25/09/2021

A ordem das operações em expressões matemáticas

Veremos neste artigo a ordem das operações em uma expressão matemática. Iniciaremos com as quatro operações básicas e, por fim, incluiremos a exponenciação e a radiciação.

A ordem das operações em expressões matemáticas

A convenção sobre a ordem das operações matemáticas tem uma longa história e é necessária para que uma expressão matemática seja interpretada corretamente.

Em uma expressão, seja numérica ou algébrica,  devemos sempre efetuar as operações da esquerda para direita, na ordem em que elas aparecerem, seguindo as prioridades:
  • Primeiro: Multiplicação e divisão
  • Depois: Adição e subtração

Por exemplo, na expressão $2 \times 3 +1$, primeiro efetuamos a multiplicação $2\times 3$ e depois adicionamos $1$ ao resultado:
$$
2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7
$$
Mas se tivermos uma divisão seguida de uma multiplicação, em que ordem devemos seguir os cálculos? Vamos analisar este exemplo:
$$
25\div 5 \times 5
$$
Se efetuarmos primeiro a multiplicação, o resultado (errado) é $1$:
$$
25 \div 5 \times 5 = 25 \div 25 = 1
$$
O correto é efetuar primeiro a divisão e em seguida a multiplicação, pois, da esquerda para direita, a primeira operação que aparece é a divisão.
$$
25 \div 5 \times 5 = 5 \times 5 = 25
$$
Vejam que o resultado é completamente diferente. Se colocarmos essa expressão de outra forma, com a divisão em forma de fração, fica mais fácil a visualização:
$$
\frac{25}{5} \times 5 = 5 \times 5 = 25
$$
Esta é a forma correta. Para que a multiplicação fosse efetuada primeiro, ela deveria aparecer no denominador da fração:
$$
\frac{25}{5 \times 5} = \frac{25}{25} = 1
$$
Quando estamos escrevendo uma expressão matemática é importante que deixemos claro qual a operação tem prioridade sobre outras. Para isso, podemos utilizar os parênteses, pois assim, efetuamos primeiro as operações que estiverem agrupadas dentro dos parênteses:
$$
25 \div (5 \times 5) = 25 \div 25 = 1
$$
Agora sim essa expressão assume o valor correto, devido termos priorizado a multiplicação através do uso dos parênteses.

Um pouco de história:

Os primeiros livros sobre álgebra simbólica do século $XVI$ já utilizavam essa ordem para as operações.

Em 1898, no Text-Book of Algebra de G. E. Fisher and I. J. Schwatt, a expressão $a \div b \times c$ era interpretada como $(a \div b) \times c$.

Em 1907, em High School Algebra, Elementary Course de Salught and Lennes, é recomendado que as multiplicações  sejam realizadas primeiro, depois as divisões, conforme ocorram da equerda para direita.

Em 1910, no First Year Course of Algebra de Hawkes, Luby and Touton, os autores escrevem as divisões e multiplicações deve ser realizadas na ordem em que ocorrerem.

Em 1912, em First Year Algebra de Webster Wells e Walter W. Hart recomendam que devem ser realizadas primeiro as operações de multiplicação e divisão, em sua ordem, da esquerda para direita e, em seguida, todas as adições e subtrações da esquerda para direita.

Em 1913, em Second Course in Algebra de Webster Weels and Walter W. Hart é acordado que as operações dentro de radicais ou dentro de símbolos de agrupamento devem ser realizadas antes de quaisquer outras operações. Em seguida, todas as multiplicações e divisões, seguindo com todas as adições e subtrações, sempre procedendo da esquerda para direita.

Em 1917, The Report of the Committee the Teaching of Arithmetic in Public Schools, Mathematical Gazette 8, p. 238, é recomendado o uso de colchetes para evitar ambiguidades.

Em A History of Mathematical Notations (1928-1929), Florian Cajori escreveu: "Se um termo aritmético ou algébrico contém os símbolos $\div$ e $\times$, não há atualmente nenhum acordo sobre qual sinal deve ser usado primeiro".

Atualmente, a comunidade matemática estabeleceu que as operações devem ser realizadas da esquerda para direita seguindo as seguintes prioridades:
  • Exponenciação e radiciação
  • Multiplicação e divisão
  • Adição e subtração

Essas convenções existem para que não haja ambiguidade de notação, permitindo que a notação seja a mais breve possível para que o cálculo seja realizado corretamente. No entanto, em muitos casos se faz necessário o uso de símbolos de agrupamento para uma representação fiel da necessidade. Nesses casos, podemos utilizar os parênteses $( \ \ )$, os colchetes $[ \ \ ]$ e as chaves $\{\ \}$ e resolvemos de dentro para fora:
$$
\large \color{magenta}{\{ \ \color{blue}{\bf[ \ \color{green}{\left( \ \ \right)}\ \bf ]}\ \}}
$$
Ou ainda é possível utilizar parênteses repetidos para organizar as prioridades das operações que se deseja realizar. Esse tipo de agrupamento é muito utilizado em softwares de planilha.
$$
\large \color{magenta}{\left( \ \color{blue}{\left( \ \color{green}{\left( \ \ \right)}\ \right)}\ \right)}
$$

Exemplo 1:

Vamos calcular o valor da expressão numérica:
$$
3 \times \{2 \times [2+10\div (5-3)] -1 \}
$$
Analisando da esquerda para direita, mesmo que a multiplicação apareça primeiro, devemos inicialmente calcular a subtração que aparece entre parênteses:
$$
=3 \times \{2 \times [2+10\div 2] -1 \}
$$
Calculamos agora as operações que estão dentro dos colchetes. A adição aparece primeiro, mas devemos realizar primeiro a divisão, por causa da prioridade.
$$
=3 \times \{2 \times [2+5] -1 \}
$$
Agora, efetuamos a adição entre colchetes:
$$
=3 \times \{2 \times 7 -1 \}
$$
Efetuamos, agora, a multiplicação entre as chaves:
$$
=3 \times \{14 -1 \}
$$
E em seguida a subtração:
$$
=3 \times 13
$$
E por fim a multiplicação:
$$
=39
$$

Exemplo 2:

Vamos calcular o valor da expressão numérica envolvendo expoente e raiz:
$$
(2+1)^2 \times \sqrt{20\div (5-3)^2-1}
$$
As prioridades, neste caso, são o expoente e a raiz. No entanto, temos que resolver primeiro o que está dentro dos parênteses para depois elevar ao quadrado e resolver o que está dentro da raiz. Mas dentro da raiz possui uma exponenciação e para calculá-la, primeiro temos que resolver os parênteses:
$$
=3^2 \times \sqrt{20\div 2^2-1}
$$
Calculamos agora as duas exponenciações:
$$
=9 \times \sqrt{20\div 4-1}
$$
Efetuamos a divisão que está dentro da raiz:
$$
=9 \times \sqrt{5-1}
$$
Em seguida a subtração:
$$
=9 \times \sqrt{4}
$$
A extração da raiz:
$$
=9 \times 2
$$
E por fim a multiplicação:
$$
=18
$$

No entanto, existe uma certa confusão quando, em uma expressão, existem uma multiplicação implícita ou por justaposição, ou com um símbolo de multiplicação precedendo um símbolo de agrupamento. Veja este exemplo:

Exemplo 3:

Vamos analisar esta expressão numérica:
$$
25 \div 5(2+3)
$$
Como você resolveria?

Segundo a ordem para executar as operações, primeiramente deveríamos efetuar a divisão $25\div 5$ para depois multiplicar o resultado pela soma que está dentro dos parênteses, resultando em $25$.
$$
25 \div 5(2+3)\\
\ \\
=5(5)\\
\ \\
=25
$$
Uma discussão que surge é que, como o $5$ que precede os parênteses em uma multiplicação por justaposição $5(2+3)$, teria prioridade em relação à primeira divisão, já que poderia ser interpretado como uma fatoração de termos comuns que comporiam os parênteses:
$$
25 \div 5(2+3)\\
\ \\
= 25 \div 5(5)\\
\ \\
= 25 \div 25\\
\ \\
= 1
$$
A justificativa dessa exceção seria um axioma da Matemática: A propriedade distributiva em relação à adição ou subtração.

Se pensarmos algebricamente, seria algo como:
$$
25 \div (5a+5b)\\
\ \\
=25 \div 5(a+b)
$$
Se $a=2$ e $b=3$, então temos:
$$
=25 \div 5(2+3)\\
\ \\
=25\div 25\\
\ \\
=1
$$
A ideia faz muito sentido, mas para se tornar válida, temos que garantir a prioridade de resolução incluindo um novo símbolo de agrupamento:
$$
25 \div (5a+5b)\\
\ \\
=25 \div [5(a+b)]
$$
Esses são problemas enfrentados por escrever expressões em linha, utilizando os símbolos $\div$ ou $/$ para representar divisões.

Por outro lado, a Physical Review, fundada em 1893, é uma das mais antigas e mais respeitadas revistas científicas que publica pesquisas em todos os aspectos da Física desde 1913 pela American Physical Society. As instruções de envio de manuscritos para os periódicos é de que a multiplicação é de maior prioridade do que uma divisão representada por uma barra $/$.

A melhor forma de evitar ambiguidades é utilizar os símbolos de agrupamento e se atentar na construção das expressões e fórmulas matemáticas. Se for utilizar divisões, procure escrevê-las em forma de fração, ficam bem mais elegantes e reduzem erros de interpretação.

O mesmo problema descrito anteriormente, escrito utilizando frações, pode assumir duas expressões com resultados distintos:
\begin{matrix}
\cfrac{25}{5}(2+3) &\quad \text{ou} \quad & \cfrac{25}{5(2+3)} \\
= 5(2+3) & \ & =\cfrac{25}{5(5)}\\
= 5(5) & \ & =\cfrac{25}{25} \\
= 25 & \ & = 1 \\
\end{matrix}

Leia o artigo no blog do Professor Edigley:

Referências:

  • https://archive.org/
  • https://jeff560.tripod.com/operation.html

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: A ordem das operações em expressões matemáticas. Publicado por Kleber Kilhian em 25/09/2021. URL: . Leia os Termos de uso.


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11 comentários:

  1. Gostei muito! Bastante esclarecedor!

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    1. Prezado Francisco, muito obrigado pela visita e por dispor-ae a ler e comentar o artigo. Fico feliz de saber que gostou!

      Um abraço!

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  2. Kleber, o artigo ficou ótimo!

    Fico feliz em perceber que levou minha sugestão (sobre a /) em consideração. Coisa simples, mas achei legal saber que lembrou. Isso mostra a sua humildade.

    Certamente esse artigo será fonte de pesquisa para muitas pessoas.

    Um abraço!

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    1. Meu amigo, seus conselhos são valiosos demais para eu não levar em consideração. Agradeço pelo apoio de sempre.

      Um abraço!

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  3. Prezado,
    Depois de "...parênteses."
    15÷5(2+3) deve ter ocorrido falha de digitação, creio ser 25.
    No mais, como sempre, teu trabalho é impecável!
    Renovo meus votos de sucesso em Progressão Geométrica!

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    1. Prezado Edson,
      Obrigado por sempre estar presente por aqui.
      Obrigado pelos votos e que você tenha tudo em dobro!
      Um abraço!

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  4. Através do "O baricentro da Mente" encontrei novos e empolgantes caminhos. Encontrei o Blog do Edigley, tb fantástico e entao o Geogebra que já conhecia há muito tempo, mas que evoluiu ao ponto de considerar seus apps de cálculo os de maior acurácia na web.Meus 3 principais favoritos.
    Devo isso a vc Kleber!

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    Respostas
    1. Meu amigo Edson! Este blog é para isso: compartilhar ideias. O Edigley é um cara fantástico, me ajuda muito. Fico feliz em saber que encontrou aeu blog, pq é referência. Um grande abraço!

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  5. Prezado Kleber,
    25÷5(2+3)=1 Sem dúvida, sem qualquer ambiguidade.Escrita sob qualquer das formas que a notação admite, em linha,sob forma de fração 25 o numerador 5(2+3) ou (2+3)5 o denominador,ou algébrica 5x:5(2/5x+3/5x)=1, ou ainda pela multiplicacao pelo inverso do divisor 25x1/5(2+3)=1 ou 25x1/(2+3)5=1. Em nenhuma hipótese deixa-se de efetuar a multiplicação do conteúdo do parenteses pelo 5 da multiplicação implícita, em função da propriedade comutativa que admite a transposição do 5 para depois dos parenteses, não alterando o resultado, e pela propriedade distributiva que obriga a multiplicação do conteúdo do parenteses pelo 5 esteja pré ou pos parenteses.A divisão do 25 pelo 5, somente poderia ocorrer no caso, se notado como (25:5)(2+3)=25.As regras das operações matemáticas não admitem outro resultado e note-se que até neste caso com o resultado =25 a multiplicação implícita se processa naturalmente (25:5)(2+3)= (5)(5)= 5x5=25.
    Com relação ao uso de ÷ ou /,como sinais de divisão, ainda utilizo o : todos com a mesma função, mas nas pesquisas que faço tenho verificado que sites como o wolframalpha os utiliza para gerar distintos resultados.
    Eu utilizo a chave do algoritmo da divisão para demonstrar que a expressão acima 25:25 é 25 |5(2+3)__ ou mesmo 5(2+3)|(2+3)5_
    sempre quociente = 1, e resto zero.
    Preocupa que muitos aplicativos calc, encontram o resultado 1 mas parecem desconhecer a propriedade comutativa e calculam 25:(2+3)5=25, o que demonstra fragilidade de conhecimento ou de suporte matemático na área de programação.
    Considero condenável as redes sociais admitirem vídeos e conteúdos matemáticos contraditórios, gerando confusão e prejuízos à educação.

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    Respostas
    1. Olá Edson, como vai?

      Eu compartilho de sua opinião. Acho que já conversamos sobre isso em um outra oportunidade. Na verdade, quando decidi escrever este post, era justamente para desmistificar tal fato. No entanto, em minhas pesquisas, não encontrei em nenhum livro o fato de a distributiva ter prioridade na ordem das operações. Talvez não tenha procurado no livro certo. Então, alterei a conclusão. Enquanto eu não encontrar algum artigo, livro, ... Em que eu possa me apoiar, vou manter o artigo assim. Agradeço pelo debate. Se você souber de algum livro para me indicar sobre o assunto eu agradeço. Um abraço!

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  6. bom dia, excelente artigo.
    a questão chave é identificar o denominador, independentemente de qual sinal de divisão use .
    ex1: Quem é o denominador em a÷b ?
    b certo.
    ex2: Quem é o denominador em a÷bc?
    continua sendo somente o b.
    note que não importa qual operação faça primeiro.
    ex3: Quem é o denominador em a÷b(c+d)?
    continua sendo b.
    não importa qual operação execute primeiro (÷ .), também é irrelevante se é da esquerda para direita ou vice-versa.
    Logo abaixo da parte: "(Se pensarmos algebricamente, seria algo como:)" a ida é verdadeira mas a volta é falsa. 25÷5(a+b) não é igual 25÷(5a+5b).
    a expressão 25÷5(a+b) = 25÷(a/5+b/5).
    Note que a propriedade distributiva não é violada em
    25÷5(a+b), pois o que está em evidência aqui não é 5 e sim 1/5 ou 25/5.

    Abraço.

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