0px}} \ h(x) = \sec\left(\frac{x}{2}\right)
$$
Exemplo 1:
Vamos calcular a área sob a curva $f(x)=\sec(x)$, compreendida no intervalo $[0,\pi/3]$.
Para calcularmos a área desejada, utilizaremos o conceito de integral definida, com limites de integração inferior e superior iguais a $0$ e $\pi/3$, respectivamente. Assim, podemos representar a área $A$ como:
$$A = \int_0^{\pi/3} \sec(x)\ dx
$$
Utilizando o resultado que obtivemos logo acima para a integral de $\sec(ax)$, fazemos $a=1$, de modo que:
$$A = \int_0^{\pi/3} \sec(x)\ dx\\
\ \\
A = \Big[ \ln | \sec(x) + \text{tg} (x)| \Big] _0^{\pi/3}\\
\ \\
A = \left[ \ln \left(\sec\left(\frac{\pi}{3}\right) + \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \right] - \left[ \ln \left( \sec(0) + \text{tg}(0) \right) \right]\\
\ \\
A = \ln (2+\sqrt{3} ) - \ln (1+0)\\
\ \\
A = \ln (2+\sqrt{3}) - \ln(1)\\
\ \\
A \approx 1,317 - 0\\
\ \\
A \approx 1,317
$$
Assim, a área desejada vale aproximadamente $1,317$ unidades de área.
Exemplo 2:
Vamos calcular a área sob a curva $f(x)=\sec\left(\cfrac{x}{2}\right)$ no intervalo de $x=0$ a $x=\cfrac{\pi}{2}$.
A resolução nos remete ao conceito de integral definida:
$$
A = \int_0^{\pi/2} \sec\left(\frac{x}{2}\right)\ dx
$$
Vamos utilizar o resultado anterior para calcularmos a área desejada.
$$$$
A = \int_0^{\pi/2} \sec\left(\frac{x}{2}\right)\ dx
$$
Vamos utilizar o resultado anterior para calcularmos a área desejada.
\int \sec(ax) = \frac{\ln |\sec(ax)+\text{tg}(ax)|}{a}+C
$$
Neste caso, o parâmetro $a$ é igual a $1/2$. Então, o problema se resume a:
$$A = \left[ \frac{\ln \left( \sec \left(\cfrac{x}{2}\right)+\text{tg}\left(\cfrac{x}{2}\right) \right)}{\cfrac{1}{2}} \right]_0^{\pi/2}\\
\ \\
A = 2 \cdot\left[ \ln \left( \sec \left(\cfrac{x}{2}\right)+\text{tg}\left(\cfrac{x}{2}\right) \right) \right]_0^{\pi/2}\\
\ \\
A = 2 \cdot\left[ \ln \left( \sec \left(\cfrac{\pi}{4}\right)+\text{tg}\left(\cfrac{\pi}{4}\right) \right) \right]\\
$$
A secante de $\pi/4$ é equivalente à secante de $45°$ e vale $\sqrt{2}$. A tangente de $\pi/4$ vale $1$. Assim:
$$A = 2\cdot \ln \Big( \sqrt{2} + 1\Big) \\
\ \\
A = 1,76274\cdots
$$
Assim, a área desejada mede aproximadamente $1,76$ unidades de área.
Links para este artigo:
- http://bit.ly/integral-sec-ax
- https://www.obaricentrodamente.com/2019/10/resolucao-da-integral-da-secante-de-ax.html
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