Este problema encontra-se na Revista do Professor de Matemática número 54 e é sobre encontrar o a soma dos perímetros de dois triângulos formados quando duas retas paralelas cortam lados adjacentes de um quadrado. O resultado surpreendentemente é uma constante e vale $2a$.
![Problema da soma dos perímetros de dois triângulos formados quando duas retas paralelas cortam lados adjacentes de um quadrado Problema da soma dos perímetros de dois triângulos formados quando duas retas paralelas cortam lados adjacentes de um quadrado](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhF2uL6DVrv4XK7fGeFOlQaC-guoEMshitj4pVXHuUh6gbLW-uf4WZjA9peZU0aMWc43Ue73NlvRuLx_5i8KdLO9zNRV7MzuwKXN9O234TNuCwCcs04Mn7k47sJU-PeBRa2YyX-7dVtNkE/s1600/Soma+dos+per%25C3%25ADmetros+de+dois+tri%25C3%25A2ngulos+formados.png)
O problema:
Considere duas reatas paralelas $r$ e $s$, cuja distância entre si mede $a$. Seja um quadrado $ABCD$ de lado igual a $a$ situado no mesmo plano das retas paralelas posicionado de tal forma que cada uma das retas corta dois lados adjacentes e opostos do quadrado, formando dois triângulos retângulos, conforme a imagem abaixo. Calcular a soma dos perímetros desses dois triângulos retângulos.
![Resolução Soma dos perímetros de dois triângulos formados quando duas retas paralelas cortam lados adjacentes de um quadrado Resolução Soma dos perímetros de dois triângulos formados quando duas retas paralelas cortam lados adjacentes de um quadrado](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4Ns1OjYTx6RUIkjQNGIGyrAvWx3PcjeISC8wPd5BpuUzqU5kRhvM-Orxy011Ue4Qvi3HeZIwR82Tf8Sa_zD_2T4OlK83Zn7oZLKfhr8S2fY_LMcK2QO3WyzInzxi7QR079K0vM3Coz60/s1600/Resolu%25C3%25A7%25C3%25A3o+Soma+dos+per%25C3%25ADmetros+de+dois+tri%25C3%25A2ngulos+formados+quando+duas+retas+paralelas+cortam+lados+adjacentes+de+um+quadrado.png)
Solução:
Iniciamos circunscrevendo o quadrado $MNPQ$ ao quadrado $ABCD$, de modo que os lados $MN$ e $PQ$ estejam paralelos às retas $r$ e $s$, respectivamente.
O ângulo $\theta$ é formado pelo segmento $DM$ e o lado $a$ do quadrado inscrito. Este mesmo ângulo também ocorre entre o segmento $AN$ e o lado $a$ e, consequentemente, também ocorre entre os segmentos $x'$ e $z'$, pela propriedade dos ângulos alternos internos. O mesmo pode ser observado no triângulo retângulo de lados $x$, $y$ e $z$.
Assim, temos que:
$$\text{sen}(\theta) = \frac{AM}{a}\\
\ \\
AM = a\ \text{sen}(\theta)
$$
e
$$
\cos(\theta) = \frac{DM}{a}\\
\ \\
DM = a\ \cos(\theta)
$$
Por simetria, os lados $DM$ e $DQ$ são congruentes aos lados $AN$ e $AM$, respectivamente, temos que o lado do quadrado $MNPQ$ é dados por $a\ \text{sen}(\theta) + a \cos(\theta)$.
As alturas dos triângulos são dadas por $h$ e $h'$. Assim:
$$h + h' + a = a\ \text{sen}(\theta) + a\ \cos(\theta)\\
\ \\
h + h' = a\ \text{sen}(\theta) + a\ \cos(\theta) - a\\
\ \\
h + h' = a (\text{sen}(\theta) + \cos(\theta)-1)
$$
Por outro lado, temos que $h=z \cdot \text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)$ e $h'=z'\cdot \text{sen}(\theta) \cdot \cos(\theta)$. Logo:
$$z+z' = \frac{h+h'}{\text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)}
$$
Sendo $x$, $y$, $x'$ e $y'$ os catetos indicados na figura, temos que:
$$x = \frac{h}{\text{sen}(\theta)} \quad \text{e} \quad x'=\frac{h'}{\text{sen}(\theta)}
$$
O que implica em:
$$x+x' = \frac{h+h'}{\text{sen}(\theta)}
$$
e
$$
y=\frac{h}{\cos(\theta)} \quad \text{e} \quad y'= \frac{h'}{\cos(\theta)}
$$
O que implica em:
$$y+y' = \frac{h+h'}{\cos(\theta)}
$$
A soma $S$ dos perímetros dos triângulos será dada por:
$$S = x+x'+y+y'+z+z'\\
\ \\
S = \frac{h+h'}{\text{sen}(\theta)} + \frac{h+h'}{\cos(\theta)}+\frac{h+h'}{\text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)}\\
\ \\
S = \frac{(h+h')(\text{sen}(\theta)+\cos(\theta)+1)}{\text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)}\\
\ \\
S = \frac{a(\text{sen}(\theta)+\cos(\theta)-1)(\text{sen}(\theta)+\cos(\theta)+1)}{\text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)}\\
\ \\
S = \frac{a \left(\left(\text{sen}(\theta)+\cos(\theta)\right)^2-1\right)}{\text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)}\\
\ \\
S = \frac{a \cdot 2\ \text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)}{\text{sen}(\theta) \cdot \cos(\theta)}\\
\ \\
S = 2a
$$
O que vemos é que, independentemente de de quais pontos as retas paralelas cortam o quadrado, a soma dos triângulos formados sempre será uma constante e valerá $2a$.
Referências:
- Revista do Professor de Matemática, 54
Links para este artigo:
- http://bit.ly/Problema-Soma-Perimetros
- https://www.obaricentrodamente.com/2019/12/problema-da-soma-dos-perimetros-de-dois-triangulos-formados-quando-duas-retas-paralelas-cortam-lados-adjacentes-de-um-quadrado.html
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