Veremos neste artigo como calcular a derivada da função cossecante.
A cossecante de um ângulo é definida pela razão da hipotenusa pelo cateto oposto a este ângulo, ou ainda pelo inverso do seno. Ou seja:
$$\text{cossec} = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto oposto}}\quad \text{ou}\quad \text{cossec}=\frac{1}{\text{sen}}
$$
Seja $f(x)=\text{cossec}(x)$. Iniciamos reescrevendo a função cossecante como:
$$
\text{cossec}(x) = \frac{1}{\text{sen}(x)}
$$
Para determinarmos a derivada da função cossecante, utilizaremos o conceito de derivada da função quociente. Lembrando que:
$$f^{\prime}\frac{u(x)}{v(x)} = \frac{u'(x)\ v(x) - u(x)\ v'(x)}{v^2(x)}
$$
Fazemos $u=1$ e sua derivada será $u'=0$. Fazemos $v=\text{sen}(x)$ e sua derivada será $v'(x)=\cos(x)$. Assim:
$$f^{\prime}(x) = \frac{0\cdot \text{sen}(x)-1\cdot \cos(x)}{\text{sen}^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = -\frac{\cos(x)}{\text{sen}^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = -\frac{\cos(x)}{\text{sen}(x)}\cdot \frac{1}{\text{sen}(x)}
$$
A cotangente é definida pela razão $\cfrac{\cos(x)}{\text{sen}(x)}$ e a cossecante pela razão $\cfrac{1}{\text{sen}(x)}$. Assim:
$$f^{\prime}(x) = -\text{cotg}(x)\ \text{cossec}(x)
$$
Então, se:
$$
\boxed
{
\ \\
\ \\
\begin{matrix}
\ \ f(x)=\text{cossec}(x)\\
\ \\
\ \ \ f'(x) = -\text{cotg}(x)\ \text{cossec}(x)\ \ \
\end{matrix}\\
\ \\
}
$$
\boxed
{
\ \\
\ \\
\begin{matrix}
\ \ f(x)=\text{cossec}(x)\\
\ \\
\ \ \ f'(x) = -\text{cotg}(x)\ \text{cossec}(x)\ \ \
\end{matrix}\\
\ \\
}
$$
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