08/12/2019

Origens dos símbolos para multiplicação

Para expressarmos uma multiplicação, utilizamos um símbolo para representar a operação. Esse símbolo é chamado de operador.

Hoje em dia, utilizamos alguns diferentes operadores:
  • O xis: $(\times)$
  • O ponto: $(\cdot )$
  • O asterisco: $(*)$

Ainda podemos suprimir o uso desses operadores quando um dos fatores está entre parênteses, como por exemplo: $2(x+1)$. Ou ainda quando temos uma constante multiplicando uma variável, como por exemplo: $2x$, ou um produto entre diferentes variáveis: $xyz$.

Origens dos símbolos para multiplicação


A notação xis $(\times)$:

William Oughtred (1574-1660) foi um dos autores ingleses de Matemática mais influentes do século $XVII$, contribuindo com diversos símbolos matemáticos, e parece ter sido o primeiro a utilizar a notação xis como símbolo do operador para multiplicação. Apareceu em seu livro sobre Aritmética e Álgebra Clavis Mathematicae (Key to Mathematics), escrito em 1628 e publicado em 1631 em Londres. Segundo Florian Cajori (1859-1930), o xis utilizado, representado por $\times$, representa a Cruz de Santo André.

No entanto, o símbolo $\times$ apareceu antes, em 1618, em um apêndice anônimo de 16 páginas da tradução inglesa de Edward Wright da obra de Descriptio, de John Napier. No entanto, conforme relata Cajori, pode ser que este apêndice tenha sido escrito pelo próprio Oughtred.

Em linguagem $\LaTeX$, esta notação é escrita como \times, resultando em $\times$.

Geralmente, utilizamos a notação $\times$ em Aritmética, onde os fatores envolvidos são números, tais como:
$$
3\times 4 = 12\\
\ \\
2 \times 3 + 5 = 11
$$
Utilizamos também em notação científica, como por exemplo a massa do Sol:
$$
1,989 \times 10^{30}\ kg
$$
Ou ainda a carga do elétron:
$$
1,6 \times 10^{-19}\ C
$$

A notação ponto $(\cdot)$:

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) utilizou a notação ponto como símbolo para o operador de multiplicação em uma carta para John Bernoulli, datada de 29 de julho de 1698:

Eu não gosto de utilizar $\times$ como símbolo de multiplicação, pois é facilmente confundido com $x$; [...] muitas vezes, simplesmente relaciono duas quantidades por um ponto interposto e indico uma multiplicação como $ZC \cdot LM$. Portanto, na razão de designação, não uso um ponto, mas dois pontos, que utilizo ao mesmo tempo para a divisão".

No entanto, Thomas Harriot (1560-1621) tinha o hábito de usar o ponto para denotar uma multiplicação. Mas esta notação não foi utilizada com devido destaque até que Leibniz o adotou.

Leibniz ainda utilizava o símbolo $\cap$ para a multiplicação. Hoje em dia, utilizamos este símbolo para indicar a intersecção na teoria dos conjuntos.

Em linguagem $\LaTeX$, esta notação é escrita como \cdot, resultando em $\cdot$

A notação ponto é mais utilizada quando começamos a estudar Álgebra, envolvendo números e letras, como por exemplo:
$$
2 \cdot x - 5 = 3
$$
Neste caso, utilizar a notação $\times$ não teria problema. Utilizamos o ponto justamente para não confundir o operador com a incógnita. E, dependendo da caligrafia utilizada, pode gerar confusão. Nada impediria também de suprimir o operador e usar a forma justaposta.

A notação asterisco $(*)$:

Johann Heinrich Rahn (1622-1676) foi o primeiro a utilizar a notação asterisco para indicar multiplicação em seu livro de 1659 intitulado Teutsche Algebra.

Regras para multiplicação de Johann Heinrich Rahn utilizando a notação asterisco
Regras para multiplicação de Johann Heinrich Rahn utilizando a notação asterisco.

Hoje em dia, ainda utilizamos o asterisco para denotar uma multiplicação, restrita apenas à linguagem de programação e em softwares de planilhas, como o Excel da Microsoft, Planilhas do Google e Planilha Calc do LibreOffice, entre outros.

Em um software planilha, por exemplo, para expressarmos uma fórmula que contenha uma multiplicação, escrevemos:
$$
= 2 * \text{A7}+\text{B7}
$$

A notação de justaposição:

Segundo, Cajori, em um manuscrito encontrado enterrado perto da vila de Baskhshali, na Índia, datado do século $VIII$, $IX$ ou $X$, a multiplicação era normalmente indicada colocando números lado a lado.

Esta notação também foi usada em manuscritos do século $XV$ por al-Qalasadi (1412-1486). Além disso, al-Qalasadi utilizava palavras curtas em árabe, ou apenas as letras iniciais, como símbolos matemáticos. Em particular, ele usou:
  • wa (e)  para representar $+$
  • illa (menos) para representar $-$
  • fi (tempos) para representar $\times$
  • ala (sobre) para representar $\div$
  • sh, de shay (coisa) para representar uma $x$, o desconhecido
  • m, de mal, para representar $x^2$
  • k, de kab, para representar $x^3$
  • l, de yadilu, pra representar $=$


Mais adiante, Michael Stifel (1487-1567) usou a multiplicação por justaposição em 1544 em seu trabalho Arithmetica integra. E em 1553 publicou uma edição revisada de Rudolff's Coss, na qual ele mostrou a multiplicação por justaposição repetindo uma carta onde tratava de potências.

A supressão de um operador pode ser utilizado em vários casos, como por exemplo:
$$
2x-5=3\\
\ \\
xy^2-z=1\\
\ \\
2(4x^2-3y)=0
$$
Suprimir o operador em uma multiplicação entre dois números não é muito recomendável, porque pode causar confusão na leitura. Veja a multiplicação $3 \times 5 = 15$:
$$
3\ 5 = 15
$$

Referências:


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Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Origens dos símbolos para multiplicação. Publicado por Kleber Kilhian em 08/12/2019. URL: . Leia os Termos de uso.


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4 comentários:

  1. Olá Kleber. Gosto dessas histórias da matemática. A gente passa a entender o porquê de símbolos que usamos muito na vida escolar, mas que não paramos pra pensar de onde vieram ou quem os criaram.
    Quando dou aulas de matemática e começamos a usar letras misturadas com números é aí que a coisa começa a confundir a cabeça dos alunos, pois até esse ponto eles usam X para representar multiplicação de dois números e aí o professor adota o ponto justamente para não confundir com a letra x na álgebra. Então temos que fazer um certo esforço pra fazer os alunos se acostumaram com o novo símbolo.
    Eu levanto outro problema. Os americanos usam ponto pra números decimais ao invés da nossa vírgula. Aí bota mais confusão na história. Gostei do artigo. Abraço.

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    Respostas
    1. Olá Jairo!
      As notações foram se aprimorando de acordo com a necessidade. Acho que tudo na vida é assim. Mas nem tudo parece funcionar perfeitamente. Essa questão de usar $\times$ em álgebra pode confundir com o xis. O caso que mencionou dos americanos usarem separador decimal com um ponto, também traz confusão. E para nós brasileiros, que usamos a vírgula, também temos problemas se vamos escrever um par ordenado cujos valores de x e y são decimais, fica esquisito: (1,2 , 3,5), aí usamos o ; para separar.

      É meu amigo, a Matemática não é fácil. E quem disse que a vida é?

      Eu ainda acho que a história das ciências deveria ser contada desde cedo para as crianças.

      Um graaaande abraço, meu amigo!

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    2. Jairo, você relatou meu pensamento. Parabéns!

      Kleber, obrigado por compartilhar esse post. Tomara que outros professores o tomem como base em suas aulas.

      Um abraço!

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    3. Edigley, eu que agradeço pelas gentis palavras.

      Um grande abraço!

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