06/10/2019

Resolução da integral $\displaystyle \int \sec(ax)dx$


Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?

Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.

Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.

Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$
\int \sec(ax)\ dx = \frac{\ln |\sec(ax)+\text{tg}(ax)|}{a}+C
$$
sendo $a \neq 0$.

Resolução da integral secante de ax

Seja a integral:
$$
I = \int \sec (ax)\ dx
$$
Para resolver esta integral, vamos utilizar o método de integração por substituição duas vezes consecutivas.

Fazemos $u=ax$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:
$$
I = \frac{1}{a} \int \sec (u)\ du
$$
Convenientemente, iremos multiplicar o numerador e o denominador do integrando por $\sec(u) + \text{tg}(u)$. Essa substituição parece estranha e aparentemente torna a integral mais complicada, mas quando aplicarmos novamente o método da substituição, a integral será simplificada de modo trivial. Sendo assim, obtemos:
$$
I = \frac{1}{a} \int \frac{\sec(u)\left[\sec(u) + \text{tg}(u)\right]}{\sec(u)+\text{tg}(u)}du\\
\ \\
I = \frac{1}{a} \int \frac{\sec^2(u)+\sec(u)\text{tg}(u)}{\sec(u)+\text{tg}(u)}du
$$
Fazemos uma nova substituição no integrando, sendo $v=\sec(u)+\text{tg}(u)$. Assim, $dv=\left[ \sec^2(u)+\text{tg}(u)\sec(u)\right]\ du$:
$$
I = \frac{1}{a} \int \frac{1}{v}\ dv
$$
A integral de $1/v$ é $\ln |v|$. Assim:
$$
I = \frac{1}{a} \cdot \ln|v|  + C\\
$$
Mas, $v=\sec(u)+\text{tg}(u)$. Voltando a substituição:
$$
I = \frac{1}{a} \cdot \ln \left| \sec(u) + \text{tg}(u) \right| + C
$$
Mas, $u = ax$. Voltando novamente a substituição:
$$
I = \frac{1}{a} \cdot \ln \left| \sec(ax)+\text{tg}(ax) \right| + C
$$

Exemplo:

Vamos calcular a área sob a curva $f(x)=\sec(x)$, compreendida no intervalo $[0,\pi/3]$.

Cálculo da área sob a curva f x=sec x, compreendida no intervalo de 0 a pi

Para calcularmos a área desejada, utilizaremos o conceito de integral definida, com limites de integração inferior e superior iguais a $0$ e $\pi/3$, respectivamente. Assim, podemos representar a área $A$ como:
$$
A = \int_0^{\pi/3} \sec(x)\ dx
$$
Utilizando o resultado que obtivemos logo acima para a integral de $\sec(ax)$, fazemos $a=1$, de modo que:
$$
A = \int_0^{\pi/3} \sec(x)\ dx\\
\ \\
A = \Big[ \ln | \sec(x) + \text{tg} (x)| \Big] _0^{\pi/3}\\
\ \\
A = \left[ \ln \left(\sec\left(\frac{\pi}{3}\right) + \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \right] - \left[ \ln \left( \sec(0) + \text{tg}(0) \right) \right]\\
\ \\
A = \ln (2+\sqrt{3} ) - \ln (1+0)\\
\ \\
A = \ln (2+\sqrt{3}) - \ln(1)\\
\ \\
A \approx 1,317 - 0\\
\ \\
A \approx 1,317
$$
Assim, a área desejada vale aproximadamente $1,317$ unidades de área.

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Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Resolução da integral $\displaystyle \int \sec(ax)dx$. Publicado por Kleber Kilhian em 06/10/2019. URL: . Leia os Termos de uso.


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