11/10/2021

A derivada da função secante

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Veremos neste artigo como calcular a derivada da função secante.

 

A secante de um ângulo é definida pela razão da hipotenusa pelo cateto adjacente a este ângulo, ou ainda pelo inverso do cosseno. Ou seja:

$$
\sec = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adjacente}}\quad \text{ou}\quad \sec=\frac{1}{\cos}
$$

Seja $f(x)=\sec(x)$. Iniciamos reescrevendo a função secante como:

$$
\sec(x) = \frac{1}{\cos (x)}
$$

Para determinarmos a derivada da função secante, utilizaremos o conceito de derivada da função quociente. Lembrando que:

$$
f^{\prime}\frac{u(x)}{v(x)} = \frac{u'(x)\ v(x) - u(x)\ v'(x)}{v^2(x)}
$$

Fazemos $u=1$ e sua derivada será $u'=0$. Fazemos $v=\cos(x)$ e sua derivada será $v'=-\text{sen}(x)$. Assim:

$$
f^{\prime}(x) = \frac{0\cdot \cos(x)-1\cdot (-\text{sen}(x))}{\cos ^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{\text{sen}(x)}{\cos ^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{\text{sen}(x)}{\cos (x)}\cdot \frac{1}{\cos (x)}
$$

A tangente é definida pela razão $\cfrac{\text{sen}(x)}{\cos(x)}$ e a secante pela razão $\cfrac{1}{\cos(x)}$. Assim:

$$
f^{\prime}(x) = \text{tg}(x)\ \sec(x)
$$
Então, se:
COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: A derivada da função secante. Publicado por Kleber Kilhian em 11/10/2021. URL: . Leia os Termos de uso.


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