Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos?
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica.
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$\int \cos^{-1}(ax)\ dx = x\ \cos^{-1}(ax)-\frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C
$$
sendo $a$ uma constante diferente de zero.
- Leia o artigo sobre A função arco seno
- Leia o artigo sobre A integral do arco seno
Seja a integral:
$$I=\int \cos^{-1}(ax)\ dx
$$
Para o integrando $\cos^{-1}(ax)$, fazemos a substituição $z=ax$. Assim, $dz=a\ dx$ e $dx=\cfrac{1}{a}dz$:
$$I = \int \cos^{-1}(z)\cdot \frac{1}{a}\ dz\\
\ \\
I = \frac{1}{a} \int \cos^{-1}(z)\ dz
$$
Para o integrando $\cos^{-1}(z)$, utilizamos o método de integração por partes:
$$\int u\ dv = u\ v - \int v\ du
$$
Fazemos $u=\cos^{-1}(z)$ e $dv=dz$ para obtermos $\displaystyle du=-\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}dz$ e $v=z$. Assim:
$$I = \frac{1}{a} \left[ \cos^{-1}(z) \cdot z - \int z \cdot \left( - \frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\right)\ dz \right]\\
\ \\
I = \frac{z\ \cos^{-1}(z)}{a} + \frac{1}{a} \int \frac{z}{\sqrt{1-z^2}}\ dz
$$
Para o integrando $\displaystyle \frac{z}{\sqrt{1-z^2}}$, fazemos a substituição $s=1-z^2$ para obter $ds=-2z\ dz$ e $dz=-\cfrac{ds}{2z}$:
$$I = \frac{z\ \cos^{-1}(z)}{a} + \frac{1}{a} \int \frac{z}{\sqrt{s}}\cdot \left(-\frac{ds}{2z}\right)\\
\ \\
I = \frac{z\ \cos^{-1}(z)}{a}-\frac{1}{2a} \int \frac{1}{\sqrt{s}}\ ds
$$
A integral de $\cfrac{1}{\sqrt{s}}$ é $2\sqrt{s}$. Assim:
$$I = \frac{z\ \cos^{-1}(z)}{a} - \frac{1}{2a}\cdot 2\sqrt{s} + C\\
\ \\
I = \frac{z\ \cos^{-1}(z)}{a} - \frac{\sqrt{s}}{a} + C
$$
Mas $s=1-z^2$, assim:
$$I = \frac{z\ \cos^{-1}(z)}{a} - \frac{\sqrt{1-z^2}}{a} +C
$$
E $z=ax$. Assim:
$$I = \frac{ax\ \cos^{-1}(ax)}{a} - \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a} +C\\
\ \\
I = x\ \cos^{-1}(ax) - \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C
$$
Exemplo :
Vamos calcular a área sob a curva $f(x)=\text{arccos}\left(\cfrac{x}{2}\right)$ no intervalor de $0$ a $2$.
Para esta resolução, utilizamos o conceito de integral definida:
$$A = \int_0^2 \text{arccos}\left(\frac{x}{2}\right)\ dx
$$
Vamos utilizar o resultado obtido anteriormente. Observe que a constante $a$ vale $\cfrac{1}{2}$. Deste modo, a área será dada por:
$$A = \left[ x\ \cos^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{\sqrt{\displaystyle 1-\left(\frac{1}{2}\right)^2x^2}}{\cfrac{1}{2}}\right]_0^2 \\
\ \\
A = \left[ x\ \cos^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - 2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\ \right]_0^2\\
\ \\
A = \left( 2 \cos^{-1}\left(\frac{2}{2}\right)-2\sqrt{1-\frac{4}{4}}\ \right)+2\\
\ \\
A = 2 \cos^{-1}(1)+2
$$
O arco cujo cosseno vale $1$ é o de $0^\circ$:
$$A = 2\ u.a.
$$
Links para este artigo:
- https://bit.ly/integral-arc-cos-ax
- https://www.obaricentrodamente.com/2021/09/resolucao-da-integral-do-arco-cosseno-de-ax.html
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