07/12/2019

Problema da soma dos perímetros de dois triângulos formados quando duas retas paralelas cortam lados adjacentes de um quadrado

Este problema encontra-se na Revista do Professor de Matemática número 54 e é sobre encontrar o a soma dos perímetros de dois triângulos formados quando duas retas paralelas cortam lados adjacentes de um quadrado. O resultado surpreendentemente é uma constante e vale $2a$.

Problema da soma dos perímetros de dois triângulos formados quando duas retas paralelas cortam lados adjacentes de um quadrado


O problema:

Considere duas reatas paralelas $r$ e $s$, cuja distância entre si mede $a$. Seja um quadrado $ABCD$ de lado igual a $a$ situado no mesmo plano das retas paralelas posicionado de tal forma que cada uma das retas corta dois lados adjacentes e opostos do quadrado, formando dois triângulos retângulos, conforme a imagem abaixo. Calcular a soma dos perímetros desses dois triângulos retângulos.
Resolução Soma dos perímetros de dois triângulos formados quando duas retas paralelas cortam lados adjacentes de um quadrado


Solução:

Iniciamos circunscrevendo o quadrado $MNPQ$ ao quadrado $ABCD$, de modo que os lados $MN$ e $PQ$ estejam paralelos às retas $r$ e $s$, respectivamente.

O ângulo $\theta$ é formado pelo segmento $DM$ e o lado $a$ do quadrado inscrito. Este mesmo ângulo também ocorre entre o segmento $AN$ e o lado $a$ e, consequentemente, também ocorre entre os segmentos $x'$ e $z'$, pela propriedade dos ângulos alternos internos. O mesmo pode ser observado no triângulo retângulo de lados $x$, $y$ e $z$.

Assim, temos que:
$$
\text{sen}(\theta) = \frac{AM}{a}\\
\ \\
AM = a\ \text{sen}(\theta)
$$
e
$$
\cos(\theta) = \frac{DM}{a}\\
\ \\
DM = a\ \cos(\theta)
$$
Por simetria, os lados $DM$ e $DQ$ são congruentes aos lados $AN$ e $AM$, respectivamente, temos que o lado do quadrado $MNPQ$ é dados por $a\ \text{sen}(\theta) + a \cos(\theta)$.

As alturas dos triângulos são dadas por $h$ e $h'$. Assim:
$$
h + h' + a = a\ \text{sen}(\theta) + a\ \cos(\theta)\\
\ \\
h + h' = a\ \text{sen}(\theta) + a\ \cos(\theta) - a\\
\ \\
h + h' = a (\text{sen}(\theta) + \cos(\theta)-1)
$$
Por outro lado, temos que $h=z \cdot \text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)$ e $h'=z'\cdot \text{sen}(\theta) \cdot \cos(\theta)$. Logo:
$$
z+z' = \frac{h+h'}{\text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)}
$$
Sendo $x$, $y$, $x'$ e $y'$ os catetos indicados na figura, temos que:
$$
x = \frac{h}{\text{sen}(\theta)} \quad \text{e} \quad x'=\frac{h'}{\text{sen}(\theta)}
$$
O que implica em:
$$
x+x' = \frac{h+h'}{\text{sen}(\theta)}
$$
e
$$
y=\frac{h}{\cos(\theta)} \quad \text{e} \quad y'= \frac{h'}{\cos(\theta)}
$$
O que implica em:
$$
y+y' = \frac{h+h'}{\cos(\theta)}
$$
A soma $S$ dos perímetros dos triângulos será dada por:
$$
S = x+x'+y+y'+z+z'\\
\ \\
S = \frac{h+h'}{\text{sen}(\theta)} + \frac{h+h'}{\cos(\theta)}+\frac{h+h'}{\text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)}\\
\ \\
S = \frac{(h+h')(\text{sen}(\theta)+\cos(\theta)+1)}{\text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)}\\
\ \\
S = \frac{a(\text{sen}(\theta)+\cos(\theta)-1)(\text{sen}(\theta)+\cos(\theta)+1)}{\text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)}\\
\ \\
S = \frac{a \left(\left(\text{sen}(\theta)+\cos(\theta)\right)^2-1\right)}{\text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)}\\
\ \\
S = \frac{a \cdot 2\ \text{sen}(\theta)\cdot \cos(\theta)}{\text{sen}(\theta) \cdot \cos(\theta)}\\
\ \\
S = 2a
$$
O que vemos é que, independentemente de de quais pontos as retas paralelas cortam o quadrado, a soma dos triângulos formados sempre será uma constante e valerá $2a$.

Referências:

  • Revista do Professor de Matemática, 54

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Problema da soma dos perímetros de dois triângulos formados quando duas retas paralelas cortam lados adjacentes de um quadrado. Publicado por Kleber Kilhian em 07/12/2019. URL: . Leia os Termos de uso.


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